Дифференциальные_и_разностные_уравнения

Вариант 9.

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

2. Найти решение задачи Коши.

y y 2xy 2 , y(0) 12 .

3.Найти общее решение уравнения.

x3 y''' 2x2 y'' x .

4.Найти общее решение дифференциального уравнения.

y'' 5y 6y (x 1)2 .

Вариант 10.

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

2. Найти решение задачи Коши.

y 2xy 2x3 y3 , y(0) 2 .

3. Найти общее решение уравнения.

y '''tg 5x 5 y '' .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y'' y 12x 6 .

Пример решения контрольной работы

1) Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(3+ех)уу’=ех

Решение

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Разделяем переменные

Интегрируя левую часть этого уравнения по у,а правую по х, получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения

2) Найти решение задачи Коши y’+y=xy2 , y(0)=1

Решение

Уравнение Бернулли можно проинтегрировать с помощью подстановки y=uv. Тогда y’=u’v+uv’ .И после подстановки первоначальное уравнение примет вид:

u’v + uv’ +uv = xu2v2

u’v + u(v’ +v) = xu2v2 (*)

Приравняем к нулю выражение стоящие в скобках

v' v 0

dvdx v dvv dx

dvv dx ln v x C

Из общего решения выберем одно частное уравнение v=e-x Подставляя v в уравнение (*) , получим новое уравнение

dudx e x xu 2e 2 x

Это уравнение явл. уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его

du xe x dx u 2

udu2 xe x dx C;

u x 1 x xe e C

Следовательно, общее решение первоначального уравнения

e x

y xe x e x C

Для того, чтобы найти С, воспользуемся начальным условием.

Окончательное решение задачи Коши

y e x

xe x e x

Или после сокращения на e x

y 1 x 1

Так же можно проинтегрировать и линейное уравнение первого порядка.

3) Найти общее решение дифференциального уравнения xy’’’+y’’=1

Решение.

Данное уравнение не содержит y и y’. Положим y’’=z, тогда y dxdz ,

и уравнение примет вид:

x dxdz z 1

Это линейное уравнение первого порядка. Его общее решение z 1 cx . Следовательно

y 1 cx .

Проинтегрировав это равенство два раза получим

y x2 C(x ln x x) Bx A

2

4) Найти общее решение дифференциального уравнения y 4y 3y x

Решение.

Это неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения состоит из двух частей y - общего решения

соответствующего однородного уравнения и y* - частного решения самого уравнения. Характеристическое уравнение 2 4 3 0 имеет корни 1 3, 2 1. Значит,

общее решение однородного уравнения y C1e 3x C2e x .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределѐнных коэффициентов. Будем искать частное решение в виде

y* Ax B.

y* A; y* 0.

Подставим y* , y* и y* в исходное уравнение и получим 4А+3(Аx+B)=x. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь

3A x1 ,4A 3B 0. A 13 , B 94

y* 13 x 94 .

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

y C1e 3x C2e x 13 x 94 .