ChM1
.pdf
|
|
( ) |
|
|
|
|
{ |
( |
) |
∑ |
( ) |
(2.13) |
|
|
|
|
|
|||
|
( |
|
|
|
) |
|
|
Иногда выгоднее приводить систему (2.11) |
к виду (2.12) так, чтобы |
||||
коэффициенты |
|
. Например, уравнение: |
для |
применения метода последовательных приближений можно записать в
виде: |
|
|
|
. |
|
||||
|
Вообще, имея систему: |
||||||||
∑ |
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
можно положить, что |
( ) ( ), где ( ) . |
||||||||
|
Тогда данная система эквивалентна приведенной системе: |
||||||||
|
|
∑ |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
при i≠j. |
( ) |
|
( ) |
|
( ) |
Процесс итераций (2.13) хорошо сходится, т.е. число приближений,
необходимых для получения корней системы (2.11) с заданной
точностью, невелико, если элементы матрицы малы по абсолютной
величине. Иными словами, для успешного применения процесса итераций модули диагональных коэффициентов системы (2.11) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы.
Условием остановки итерационного процесса является условие незначительного отличия корней найденных в соседних итерациях:
| ( ) ( )| .
Пример: решить систему методом простой итерации
{
31
Решение: диагональные коэффициенты 4, 3, 4 значительно преобладают над недиагональными коэффициентами, следовательно,
сходимость процесса итераций хорошая.
Приведем эту систему к нормализованному виду (2.12):
{
или в матричной форме: ( )=( ) ( |
) ( ); |
За нулевые приближения корней системы принимаем:
( ) |
( ) |
( ) |
. |
|
|
|
Подставляем эти значения в правые части нормализованной системы и получим первые приближения корней:
( )
{( ) ( )
Далее подставляя первые приближения в правые части
нормализованной системы, получим вторые приближения корней и т.д.
Последовательность приближений ( ) ( ) ( ) должна иметь
предел, этот предел и будет решением системы.
Метод Зейделя
Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1)-ые приближения неизвестных x1, x2, …, xi-1.
Пусть дана нормализованная линейная система:
∑ ( |
) |
32
Выберем |
произвольно |
начальные |
приближения |
|
корней ( ) |
( ) |
( ), стараясь, |
чтобы они в какой-то мере |
|
соответствовали искомым неизвестным x1, x2, …, xn. |
|
|||
Далее, |
предполагая, что k-е |
приближения корней |
( ) известны, |
согласно Зейделю будем строить (k+1)-ые приближения корней по следующим формулам:
( ) |
∑ |
( ) |
|
|
|
( ) |
( ) ∑ |
( ) |
|
( |
) |
∑ |
( |
) |
∑ |
( ) |
(2.14) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
{ |
( ) |
|
∑ |
( ) |
|
( )( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обычно метод Зейделя даёт лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но он приводит к более громоздким вычислениям.
Процесс Зейделя может сходиться даже в том случае, если расходиться процесс итераций. Возможны и обратные случаи.
Процесс останавливаем, после выполнения условия:
| ( ) ( )| .
Пример: решить систему методом Зейделя
{
Решение: приведем систему к нормализованному виду:
{
В качестве нулевых приближений корней возьмем:
( ) ( ) ( ) .
Применяя метод Зейделя, последовательно получим:
33
{
{
( )
( )
( )
( )
( )
( )
и т.д.
Вопросы для самоконтроля:
1.К какому типу методов, прямым или итерационным, относится метод Гаусса?
2.В чем заключается прямой и обратный ход в схеме Гаусса?
3.Как вычисляется невязка?
4.Метод обратной матрицы и правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
5.Как вычисляется определитель и обратная матрица методом
Гаусса?
6.Метод Зейделя для вычисления корней системы линейных алгебраических уравнений
Лабораторная работа № 2
Задание:
1.Методом Гаусса:
a)решить систему линейных уравнений и вычислить невязку;
b)вычислить определитель;
c)найти обратную матрицу.
2.Методом Зейделя и методом итераций с точностью до 0.001
решить систему линейных уравнений и вычислить невязку.
34
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
|
|
|
Данные к заданию 1 |
|
|
|
||
№ варианта |
|
Коэффициенты при неизвестных: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Свободный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
|
Х2 |
ХЗ |
|
Х4 |
член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.30 |
|
2.62 |
4.10 |
|
1.90 |
-10.65 |
|
1 |
3.92 |
|
8.45 |
7.78 |
|
2.46 |
12.21 |
|
3.77 |
|
7.21 |
8.04 |
|
2.28 |
15.45 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2.21 |
|
3.65 |
1.69 |
|
6.99 |
-8.35 |
|
|
7.5 |
|
2.6 |
1.3 |
|
8.1 |
5.7 |
|
2 |
6.4 |
|
3.3 |
-2.4 |
|
1.7 |
-2.1 |
|
0.1 |
|
-2.3 |
0.8 |
|
-5.7 |
4.6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8.2 |
|
0.1 |
-5.3 |
|
-7.6 |
5.1 |
|
|
6.5 |
|
3.8 |
-4.1 |
|
1.2 |
9.92 |
|
3 |
7.1 |
|
-2.7 |
-1.4 |
|
1.4 |
6.95 |
|
-1.8 |
|
-1.0 |
4.3 |
|
1.3 |
7.91 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1.5 |
|
-3.4 |
7.8 |
|
-1.8 |
15.09 |
|
|
-3.0 |
|
2.0 |
-4.0 |
|
5.0 |
12.29 |
|
4 |
2.0 |
|
-1.0 |
1.0 |
|
-11.5 |
-12.69 |
|
1.0 |
|
-3.0 |
-2.0 |
|
2.7 |
13.10 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5.0 |
|
-1.0 |
3.0 |
|
7.8 |
56.93 |
|
|
6.0 |
|
-1.0 |
-1.0 |
|
11.2 |
26.25 |
|
5 |
-1.0 |
|
6.0 |
-1.0 |
|
5.7 |
39.59 |
|
-1.0 |
|
-1.0 |
6.0 |
|
3.4 |
46.53 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2.0 |
|
-1.0 |
3.0 |
|
-1.40 |
10.22 |
|
|
0.7 |
|
-1.0 |
3.0 |
|
4.0 |
0.09 |
|
6 |
1.0 |
|
1.0 |
-8.0 |
|
24.0 |
10.11 |
|
3.0 |
|
-0.5 |
-2.4 |
|
8.75 |
1.01 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8.0 |
|
7.0 |
-0.7 |
|
10.1 |
0.92 |
|
|
1.0 |
|
-6.0 |
12.0 |
|
-5.0 |
7.12 |
|
7 |
-3.0 |
|
7.0 |
2.0 |
|
-1.0 |
7.89 |
|
6.0 |
|
-5.0 |
-4.0 |
|
1.0 |
9.38 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1.0 |
|
2.0 |
-1.0 |
|
1.0 |
11.19 |
|
|
1.0 |
|
-3.0 |
4.0 |
|
5.0 |
7.94 |
|
8 |
-3.0 |
|
2.0 |
-1.0 |
|
3.0 |
1.86 |
|
-2.0 |
|
3.0 |
2.0 |
|
0.0 |
-3.89 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4.0 |
|
-1.0 |
-4.0 |
|
-6.0 |
15.54 |
|
|
2.0 |
|
1.0 |
-1.0 |
|
0.0 |
7.44 |
|
9 |
3.0 |
|
2.0 |
-4.0 |
|
9.0 |
0.87 |
|
3.0 |
|
-2.0 |
-2.0 |
|
3.0 |
4.85 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0.0 |
|
2.0 |
1.0 |
|
-5.0 |
9.45 |
|
|
5.0 |
|
0.0 |
4.0 |
|
1.0 |
-1.38 |
|
10 |
2.0 |
|
3.0 |
-4.0 |
|
2.0 |
0.34 |
|
-1.0 |
|
2.0 |
1.0 |
|
3.0 |
-4.99 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1.0 |
|
4.0 |
-2.0 |
|
0.0 |
1.88 |
|
|
-1.2 |
|
6.0 |
9.0 |
|
1.1 |
1.1 |
|
11 |
6.1 |
|
3.7 |
-6.1 |
|
7.6 |
7.02 |
|
-9.2 |
|
6.1 |
13.1 |
|
1.6 |
12.9 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
11.1 |
|
7.6 |
16.9 |
|
-2.8 |
15.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
|
4.0 |
2.0 |
6.3 |
8. |
-1.82 |
|
12 |
2.1 |
5.2 |
-5.3 |
1.0 |
2.39 |
|
-6.2 |
5.1 |
1.4 |
1.7 |
-4.28 |
||
|
||||||
|
8.1 |
0.1 |
1.7 |
3.0 |
6.81 |
Таблица 2.2
Данные к заданию 2
№ варианта |
Коэффициенты при неизвестных: |
|
|||
X1 |
Х2 |
ХЗ |
Свободный член |
||
|
|||||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2.7 |
3.3 |
1.3 |
2.1 |
|
1 |
3.5 |
-1.7 |
2.8 |
1.7 |
|
|
4.1 |
5.8 |
-1.7 |
0.8 |
|
|
1.7 |
2.8 |
1.9 |
0.7 |
|
2 |
2.1 |
3.4 |
1.8 |
1.1 |
|
|
4.2 |
-1.7 |
1.3 |
2.8 |
|
|
3.1 |
2.8 |
1.9 |
0.2 |
|
3 |
1.9 |
3.1 |
2.1 |
2.1 |
|
|
7.5 |
3.8 |
4.8 |
5.6 |
|
|
9.1 |
5.6 |
7.8 |
9.8 |
|
4 |
3.8 |
-5.1 |
2.8 |
6.7 |
|
|
4.1 |
5.7 |
1.2 |
5.8 |
|
|
3.3 |
2.1 |
2.8 |
0.8 |
|
5 |
4.1 |
3.7 |
4.8 |
5.7 |
|
|
-2.7 |
1.8 |
1.1 |
3.2 |
|
|
7.6 |
5.8 |
4.7 |
10.1 |
|
6 |
3.8 |
4.1 |
2.7 |
9.7 |
|
|
2.9 |
2.1 |
3.8 |
7.8 |
|
|
3.2 |
-2.5 |
3.7 |
6.5 |
|
7 |
0.5 |
0.34 |
1.7 |
-0.24 |
|
|
1.6 |
2.3 |
-1.5 |
4.3 |
|
|
5.4 |
-2.3 |
3.4 |
-3.5 |
|
8 |
4.2 |
1.7 |
-2.3 |
2.7 |
|
|
3.4 |
2.4 |
7.4 |
1.9 |
|
|
3.6 |
1.8 |
-4.7 |
3.8 |
|
9 |
2.7 |
-3.6 |
1.9 |
0.4 |
|
|
1.5 |
4.5 |
3.3 |
-1.6 |
|
|
5.6 |
2.7 |
-1.7 |
1.9 |
|
10 |
3.4 |
-3.6 |
-6.7 |
-2.4 |
|
|
0.8 |
1.3 |
3.7 |
1.2 |
|
|
2.7 |
0.9 |
-1.5 |
3.5 |
|
11 |
4.5 |
-2.8 |
6.7 |
2.6 |
|
|
5.1 |
3.7 |
-1.4 |
-0.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.5 |
-3.5 |
7.4 |
2.5 |
|
12 |
3.1 |
-0.6 |
-2.3 |
-1.5 |
|
|
0.8 |
7.4 |
-0.5 |
6.4 |
36
Глава III
Приближенные методы решения нелинейных уравнений
3.1Вводные замечания
Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраические уравнения – это
уравнения, которые содержат только алгебраические
функции, трансцендентные уравнения – это уравнения, содержащие какие-либо другие функции.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в
виде некоторого конечного соотношения (формулы). Очень часто
встречаются уравнения, которые не удается решить обычными
способами, |
для их решения используют итерационные методы |
||
или методы |
последовательных |
приближений. |
Приближенное |
нахождение |
действительных корней уравнения |
f (x) 0 обычно |
складывается из двух этапов:
a) отделение корней, т. е. установление возможно малых промежутков a, b , в которых содержится единственный корень уравнения f (x) 0 .
b) вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью
.
Приближенное значение корня может быть найдено различными способами, если исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки a и b, в которых непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков f (a) f (b) 0 , в этом случае между точками a и b есть точка, в которой f (x) 0 . Этот процесс называется отделением корней.
37
Пусть дано уравнение |
f (x) 0 , где функция |
f (x) определена и |
|||||
непрерывна |
в некотором |
интервале a x b. Всякое |
значение |
, при |
|||
котором f ( ) 0 , называется корнем уравнения |
f (x) 0 . |
|
|||||
Будем |
предполагать, |
|
что |
уравнение |
f (x) 0 имеет |
лишь |
|
изолированные корни, т. |
е. |
для |
каждого корня |
уравнения |
f (x) 0 |
существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если f : a,b R – непрерывная, строго монотонная функция и f (a) f (b) 0 , то
на отрезке существует корень уравнения f (x) 0 .
Укажем некоторые способы отделения корня для случая x R :
1. Составляется таблица значений функции y f (x) на
промежутке изменения аргумента x , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения f (x) 0 находится между ними.
Пример: отделить корни уравнения: f (x) x3 6x 2 0
Решение: составляем приблизительную схему:
x |
f(x) |
|
|
-∞ |
- |
-3 |
- |
-1 |
+ |
0+
1-
3 +
∞+
Уравнение имеет три корня, расположенных в интервалах: (-3, 1);
(0, 1); (1, 3).
38
2. Если существует производная функции f ' (x) и корни уравнения
f '(x) 0 легко вычисляются, то корни уравнения можно отделить
следующим образом: подсчитать знаки функции в точках нулей ее производной и в граничных точка a и b.
Пример: отделить корни уравнения: f (x) x4 4x 1 0 на отрезке [-3, 3].
Решение:
f ' (x) 4x3 4 4(x3 1) 4(x3 1) 0
x3 1 0 x 1
уравнение имеет два действительных корня,
которые расположены в интервалах (-3;1) и (1;3).
3. Строится график функции f (x) 0 на промежутке изменения
аргумента x , тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях
точек пересечения графика с осью OX . Если функция f (x) сложная, то
уравнение |
f (x) 0 |
заменяется равносильным: (x) (x) . |
Строятся |
||||||
графики функций |
y (x) и y (x) , тогда искомые корни находятся в |
||||||||
некоторых окрестностях проекций на ось OX |
точек пересечения этих |
||||||||
графиков. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: графически решить уравнение x lg x 1. |
|
||||||||
Решение: x lg x 1 lg x |
1 |
корни уравнения могут быть найдены |
|||||||
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой |
y lg x и |
||||||||
гиперболы |
y |
1 |
. |
Построив |
эти кривые, |
приближенно |
найдем |
||
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
единственный корень 2.5 уравнения x lg x 1.
39
Y
y=1/x
y=lgx
X
1 |
2 |
ξ |
3 |
|
|
|
|
Рис. 3.1 Графическое отделение корня уравнения
3.2Итерационные методы решения нелинейных уравнений
Метод бисекции (метод половинного деления)
Допустим, что мы отделили корень на отрезке a, b . Разделим
отрезок a, b пополам точкой x |
(a b) |
. Если |
f x 0 , то возможны два |
|
2 |
||||
|
|
|
варианта: либо f (x) меняет знак на отрезке a, x , либо на отрезке x, b .
В каждом случае выбираем тот из отрезков, на котором функция меняет знак, второй отрезок, где функция свой знак не меняет, отбрасываем.
|
b a |
|
, где |
|
|
Продолжаем процесс деления до тех пор, пока |
|
– |
|||
2n |
|||||
|
|
|
|
||
точность. |
|
|
|
||
Y |
|
|
|
a |
X |
|
x b
Рис. 3.2 Метод бисекции для решения нелинейных уравнений
40