29. Ознакомление учащихся с отношениями между

ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ

В процессе обучения математике учащиеся часто сталкиваются с отношениями между фигурами, которые задаются словами «больше», «меньше», «выше’», «ниже», «шире, одинаковые», «над», «под»,

Например, к рис. 68 учитель ставит такие вопросы: «Какой квадрат по размерам больше? Какой — меньше? Есть ли одинаковые квадраты?>)

Выбирая квадраты попарно:

(1, 2), (1, 3), 2, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3), учащиеся

по размерам больше второго и третьего; второй меньше первого, но равен второму, третий — меньше первого, но равен второму. для введения понятий «выше>), «ниже», «одинаковые по высоте» по такому же плану можно рассмотреть с учащимися столбики или пирамиды, сложенные из кубиков.

Понятия «отрезок и «длина отрезка в начальной школе четко не различаются. Однако, говоря об отношениях равенства или неравенства отрезков, имеют в виду равенство или неравенство длин отрезков. Длины данных отрезков (например, вырезанных из бумаги) сравниваются попарно. Учащиеся наложением устанавливают, что один из них имеет большую длину, другие — меньшую, а некоторые равны по длине.

Отношение «иметь одну общую точку» в множестве прямых может быть введено неявно в первом классе. Здесь же вводится и отношение равенства геометрических фигур. Так, учащиеся вырезают равные, или, как ни говорят, одинаковые треугольники, прямоугольники и другие геометрические фигуры. Разрезая квадрат, равнобедренный треугольник и ромб (рис. 69) по намеченным линиям, школьники

убеждаются в равенстве полученных фигур путем наложения одной фигуры на другую.

Из вузовского курса математики известно, что между различными разделами математики существует глубокая связь. Так, геометрические отношения, понятия можно перевести на язык алгебры. С другой стороны, многим алгебраическим понятиям можно дать геометрическую интерпретацию. Для перевода с геометрического языка на алгебраический и наоборот может использоваться метод координат.

Знакомство школьников с координатным методом может начаться с первого класса, конечно, в методически целесообразной форме. Так например, каждому отрезку, соизмеримому с отрезком длиной 1 см, ставится в соответствие натуральное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок укладывается в измеряемом. Числу 7 ставится в соответствие отрезок, в котором единичный отрезок длиной 1 см уложен 7 раз.

Графическая иллюстрация многих задач на движение позволяет раскрыть некоторые особенности метода координат. Пусть, например, дана задача: «Расстояние от Москвы до Ленинграда 650 км. Пассажир поезда Ленинград — Москва заметил по надписи на путевом столбе, что до Москвы осталось 70 км. На каком расстоянии от Ленинграда находится в это время поезд?» Ее можно проиллюстрировать схемой, приведенной на рис. 70.

Учащимся можно предложить и другие иллюстрации, в которых используется понятие координатной прямой (рис. 71, 72). В них числовой промежуток отражается на отрезок так, что каждому числу из данного числового промежутка ставится в соответствие единственная точка отрезка и, наоборот, каждой точке отрезка ставится в соответствии число из взятого промежутка.

Приведем примеры еще нескольких заданий:

1) отметь в тетради точки так, как показано на рис. 73.

2) начерти в тетради данные многоугольники и найди сумму длин сторон каждого из них (рис. 74);

3) начерти ломаную и найди ее длину (рис. 75).

При выполнении таких заданий приходится характеризовать положение каждой точки относительно другой точки парой чисел. Рассуждения учащихся при выполнении первого задания могут быть такими: «Отметим верхнюю левую точку. Отсчитаем от нее 5 клеточек вправо и поставим верхнюю правую точку. От верхней правой точки отсчитаем пять клеточек вниз и три клеточки вправо и отметим нижнюю правую точку. От первой точки (верхней левой)

отсчитаем вниз пять клеточек, а влево - две, поставим четвертую точку ».

Так как в качестве начальной можно выбрать любую из четырех точек, то и рассуждения могут быть различными. Известно, что положение любой точки относительно данной на плоскости может быть охарактеризовано парой чисел. Так, если в рассмотренном выше задании обозначить точки буквами А, В, С, В, то точку А можно охарактеризовать парой чисел — (О, О), В парой чисел (5, 0) относительно точки А, С — парой чисел (3, — 5) относительно точки В, В — парой чисел (— 3, — 5) относительно точки А.

В начальной школе рассматриваются геометрические преобразования плоскости, сохраняющие расстояния. Однако ни общего определения геометрического преобразования, ни определений отдельных его видов не дается. Первые представления о геометрических преобразованиях учащиеся получают при вырезании из листа бумаги различных геометрических фигур. Механические перемещения фигур, вырезанных из бумаги, для составления из них других фигур — это то, что составляет наглядную основу понятия преобразования.

Учащимся можно предложить самые разнообразные задания такого рода:

1) начертить два таких треугольника, как красный, и два таких, как синий;

2) вырезать начерченные треугольники;

3) составить из них: а) различные четырехугольники; б) пятиугольник; в) шестиугольник.

Выполняя построение двух равных треугольников на листе

метричные фигуры (см. рис. 77). Учащимся не сообщается, какие из полученных фигур имеют ось симметрии или центр симметрии, а какие —. нет. Однако практическая работа по составлению различных фигур поможет им в дальнейшем при знакомстве с различными видами перемещений.

зо. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Важным средством формирования у учащихся геометрических представлений являются задачи на построение. В процессе геометрических построений ученики в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки.

В правильности математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются в процессе геометрических построений. Так образом, например, устанавливается тот факт, что через одну точку можно провести бесчисленное множество прямых, -ведут через две только одну прямую что на прямой можно указать бесконечное множество точек, принадлежащих этой прямой; что по трем точкам можно построить треугольник; что отрезки, имеющие равные длины, одинаковые.

1 В начальной школе термины отрезок», <треугольник», «четырехугольник», «пятиугольник» разъясняются с помощью задач на построение. Так, например, уже в первом классе учащимся прилагается начертить в тетрадях такие же фигуры, как и в учебнике.

Научившись выделять прямоугольники из множества четырехугольников, младшие школьники строят эти фигуры в тетради по образцу, данному в учебнике: «Отметь точки, как показано на чертеже, и соедини их отрезками так, чтобы получился четырехугольник. Как называется этот четырехугольник?’> Последующие задания предполагают построение прямоугольников в тетради по образцу рассмотренного задания.

В 1—ТУ классах решаются в основном метрические задачи на построение, в которых обращается внимание только на размеры и форму искомой фигуры. Например: «Построить прямоугольник, периметр которого 12 см Построить разные прямоугольники, сумма длин сторон которых равна 12 см».

Могут быть рассмотрены и другие по своему характеру задания. Выполняя их, учащиеся должны принимать во внимание не только размеры и форму фигуры, но и ее положение на плоскости относительно данных элементов. Например: «Начерти два круга. Раздели окружность первого круга на четыре части, а второго — на три части. Точки деления соедини последовательно отрезками. Какие многоугольники получились внутри круга?

К определениям и истинным математическим предложениям учащихся следует подводить через задачи на построение. Это значительно активизирует их познавательную деятельность и способствует сознательному усвоению изучаемого материала. Задачи на построение дают возможность закреплять ранее изученный материал, устанавливать новые математические факты и способствуют выработке у учащихся навыков правильных рассуждений, поиска решения задач.

Процесс решения задач на построение разбивается обычно на четыре этапа: анализ, построение, доказательство, исследование. В 1—ТУ классах следует начать постепенное, неявное для учащихся и хорошо осознаваемое учителем ознакомление с общей схемой решения задач на построение. Это означает, что при решении любой задачи на построение следует. выделять названные четыре этапа. В зависимости от содержания задач и целей, преследуемых при их решении, на первых шагах обучения число этапов может варьироваться: построение и и9следование; построение и доказательство; анализ и построение. У

Построение и исследование проводятся при выполнении заданий вида: «Начерти так треугольник (рис. 78). Проведи один отрезок так, чтобы получилось еще два треугольника»!

Учитель руководит процессом построения например, так: «Обозначим вершины треугольника, который надо построить, цифрами 1, 2, 3. (На доске или плакате над вершинами треугольника проставляются цифры 1, 2, 3.) Как расположена вершина 2 относительно вершины 1? (На пять клеточек вправо и две клеточки вниз.) Отметьте вершину 2. Как расположена вершина 3 относительно вершины?

(Три клеточки влево и три клеточки вниз.) Отметьте ее. Проведите в треугольнике отрезок так, чтобы получилось два треугольника».

На этом заканчивается этап построения и начинается исследование. Выясняется, сколько отрезков можно провести в треугольнике, чтобы получилось еще два треугольника.

Приведем пример задачи на построение с последующим доказательством: «Начерти прямой уголх. Учащиеся вычерчивают прямой угол и доказывают правильность построения с помощью модели прямого угла или чертежного угольника.

Ан а л и з и пост р ое н и е можно проиллюстрировать следующей задачей: «Начертите четырехугольник, у которого два угла прямые, а два других — непрямые>’. Учитель вывешивает на доске таблицу, в которой приведены четырехугольники различных видов (рис. 79). Ученикам предлагается назвать четырехугольники, у

торых два угла прямые, а два других — непрямые. После этого учащиеся приступают к построению.

Затем число этапов решения задач на построение можно увеличить. Так, например, анализ, построение и исследование проводят

при решении таких задач: «Построй прямоугольник, сумма длин

сторон которого 12 см. Построй разные прямоугольники с такой же

суммой длин сторон (длина каждой стороны должна быть выражена целым числом)>’:

А н а л из. Учитель предлагает подобрать числа, которые могли

бы быть длинами сторон искомого прямоугольника (рис. 80).

По ст р ое ни е. По данным, полученным при анализе длин сторон искомого прямоугольника,

строится один из прямоугольников.

Исследование учащиеся устанавливают, что существуют три различных прямоугольника,

сумма длин сторон которых равна 12 см: 1 см и 5 ся, 2 см и 4 см, З см и З см. Один из прямоугольников — квадрат.

В начальной школе решаются простейшие конструктивные за

дачи с использованием линейки, угольника, циркуля. Эти задачи

способствуют формированию умений и навыков выполнения элементарных построений чертежными инструментами.

Вопросы и задания для самостоятельной работы К § 28 1. Назовите геометрические понятия, которые изучаются в начальной школе. Почему именно они являются предметом изучения? 2. Приведите примеры, иллюстрирующие вспомогательную функцию элементов геометрии в начальном курсе математики. 3. Опишите методику формирования у учащихся геометрических понятий, предусмотренных программой. 4. Какие возможности для развития логического мышления учащихся предоставляет изучение геометрического материала? Приведите конкретные примеры. К § 29 5. С какими отношениями знакомятся младшие школьники при изучении геометрического материала? К § ЗО б. Какую функцию в начальной школе выполняют задачи на построение? 7. Приведите примеры типичных для начальной школы задач на построение. 8. Из каких этапов состоит решение задачи на построение? Покажите, в какой мере общая схема решения задач на построение может использоваться в начальных классах.

УIII. ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ 31. ВЕЛИЧИНЫ В НАЧАЛЬНОИ ШКОЛЕ

Понятие величины широко применяется не только в математике, но и в физике, химии, биологии, астрономии и других науках. В школе это понятие используется не всегда корректно: считаются синонимами термины «величина» и «количество», смешивают термины «величина» и «значение величины», говорят о «величине величины», когда, например, для характеристики площади фигуры применяют словосочетание «величина площади» и т. д. Объясняется это тем, что понятие величины не является чисто математическим. Применение его во многих отраслях науки привело к разночтению, употреблению его в различных смыслах. В методике начального обучения математике понятие величины долгое время связывали с понятием «именованное число»*. Причем считали, что понятие величины уже известно из повседневной жизни, а его свойства очевидны. В курсе методики преподавания математики ограничивались указанием наиболее характерных упражнений для различных классов величин. Это приводило к смешению понятия величины с понятием меры (числа, выражающего величину после выбора некоторой единицы измерения). В естественных науках под величинами понимают определенные свойства физических тел. Некоторые величины (длину, площадь, объем, массу, время, скорость, цену, стоимость) изучают в курсе математики начальной школы. В математике на вопрос «Что такое величина?» ответа в виде определения («величиной называется...») нет. Однако с помощью исходных свойств, характеризующих величины, строится вся теория величин. Рассмотрим систему упражнений, конкретизирующих некоторые свойства величин, доступные учащимся начальной школы. В первом классе отрезки сравниваются наложением. Это приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если один совпадает с другим при наложении; если же какой-то из сравниваемых отрезков накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого отрезка меньше длины второго. Обнаруженное учащимися в ходе практических работ свойство длин отрезков, полосок бумаги, ленточек, туго натянутых нитей, проволочек обобщается: в множестве отрезков устанавливается отношение порядка (либо длины отрезков совпадают, либо первый отрезок меньше второго, либо второй отрезок меньше первого). длины отрезков можно складывать (если точка В лежит между точками А и С, то длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС (рис. 81)). * Этот не очень удачный термин применяется в методике обучения математике в начальной школе в настоящее время. В данном пособии мы пользовались им, отдавая дань традиции.

Смысл отношения «меньше» и операции сложения натуральных чисел поясняется на примере различных конкретных величин.

Приведем систему упражнений, раскрывающих некоторые свойства понятия длины отрезка.

1. Упражнения, иллюстрирующие упорядоченность множества отрезков отношением «иметь меньшую длину>.

1. Сравните красный и синий отрезки. Какой отрезок короче? Верно ли, что красный отрезок длиннее синего; синий отрезок длиннее красного? (Это упражнение иллюстрирует свойство асимметричности отношения «меньше.)

2. Сравни красный, синий и зеленый отрезки. Назови самый короткий, самый длинный отрезок. Что можно сказать о третьем от- резке относительно самого длинного? Свойство транзитивности отношения «меньше» раскрывается. при выполнении следующих заданий.

Сравни по длине зеленый и синий отрезки, (Зеленый отрезок короче синего.) Сравни синий и красный отрезки. (Синий отрезок короче красного.) Сравни длины зеленого и красного отрезков. (Зеленый отрезок короче красного.

Почему?) Если по длине зеленый отрезок меньше синего, а синий меньше красного, то длина зеленого отрезка меньше длины красного — подводит итог сравнения длин отрезков учитель (рис. 82).

II. Упражнения, приводящие к понятию длины отрезка.

1. Определите длину каждого отрезка (рис. 83).

2. Вычислите, на сколько сантиметров длина первого отрезка меньше длины второго отрезка.

iii. Упражнения, иллюстрирующие переместительное свойство сложения длин отрезков.

Расстояние от Москвы до Свердловска 1667 км, а от Свердловска до Новосибирска 1524 км. Чему равно расстояние от Москвы до Новосибирска? Чему равно расстояние от Новосибирска до Москвы?

При решении этой задачи составляются такие выражения:

1667+ 1524 (км) — расстояние от Москвы до Новосибирска;

1524+ 1667 (км) —расстояние от Новосибирска до Москвы.

Решение этой задачи подтверждает свойство переместительности сложения в множестве длин отрезков. IУ. Упражнения, иллюстрирующие сочетательное свойство сложения длин отрезков.

Расстояние от Москвы до Свердловска 1667 км, от Свердловска до Новосибирска 1524 и от Новосибирска до Иркутстка 1851 км. Чему равно расстояние от Москвы до Иркутска?

При решении этой задачи следует составить такие математические выражения:

(1667+1524)+1851 (км) —расстояние от Москвы до

Иркутска;

1667+(1524+1851) (км) —расстояние от Москвы до

Иркутска.

Вычисляя значения этих выражений, учащиеся устанавливают, что сложение величин ассоциативно.

У. Задания, иллюстрирующие свойство монотонности сложений в множестве длин отрезков.

От села Сосновка до села Красное 24 км, а от села Красное до

села дачное 18 км. Сравнить расстояние от Сосновки до Красного

с расстоянием от Сосновки до дачного (рис. 84). 14 по чертежу, и

по условию задачи учащиеся устанавливают, что 24 24 + 18. УI. Задачи, неявно вводящие следующее свойство длины отрезка:

длину отрезка можно делить на любое число п одинаковых частей. Начертите отрезок длиной 12 см и разделите его на З равные ча-

сти, а затем каждую из них на 2 равные части. На сколько равных частей можно разделить весь отрезок? Чему равна длина шестой

части данного отрезка?

По такому же принципу может быть построена система упражнений для введения понятия площади геометрической фигуры.

1. Площадь какой из фигур, изображенных на рис. 85, меньше? Верно ли, что площадь круга меньше площади квадрата? (Свойство асимметричности отношения «меньше» на множестве площадей геометрических фигур.)

Верно ли, что площадь данного прямоугольника меньше площади этого же прямоугольника? (Свойство антирефлексивности отношения «меньше на множестве площадей геометрических фигур.)

Сравните площади фигур (рис. 86).

Наложением фигур друг на друга дети устанавливают, что площадь квадрата меньше площади круга, а площадь круга меньше площади прямоугольника Учащиеся убеждаются также, что площадь квадрата меньше площади прямоугольника. Учитель подводит итог этой работы: Так как площадь квадрата меньше площади круга, а площадь круга меньше площади прямоугольника, то площадь квадрата меньше площади Прямоугольника».

II. На сколько квадратных сантиметров площадь квадрата со стороной З см меньше площади квадрата со стороной 5 ем? (Существование разности площадей.)

УI. Измерение площади фигуры с помощью палетки свидетельствует о том, что любую площадь можно делить на несколько одинаковых частей.

УII. Измерить площадь обложки учебника «Математиках’ в квадратных дециметрах и квадратных сантиметрах. Сравнить результаты измерения.

Учащиеся убеждаются, что площадь обложки удобнее измерять в квадратных сантиметрах. Они устанавливают практически, что

площадь обложки учебника меньше 4 квадратных дециметров и равна 352 (22. 16) квадратным сантиметрам.

Выше была рассмотрена методика введения двух величин — длины и площади. Общими для процесса введения понятия величины являются следующие этапы.

( 1. Задается некоторое множество А, которое является областью определения величины.

2. Из данного рода величин выбирается некоторая величина (е) которую называют единицей измерения.

3. Осуществляется процесс измерения — сравнения данной величины с выбранной единицей измерения, результатом которого является некоторое значение величины.

Изучение величин в курсе математики начальной школы имеет прIiюй4Р. Учащиеся знакомятся с непосредственным измерением длин отрезков, определяют вместимость сосудов, массу тел, температуру воздуха, учатся определять время по часам, даты по календарю, площадь фигуры с помощью палетки.

Ученики, оканчивающие начальную школу, должны знать, что на множестве изученных величин (длина, площадь, вместимость, масса, время) определены отношения равенства и неравенства.

Они устанавливаются как практики (непосредственно), таки косвенно. Все величины можно йзiщр1ть, причем для каждой из них есть свой способ измерения, сущность которого заключается в сравнении данного объекта с единицей его измерения. Величины одного и того же рода можно скаць и вычитать; умножать и делить на отвлеченные числа; находить часть величины. Между величинами одного и того же рода существует определенная зависимость, знание которой необходимо для выполнения преобразований величин: выражения одной и той же величины в различных единицах измерения.

Обучение измерению разных величин строится по одной и той же схеме.

1. Производится сравнение величин «на глаз», с помощью мускульных усилий.

2. Вводятся единицы измерения величины и устанавливаются отношения между ними и ранее рассмотренными.

3. Величины преобразуются: крупные заменяются мелкими, а мелкие — крупными.

4. Величины сравниваются путем измерения.

5. Производятся операции над величинами.

Величины изучаются в тесной связи с арифметическим и геометрическим материалом. Они иллюстрируют отношения, свойства арифметических операций на множестве натуральных чисел и обыкновенных дробей. Преобразования величин связаны с изучением нумерации натуральных чисел.

Геометрические фигуры служат средством наглядности изучения величин и измерения.