2.2. Построение интерполяционных многочленов
Пусть на отрезке в некоторой последовательностиузловзадана функциясвоими значениями, где. Задача алгебраического интерполирования состоит в построении многочленастепени, удовлетворяющего условию интерполирования:.
Известно, что существует единственный полином степени не выше , принимающий в исходных точках заданные значения. Коэффициентыполиномаможно определить из системы уравнений:
Определитель этой системы есть определитель Вандермонда, и, следовательно, система имеет единственное решение.
Пример. Построить интерполяционный многочлен , совпадающий с функциейв точках.
Решение. Пусть , поэтому имеем
.
Отсюда .
Поэтому при.
Многочлен Лагранжа
Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени :.
При этом потребуем, чтобы каждый многочлен во всех узлах интерполяции, за исключением одного, где он равен 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида
.
Действительно, . Причислитель выражения равен 0. По аналогии получим:
,
.
Подставив эти формулы в исходный многочлен, получим:
.
Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функциейв точках
.
Решение. Составим таблицу
х |
-2 |
-4/3 |
0 |
4/3 |
2 |
у |
0 |
1 |
2 |
1 |
0 |
Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:
Если функция непрерывно дифференцируема до-го порядка включительно, то остаточный член интерполяционного многочлена в форме Лагранжа имеет вид
,
где – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполированияи точку.
Многочлен Ньютона с конечными разностями
Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. – называется шагом.
Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах . Составим разности значений функции:
Эти разности называются разностями первого порядка.
Можно составить разности второго порядка:
.
Аналогично составляются разности k-го порядка:
.
Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:
Таким образом, для любого k можно записать:
Запишем эту формулу для значений разности в узле :
.
Используя конечные разности, можно определить
.
Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде
.
График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:
Найдем отсюда коэффициенты :
Таким образом, для любого -го коэффициента формула примет вид
.
Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид:
Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную .
В этом случае
С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде
.
Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента. Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученой формуле) ограничиться случаем, то есть использовать эту формулу для всех. Для других случаев вместопринять, еслипри. В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде
Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности вычисляются через значения функции, причем. Из-за этого при больших значенияхмы не можем вычислить высших порядков.
Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , то есть, и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:
.
Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.
Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функциязадана таблицей
х |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
у |
0 |
0,1002 |
0,2013 |
0,8045 |
0,4108 |
0,5211 |
Решение. Составляем таблицу конечных разностей.
х |
у | |||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,1002 |
|
|
|
|
0,1 |
0,1002 |
|
0,0009 |
|
|
|
|
|
0,1011 |
|
0,0012 |
|
|
0,2 |
0,2013 |
|
0,0021 |
|
-0,0002 |
|
|
|
0,1032 |
|
0,0010 |
|
0,0001 |
0,3 |
0,3045 |
|
0,0031 |
|
-0,0001 |
|
|
|
0,1063 |
|
0,0009 |
|
|
0,4 |
0,4108 |
|
0,0040 |
|
|
|
|
|
0,1103 |
|
|
|
|
0,5 |
0,5211 |
|
|
|
|
|
Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона впередтогдаи
Пример. Задана таблица. Найти .
х | ||||
0,2588 |
|
|
| |
|
|
0,0832 |
|
|
0,3420 |
|
-0,026 |
| |
|
|
0,0806 |
|
0,0006 |
0,4226 |
|
-0,032 |
| |
|
|
0,0774 |
|
0,0006 |
0,5 |
|
0,038 |
| |
|
|
0,0736 |
|
|
0,5736 |
|
|
|
При вычислении положим
.
При вычислении положим
.
Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:
где и
где .
Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид
,
где
Производя перемножение биномов, получим
так как , то
.
Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.
В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках. Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив, имеем
,
Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле ,
где – число конечных разностей в многочлене Ньютона.
Пример. Найти функции, заданной таблично.
Решение.
х |
у | |||
50 |
1,6990 |
|
|
|
|
|
0,0414 |
|
|
55 |
1,7404 |
|
-0,0036 |
|
|
|
0,0378 |
|
0,0005 |
60 |
1,7782 |
|
-0,0031 |
|
|
|
0,0347 |
|
|
65 |
1,8129 |
|
|
|
Здесь ;.
Вычисляя погрешность, получим:
.
Действительно, .
Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.