- •Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и неопределенный интеграл
- •§ 1Скорость
- •§ 2 Дифференцируемость и производная
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •§ 3 Понятие касательной. Касательная к графику дифференцируемой функции
- •1.Производная степной функции
- •Глава 2. Дифференциал
- •Глава 3. Основные свойства дифференцируемых функций и их применения
- •I. Рскрытие неопределенности вида
- •2.Раскрытие неопределенности вида
I. Рскрытие неопределенности вида
При помощи производных можно находить пределы отношений бесконечно малых функций.
Теорема 1. Пусть для функций и выполнены следующие условия6
а) они определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может самой точки , причем и в указанной окрестности;
б) и при ;
в) существует предел отношения производных
Тогда существует равный ему предел отношения данных функций:
Доказательство. Доопределим функции и в точке , положив и . Тогда в указанной окрестности функции будут непрерывны. Для любого из этой окрестности на отрезке между и выполнены условия теоремы Коши.
Поэтому , где C некоторая точка между и . Так как при , , то
Теорема доказана.
Пример. .
Замечание. 1) Правило Лопиталя справедливо и при .
Если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применять повторно, а при соответствующих условиях и несколько раз, т.е.
Пример.
Здесь правило Лопиталя было применено три раза.
Правило Лопиталя переносится на тот случай, когда аргумент стремится к бесконечности. Действительно, произведем замену переменной (аргумента) . Тогда при . Поэтому .
Если предел отношения не существует, то отсюда еще не следует, что не существует предел отношения самих функций . Правило Лопиталя в этом случае неприменимо.
Пример. Если , то и предел в точке не существует.
Но .
2.Раскрытие неопределенности вида
Правило Лопиталя применимо и к отношению бесконечно больших функций.
Теорема 2. Пусть для функций и выполнены следующие условия:
а) они определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки , причем и в указанной окрестности;
б) и при ;
в) существует предел отношения производных
Тогда существует равный ему предел отношения данных функций:
Доказательство. Если в указанной окрестности точки по одну сторону от выбрать точки и , то на отрезке между и выполнены условия теоремы Коши.
Поэтому , где C некоторая точка между и . Отсюда
Зададим любое и найдем такое , что
По условию теоремы точку можно выбрать и зафиксировать так , чтобы для любой точки между и было
Так как и при , то
Поэтому существует такое, что при будет
Но тогда при указанных аргументах
По определению предела это означает, что .
Теорема доказана.
Замечания, сделанные по теореме 1, относятся и к теореме 2.
Пример. .
При помощи правила Лопиталя могут раскрываться и неопределенности отличные от и , так, например, неопределенности вида: ; ; и путем преобразований сводятся к отношению бесконечно малых или бесконечно больших функций.
Пример 1. .
Здесь мы имеем неопределенность вида (произведение бесконечно малой и бесконечно большой функций).
Пример 2.
Здесь мы имели неопределенность вида (разность двух бесконечно больших функций одного знака).
Пример 3. .
Здесь мы имеем неопределенность вида (показательно – степенная функция с бесконечно малыми основанием и показателем степени).
Аналогично раскрываются неопределенности вида и .
Асимптоты
Определение 1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если при или бесконечно большая.
Например, график функции имеет вертикальную асимптоту , т.к.
Пусть функция определена на промежутке или .
Определение 2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если функция представима в виде , где бесконечно малая функция при .
Теорема. Для того чтобы график функции имел при наклонную асимптоту необходимо и достаточно, чтобы
Доказательство. Необходимость. Пусть график функции имеет при асимптоту , т.е. выполняется равенство
.
Но тогда и
Достаточность. Пусть для справедливы равенства
Тогда из второго равенства следует, что , где бесконечно малая функция при . Но тогда , и, следовательно, прямая
является наклонной асимптотой графика функции .
Пример. Найти асимптоты графика .
Так как , то прямая является вертикальной асимптотой.
Далее, .
Следовательно, наклонной асимптотой будет прямая .
Исследование функций. Построение графика
В заключение приведем схему общего исследования функции.
Найти область определения функции.
Исследовать непрерывность функции и найти ее точки разрыва.
Найти асимптоты графика.
Выяснить является ли данная функция четной или нечетной.
Выяснить является ли данная функция периодической.
Исследовать возрастание и убывание функции; найти точки экстремума.
исследовать направление выпуклости графика и найти точки перегиба.
Найти точки пересечения графика с осями координат и исследовать поведение функции при и .
Данные исследования следует записать в таблицу и использовать при построении графика функции.
В качестве примера проведем полное исследование функции и построим ее график.
Область определения функции .
Функция является непрерывной как частное двух непрерывных функций.
Так как , то прямые и являются вертикальными асимптотами графика. Далее имеем . Следовательно, прямая есть наклонная асимптота графика.
Так как , то данная функция является нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
Функция не периодическая.
Функция дифференцируема всюду в области ее определения. Производная функции
в точках , , .
при , т.е. на множестве .
при , т.е. на множестве .
Отсюда следует, что функция возрастает на множестве
и убывает на множестве .
Производная меняет знак в точках и . Это точки экстремума. Так как в точке знак производной меняется с – на + (при возрастании аргумента), то в этой точке функция имеет минимум .
Так как в точке знак производной меняется с + на -, то в этой точке функция имеет максимум .
В точке функция экстремума не имеет, т.к. в этой точке производная не меняет своего знака.
Вторая производная функции
;
в точке . Далее, на множестве , поэтому на этом множестве график функции направлен выпуклостью вверх: на множестве , значит на этом множестве график направлен выпуклостью вниз.
В точке вторая производная меняет свой знак с - на +, следовательно, точка является точкой перегиба графика.
, т.е. график функции проходит через начало координат.
Результаты исследования представим таблицей
-3 |
- |
0 |
3 | ||||
4,5 минимум |
не сущ. |
0 перегиб |
не сущ. |
-4,5 максимум | |||
-
|
0 |
не сущ. |
0 |
не сущ. |
0 |
- | |
+ + выпуклость вниз |
не сущ. |
0 |
не сущ. |
- - выпуклость вверх |