
- •Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и неопределенный интеграл
- •§ 1Скорость
- •§ 2 Дифференцируемость и производная
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •§ 3 Понятие касательной. Касательная к графику дифференцируемой функции
- •1.Производная степной функции
- •Глава 2. Дифференциал
- •Глава 3. Основные свойства дифференцируемых функций и их применения
- •I. Рскрытие неопределенности вида
- •2.Раскрытие неопределенности вида
Глава 3. Основные свойства дифференцируемых функций и их применения
Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Важную роль в математическом анализе играют следующие основные теоремы о дифференцируемых функциях.
Теорема
Ферма.
Пусть функция
определена на промежутке
и во внутренней точке
этого промежутка принимает наибольшее
или наименьшее значение. Тогда если в
точке
существует производная, то она равна
нулю:
.
Доказательство.
Пусть
наибольшее значение функции
на
:
, где
. Рассмотрим разностное отношение
. Так как
, то при
это отношение неотрицательно и его
предел при
, а при
это отношение неположительно и его
предел при
:
. Следовательно, единственно возможно
.
Если
наименьшее значение функции
на
,
то рассуждения аналогичны.
Геометрический
смысл теоремы ферма состоит в том, что
касательная к графику функции
в точке с абсциссой
параллельна оси абсцисс, если
- наибольшее (см. рис.6) или наименьшее
значение функции
на
и функция в точке
дифференцируема.
Теорема
Ролля.
Если функция
непрерывна на отрезке
, дифференцируема в интервале
и на концах отрезка принимает равные
значения :
,то внутри отрезка найдется такая точка
,
что
.
Доказательство.
Пусть
и пусть
- наименьшее и наибольшее значение
функции
на отрезке
.
Очевидно,
.
Если
, то функция на
постоянная и ее производная всюду равна
нулю. Если же
,
то либо
,
либо
,
то есть внутри отрезка достигается или
наименьшее или наибольшее значение
функции
на отрезке. По теореме Ферма в
соответствующей точке
производная равна нулю.
Теорема доказана.
Геометрически теорема Ролля означает, что при выполнении условий теоремы внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, которой соответствует точка на графике с касательной, параллельной оси Ох. Очевидно, таких точек может быть несколько.
Отметим,
что условия теоремы Ролля существенны.
При нарушении одного из них получаем
ложное высказывание. Например, функция
на отрезке [-1, 1] непрерывна, на концах
отрезка принимает одинаковые значения
|-1|=|1| , но внутри отрезка нет точки, в
которой производная равнялась бы нулю,
так как нет дифференцируемости всюду
на интервале ]-1, 1[.
Теорема
Лагранжа.
Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в интервале
,
то внутри отрезка найдется такая точка
,
что справедливо равенство
.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
Легко
видеть, что функция
удовлетворяет всем условиям теоремы
роля: она непрерывна на
и дифференцируема на
как сумма функций, непрерывных на
и дифференцируемых на
,
и
. Поэтому, согласно теореме Ролля,
найдется такая точка
, что
.
Но
,
поэтому
,
откуда и следует доказываемое равенство.
Теорема
Лагранжа доказана как следствие теоремы
роля. Заметим, что сама теорема Ролля
является частным случаем теоремы
Лагранжа и получается из нее, если
положить .
Выясним
геометрический смысл теоремы Лагранжа.
Рассмотрим график функции ,
заданной на
и точки А и В графика с абсциссами а и b
. Видно, что
угловой коэффициент хорды АВ, а
угловой коэффициент касательной к
графику в некоторой точке С с абсциссой
.
Следовательно, теорема Лагранжа
утверждает, что на графике функции
между точками А и В найдется такая точка
С, касательная в которой параллельна
хорде АВ (см. рис 8).
Если
в формуле Лагранжа положить ,
где 0<
, то формула Лагранжа принимает вид
Это формула конечных приращений.
Как в случае теоремы Ролля, условия теоремы Лагранжа существенны и ,при нарушении одного из них получаем ложное высказывание.
Теорема
Коши.
Если каждая из функций
и
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в интервале
,
причем
в
,
то найдется такая точка
,
что справедливо равенство
Доказательство.
Предварительно отметим, что
, так как в противном случае по теореме
роля в интервале
нашлась бы точка, в которой производная
обращалась бы в нуль, а это противоречит
условию теоремы.
Рассмотрим вспомогательную функцию
Эта
функция непрерывна на
и дифференцируема в
как сумма функций непрерывных на
и дифференцируемых в
.Кроме того,
. Поэтому, согласно теореме Ролля,
существует точка
такая , что
. Но
поэтому
.
Отсюда и следует доказываемая формула Коши.
Отметим,
что формула Лагранжа получается из
формулы Коши в частном случае при .
Теорема Дарбу. Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то для ее производной всякое число, лежащее между двумя значениями этой производной, также является значением этой производной.
Доказательство.
Пусть а и b
(a<b)
точки промежутка, на котором данная
функция
дифференцируема и пусть для определенности
.Рассмотрим любое промежуточное число
.
Для доказательства теоремы построим три вспомогательные функции:
и
Видно,
что
и что
непрерывна в интервале
.Видно
также, что при
,а
при
,
.
Доопределим
в точках a
и b,
положив ее равной ее пределам
. Тогда
становится непрерывной на отрезке
.
согласно
теореме о промежуточных значениях
непрерывной на отрезке функции, существует
, такое, что
. Но по теореме Лагранжа найдется такое
С между
, что
Значит,
.
Следствие.
Если функция
дифференцируема на некотором промежутке,
то
на этом промежутке может иметь разрывы
только второго рода.
Например, функция
имеет всюду производную
у
которой в точке
разрыв второго рода.
Условия постоянства функции на промежутке
Если функция на некотором промежутке постоянная, то ее производная всюду равна нулю. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема. Если функция дифференцируема на некотором промежутке и всюду ее производная равна нулю, то функция на этом промежутке постоянная.
Доказательство.
Пусть
на
дифференцируема и всюду
.
Если
- некоторая фиксированная, а
-любая точка
,
то на отрезке между
выполнены условия теоремы Лагранжа.
Поэтому существует между
точка
такая, что
.
Следовательно,
и потому функция
постоянная на
.
Возрастание и убывание функции в точке и на промежутке
При помощи производных исследуется локальное и глобальное поведение функции.
Определение.
Функция
называется возрастающей (убывающей )
в
некоторой внутренней точке
области определения, если существует
окрестность
, в которой
при
при
при
).
Достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке дает следующая теорма.
Теорема
1.
Если функция
дифференцируема в точке
и
,
то эта функция в точке
возрастает (убывает).
Доказательство.
Пусть
. Так как
, то
Отсюда
следует, что в
- окрестности
(кроме точки
)
выполнены неравенства
В
качестве
возьмем положительное число, меньшее
.
Тогда
и
.
Это означает, что в
- окрестности
при
и
при
,
то есть функция
возрастает в точке
.
Аналогично
доказательство в случае .
Заметим, что условие теоремы не является необходимым для возрастания (убывания)
функции в точке.
Например,
функция
возрастает в точке
,
а
.
Перейдем
к изучению монотонности функции на
промежутке при помощи производных.
Будем считать, что функция
непрерывна на некотором промежутке
и дифференцируема во всех внутренних
точках. Напомним, что функция на множестве
M
называется строго возрастающей, если
и возрастающей или неубывающей на этом множестве, если
Аналогичны определения для строгого убывания и убывания или невозрастания.
Теорема
2.
Для того чтобы
на
была строго возрастающей (строго
убывающей), достаточно, чтобы в интервале
было
.
Доказательство.
Для любых двух точек ,
на отрезке
выполнены условия теоремы Лагранжа.
Поэтому для некоторой точки
Если
всюду в
,
то
и функция на
строго возрастает, а если
, то
и функция на
строго убывает.
Условия
теоремы не являются необходимыми.
Например, функция
на отрезке [-1;1] строго возрастает, но
.
Теорема
3.
Для того чтобы
на
была возрастающей или неубывающей
(убывающей или невозрастающей), необходимо
и достатаочно, чтобы всюду в интервале
было
.
Доказательство.
Достаточность доказывается точно так
же как в предыдущей теореме при помощи
теоремы Лагранжа. При
получаем
,
а при
для
, т.е. возрастание или, соответственно,
убывание.
Перейдем
к доказательству необходимости. Пусть
любая точка интервала
,
а
.
Если
функция возрастает, то
, поэтому
.
Переходя
к пределу при
получаем
.
Аналогично
для убывающей функции получим .
Пример. Найти интервалы монотонности функции
Эта
функция дифференцируема на промежутках
, и ее производная
Видно,
что
в интервалах
, а
в интервалах ]-1, 1[ и ]1,3[. Таким образом,
данная функция строго возрастает на
, а на ]-1, 1[ и ]1,3[ строго убывает.
Понятие максимума и минимума
Максимальное и минимальное значение функции на некотором множестве это наибольшее и наименьшее ее значения на этом множестве. Максимум и минимум объединяются общим названием – экстремум. Наряду с глобальным понятием экстремума имеется локальное понятие экстремума.
Определение.
Функция
во внутренней точке области определения
имеет локальный максимум (минимум) ,
если найдется такая окрестность точки
, в которой
наибольшее (наименьшее) среди значений
этой функции, т.е.
для всех
из указанной окрестности.
Одна
и та же функция может иметь несколько
точек локального максимума и минимума
с различными значениями функции в них
(экстремальными значениями) . Так,
функция, график которой изображен на
рис.9 имеет локальный максимум в точках
, а локальный минимум в точках
. Отметим, что локальное минимальное
значение может быть больше некоторого
локального максимального значения.
Необходимые условия экстремума
Теорема.
Если функция
в точке
имеет локальный экстремум, то она в этой
точке либо не дифференцируема, либо
имеет в этой точке производную, равную
нулю:
.
Доказательство.
Пусть
точка локального экстремума и пусть в
этой точке функция
дифференцируема. Так как на некотором
интервале, содержащем
,
значение
наибольшее или наименьшее среди
значений, принимаемых на этом интервале,
то по теореме Ферма
.
Теорема имеет простой геометрический смысл: в точке графика, соответствующей точке локального экстремума, либо касательная параллельна оси Ох, либо касательной не существует, либо параллельна оси oY.
Примером
функции, не дифференцируемой в точке
экстремума, является
, которая в точке
имеет минимум и не имеет производной.
Доказанное
условие экстремума является необходимым,
но не является достаточным. Например,
функция
в точке
имеет производную, равную нулю, но не
имеет в этой точке экстремума.
Точки,
в которых выполнено необходимое условие
экстремума (точки, в которых
, и точки, в которых
не дифференцируема), называются
критическими. Это точки “подозрительные
на экстремум”. Вопрос о наличии экстремума
в критических точках решается с помощью
достаточных условий.
Достаточные условия максимума и минимума
Следующее достаточное условие локального экстремума использует информацию о первой производной данной функции.
Теорема
1.
Пусть для функции
точка
является критической и пусть функция
дифференцируема в некоторой окрестности
,
исключая может быть точку
,
в которой она непрерывна.
Тогда,
если при переходе через
производная меняет знак, то функция в
точке
имеет локальный экстремум. Если при
этом знак
меняется с + на -, то
в точке
имеет локальный максимум: если же знак
меняет с - на +, то
в точке
имеет локальный минимум.
Доказательство.
Рассмотрим случай, когда в данной
окрестности точки
производная
при переходе через
меняет знак с + на -. Если любая точка
этой окрестности отличная от
,
то на отрезке между
и
выполнены для
условия теоремы Логранжа. Поэтому
,
где С некоторая точка между
.
Так как
при
и при
при
,
то всегда
,
то есть
.Но
это означает, что в точке
функция имеет локальный максимум.
Аналогично рассматривается случай локального минимума.
Из
доказательства теоремы видно, что если
в условиях теоремы производная
имеет один и тот же знак в окрестности
точки
,
то локального экстремума в точке
нет. Действительно, в этом случае
имеет разные знаки при
.
Доказанное достаточное условие дает первый способ исследования функции на экстремум. Схема этого способа следующая:
Находятся критические точки
. Для этого находят первую производную
и находят корни уравнения
. Затем находят все точки, где функция не дифференцируема.
Исследуется знак производной
в окрестности каждой критической точки
, т.е. для каждой критической точки
достаточно малого
определяется знак
.
Вывод определяется по правилу.
-
Вывод
+
-
- точка локального максимума
-
+
- точка локального минимума
+
+
- не является точкой локального экстремума
-
-
Пример. Исследовать на экстремум функцию
Функция
определена и дифференцируема на множестве
.а
этом множестве
Следовательно,
множество критических точек этой функции
есть только множество корней уравнения
,
то есть {-1,3}.
Для
точки
при малом
и поэтому в точке
функция имеет локальный максимум
.
Для
точки
при малом
и поэтому в точке
функция имеет локальный минимум
.
Рассмотрим другое достаточное условие локального экстремума, использующее вторую производную.
Теорема
2.
Пусть для функции
точка
является критической и пусть
в
имеет вторую производную. Тогда, если
,
то функция в точке
имеет локальный экстремум. Если при
этом
,
то
в
имеет локальный минимум, если же
, то
в
имеет локальный максимум.
Доказательство.
Так как
критическая точка и функция
в
имеет вторую производную (и потому имеет
первую производную), то
.
Пусть
.
Тогда
имеет в
положительную производную, и, следовательно,
возрастает в точке
.
Поэтому в некоторой окрестности
будет
при
и
при
.
Но по предыдущей теореме тогда
точка локального минимума.
Аналогично
доказывается в случае .
Из доказанного достаточного условия локального экстремума вытекает второй способ исследования функции на экстремум.
Схема этого способа следующая:
находятся критические точки функции
, в которых
, и в этих точках находится
(к точкам, в которых не существует первая и вторая производные, этот способ неприменим).
Исследуется знак второй производной в каждой критической точке. Если
, то
- точка локального минимума, если
, то
– точка локального максимума.
Заметим,
что
может быть как в точках, где экстремума
нет, так и в точках экстремума. Например,
для функции
в точке
экстремума нет, хотя в этой точке
,
а для функции
в точке
минимум, но также
.
Пример. Исследовать вторым способом на экстремум функцию
Эта
функция на множестве
имеет первую и вторую производные:
Критическими
точками являются и .
Так как
,
то в точке
функция имеет локальный максимум
.
Так как
,
то в точке
функция имеет локальный минимум
.
Отметим в заключение, что второй способ
исследования на экстремум несколько
проще первого, но, очевидно, имеет более
узкую область применения.
Нахождение наибольших и наименьших значений
Если
функция
задана и непрерывна на отрезке
,
то по теореме Вейерштрасса, она на этом
отрезке имеет среди своих значений
наибольшее и наименьшее. Эти значения
могут достигаться в одной из точек
локального экстремума, но могут и не
достигаться на одном из концов отрезка.
Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке следует найти ее значения во всех точках локального экстремума, лежащих в данном отрезке, и значения на концах отрезка. Из этих значений и выбирается наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке [-1,4].
Найдем
первую и вторую производные: .
Из уравнения
находим критические точки
.
Так как
,
то в точке
локальный максимум,
.
Так как
,
то в точке
локальный минимум,
.На
концах отрезка функция имеет значения:
.
Таким образом, наибольшее значение
функции 12 достигается на конце отрезка,
наименьшее значение -8 достигается в
точке локального минимума и на другом
конце отрезка.
Задача об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке несколько упрощается, если на данном отрезке функция имеет единственную экстремальную точку. Это видно из следующей теоремы.
Теорема.
Если функция
на промежутке
непрерывна и имеет единственную точку
локального экстремума, то значение
функции в этой точке наибольшее или
наименьшее на
в зависимости от того, будет ли данная
точка точкой локального максимума или
локального минимума.
Доказательство.
Пусть в точке
функция имеет локальный максимум и
единственная точка локального экстремума
на
. Тогда в некоторой окрестности
.
Предположим,
что значение
не является наибольшим на промежутке
и что существует точка
,
для которой
.
На отрезке между
благодаря непрерывности функция
принимает наименьшее значение, причем
это значение меньше
,
т.е. достигается внутри отрезка в
некоторой точке
.
Но тогда точка
является точкой локального минимума,
что противоречит единственности точки
локального экстремума.
Пример.
Функция
определена и непрерывна на промежутке
и имеет на этом промежутке единственную
точку локального экстремума (локального
минимума)
.
Поэтому значение функции в этой точке
наименьшее на всем промежутке.
Выпуклые функции
Пусть
функция
дифференцируема внутри некоторого
промежутка
.
Тогда в каждой точке
,
графика существует касательная, не
перпендикулярная оси Ох.
Определение
1.
Говорят, что график функции
в точке
направлен выпуклостью вверх (вниз), если
существует такая окрестность точки
,
что для всех точек этой окрестности
точки графика лежат ниже (выше), касательной
к графику функции в точке
.
Функция при этом называется выпуклой
в точке
.
Определение
2.
Говорят, что график функции
на промежутке
направлен выпуклостью вверх (вниз) ,
если он направлен выпуклостью вверх
(вниз) в каждой точке
,
где
любая внутренняя точка
.
Функция при этом называется выпуклой
на промежутке.
Например,
функция
выпукла на отрезке [-1,1], а ее график (см.
рис. 10) направлен выпуклостью вверх на
этом отрезке. Функция
выпукла на
,
а ее график направлен выпуклостью вниз
(см. рис. 11).
Установим
условия того или иного направления
выпуклости графика в данной точке .
При этом будем полагать, что функция в
точке
имеет вторую производную.
Теорема.
Для того чтобы график функции
в точке
был направлен выпуклостью вверх (вниз),
необходимо условие
,
и достаточно условие
.
Доказательство.
Уравнение касательной к графику в точке
имеет вид
.
Поэтому
взаимное расположение графика функции
и касательной определяется функцией
В
точке
эта функция и ее производная равны нулю.
Пусть
график
в точке
направлен выпуклостью вверх. Тогда в
некоторой окрестности
функция
отрицательна, а потому в точке
имеет максимум. Но в таком случае ее
вторая производная
в точке
не может быть положительной. Следовательно,
неравенство
необходимо для направления выпуклости
графика вверх в точке
.
Если
же ,
то
в точке
имеет максимум, т.е. в некоторой окрестности
функция
отрицательна. Поэтому график функции
в точке
направлен выпуклостью вверх.
Достаточность
условия
доказана.
В случае направления выпуклости графика вниз рассуждения аналогичны.
Заметим,
что в точках, где ,
график функции может быть направлен
выпуклостью либо вверх, либо вниз. Так
графики функций
и
в точке
имеют разное направление выпуклости,
но в том и другом случае
.
Практически
для исследования выпуклости функции
нужно найти ее вторую производную и
определить промежутки, внутри которых
и
. На первых график направлен выпуклостью
вверх, а на вторых – вниз.
Пример.
Исследовать выпуклость функции .
При
имеем
.
Поэтому
в интервале и
в интервале
. Следовательно, график данной функции
в интервале
направлен выпуклостью вверх, а в интервале
- выпуклостью вниз.
Точки перегиба
Предположим,
что функция
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
,
за исключением, быть может, самой точки
,
в которой она непрерывна.
Определение.
Точка
называется точкой перегиба графика
функции
,
если существует такая окрестность
точки
,
что в интервале
график направлен выпуклостью в одну
сторону, а в
- другую, т.е. при переходе через
направление выпуклости графика меняется.
Теорема
1.
Если в точке
перегиба графика функции
вторая производная функции существует
и непрерывна, то она в этой точке
обращается в нуль:
.
Доказательство.
В некоторой окрестности точки
с одной стороны от
выполнено неравенство
,
а с другой стороны,
.
Поэтому благодаря непрерывности второй
производной в
имеем
.
Равенство
является необходимым признаком точки
перегиба, но не является достаточным.
В этом можно убедится, рассматривая
функцию
в точке
.
Эта точка не является точкой перегиба,
хотя в этой точке
.
следует иметь также ввиду, что в точке
перегиба может не существовать вторая
(и даже первая) производная. Например,
график функции
в точке
имеет перегиб, но в этой точке функция
не дифференцируема.
Таким
образом, точки перегиба графика функции
следует искать среди точек, в которых
вторая производная
или не существует, или равна нулю.
Укажем достаточный признак точки перегиба.
Теорема
2.
Пусть функция
имеет вторую производную в некоторой
окрестности точки
за исключением, быть может, самой точки
и непрерывна в
.
Тогда, если
в указанной окрестности имеет разные
знаки слева и справа от точки
,
то график функции имеет перегиб в точке
.
Доказательство.
Так как вторая производная функции
слева и справа от точки
имеет разные знаки, то направление
выпуклости графика функции слева и
справа от точки
различны. Но тогда по определению
есть точка перегиба графика функции.
Из сказанного следует способ отыскания точек перегиба:
найти точки, в которых возможен перегиб, то есть точки, в которых
либо не существует, либо обращается в нуль;
исследовать знак
в окрестности каждой такой точки и сделать вывод по схеме
-
Знак
при
Знак
при
Вывод
+
-
- точка перегиба
-
+
+
+
не является точкой перегиба
-
-
Одновременно с исследованием точек перегиба происходит исследование направления выпуклости графика функции.
Пример. Найти точки перегиба графика функции
Данная функция имеет всюду вторую производную
Она
обращается в нуль и точке .
Так
как
при
и
при
, то точка
является точкой перегиба, причем слева
от точки график функции выпуклый вверх,
а справа – вниз.
Применение дифференциального исчисления к нахождению пределов
(Правило Лопиталя)