Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и неопределенный интеграл

Модуль 1. Дифференциальное исчисление

Лекция 1.

Понятие производной возникло в результате многолетних усилий математиков при решении ряда задач, важнейшим из которых является задача о скорости неравномерного движения и задача о касательной к кривой. В XVII веке Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга дали полное теоретическое решение этих задач. Это привело к созданию дифференциального и интегрального исчисления и явилось началом нового периода в истории математики – периода математики переменных величин. «Поворотным пунктом в математике, - писал Ф. Энгельс, - была декартова переменная величина. Благодаря этому, в математику вошли движение и тем самым диалектика и, благодаря этому же, стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление…»

§ 1Скорость

Пусть материальная точка движется по некоторой прямой, на которой выбрано начало О отсчета расстояний и положительное направление. Через S обозначим расстояние данной точки от O, а через t – время. Каждому значению t из некоторого промежутка (a, b) соответствует определенное значение S. Функция , выражающая эту зависимость, называется законом движения точки.

Выберем некоторый момент и для каждого обозначим , тогда . Моментам и соответствуют расстояния от O, равные и . Их разность обозначим .

Таким образом, за время точка переместилась по прямой на расстояние . Отношение (при условии )

называется средней скоростью движения точки на отрезке времени между моментами и и обозначается .

Для характеристики движения в момент вводится понятие мгновенной скорости. Мгновенная скорость движения называют предел средней скорости при и обозначают

Итак, для отыскания мгновенной скорости в момент требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю.

В качестве примера найдем скорость свободно падающего тела. Известно, что закон движения в этом случае имеет вид

, где – постоянная.

Здесь .

Поэтому .

Заметим, что каждому моменту соответствует определенная мгновенная скорость , и эта зависимость выражается функцией

.

§ 2 Дифференцируемость и производная

Рассмотрим два основных понятия дифференциального исчисления: понятие дифференцируемости функции и понятие производной функции в данной точке.

Пусть функция определена на некотором промежутке a, b. Зафиксируем значение внутри промежутка: . Обозначим через , где , приращение аргумента, а через , соответствующее приращение функции.

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в данной точке , если приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде

, (1)

где А от не зависит, а - функция от бесконечно малая в точке .

Так как произведение двух бесконечно малых и является бесконечно малой более высокого порядка, чем , то и.

Первое слагаемое в этой сумме является линейным относительно , а второе бесконечно малым более высокого порядка, чем . Например, функция является дифференцируемой в любой точке , так как

.

Рассмотрим теперь отношение приращения функции к определяющему его приращению аргумента (разностное отношение) в точке .

(2)

Это функция от , определенная в окрестности точки , поэтому можно изучать вопрос о существовании ее предела в точке .

Определение 2. Производной функции в точке называется предел разностного отношения (2) при .

Производную функции в точке будем обозначать или , то есть

(3)

Если производная функции существует в различных точках промежутка , то ее можно рассматривать как функцию переменной и для нее пользоваться обозначением или . Например, для функции в любой точке производная существует и равна

.

Введенные нами понятия дифференцируемости и производной функции в данной точке тесно связаны. Это видно из следующей теоремы.

Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируемой в данной точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда ее приращение представимо в виде (1). Отсюда (при условии ) находим

.

Правая часть равенства имеет предел в точке равный А, поэтому существует производная в точке , и она равна А, т.е.

Достаточность. Пусть функция имеет производную в точке :

.

Обозначим

Как известно, эта разность между функцией и ее пределом есть бесконечно малая функция в точке . Отсюда

.

Следовательно, имеет место представление (1) и функция в точке дифференцируема.

Вернемся к понятию мгновенной скорости движения материальной точки. По определению

,

следовательно, мгновенная скорость в момент - это производная функции в точке . По аналогии с механикой производную любой функции трактуют как скорость изменения этой функции в зависимости от изменения аргумента . Такая трактовка находит широкое применение во многих приложениях математического анализа.