2. Криволинейный интеграл 2 рода

Определение криволинейного интеграла 2 рода

Пусть АВ– дуга кусочно-гладкой ориентированной кривойL,= (a_x(P);a_y(P);a_z(P)) – заданная на этой дуге непрерывная векторная функция,А₀=А,А₁,А₂, …,А_{n – 1},А_n=B– произвольное разбиение дугиАВиP_i– произвольные точки на частичных дугахА_{i – 1}A_i. Пусть– вектор с координатамиx_i,y_i,z_i (i= 1, 2, …,n), и– скалярное произведение векторови(i= 1, 2, …,n). Тогда существует предел последовательности интегральных сумм

при nи max0, который не зависит ни от способа разбиения дугиАВточкамиA_i, ни от выбора точекP_iна частичных дугахА_{i – 1}A_i(i= 1, 2, …,n). Этот предел называется криволинейным интегралом 2 рода от функции(P) по кривойLи обозначается

(2.1)

В случае, когда векторная функция задана на плоской кривойL, аналогично имеем:

При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода меняет знак.

Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны соотношением

(2.2)

где – единичный вектор касательной к ориентированной кривой.

С помощью криволинейного интеграла 2 рода можно вычислять работу силы при перемещении материальной точки по дуге кривойL:

(2.3)

Положительным направлением обхода замкнутой кривой С, ограничивающей односвязную областьG, считается обход против часовой стрелки.

Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой Сназывается циркуляцией и обозначается

(2.4)

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое задание кривой интегрирования

Если АВориентированной плоской кривой задана параметрически уравнениями, гдех(t) иy(t) – непрерывно дифференцируемые функции параметраt, причемто

(2.5)

Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной ориентированной кривой L. Если дугаАВ кривойLзадана уравнениями, и– непрерывно дифференцируемые функции параметраt, то

(2.6)

Явное задание плоской кривой интегрирования

Если дуга АВ плоской ориентированной кривойLзадана в декартовых координатах уравнениемгдеy(x) – непрерывно дифференцируемая функция, то

(2.7)

При задании дуги АВ плоской ориентированной кривойLв видеx =x(y),y[y₁;y₂], гдеx(y) – непрерывно дифференцируемая функция, справедлива формула

(2.8)

Пусть функции непрерывны вместе со своими производными

в плоской замкнутой области G, ограниченной кусочно-гладкой замкнутой самонепересекающейся положительно ориентированной кривойС⁺. Тогда имеет место формула Грина:

(2.9)

Пусть G– поверхностно-односвязная область, и

= (a_x(P);a_y(P);a_z(P))

– заданное в этой области векторное поле. Поле (P) называется потенциальным, если существует такая функцияU(P), что

(P) = grad U(P),

где

.

Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля (P) имеет вид:

rot(P) = , где (2.10)

(2.11)

Если векторное поле является потенциальным, то криволинейный интеграл 2 рода не зависит от кривой интегрирования, а зависит только от координат начала и конца дугиМ₀М. ПотенциалU(М) векторного поляопределяется с точностью до постоянного слагаемого и находится по формуле

(2.12)

где М₀М– произвольная кривая, соединяющая фиксированную точкуМ₀и переменную точкуМ. Для упрощения вычислений в качестве пути интегрирования может быть выбрана ломанаяМ₀М₁М₂Мсо звеньями, параллельными координатным осям, например:

Рис. 1

Тогда

(2.13)