Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МЕТОДИКА НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ.doc
Скачиваний:
1062
Добавлен:
14.03.2016
Размер:
9.12 Mб
Скачать

МЕТОДИКА НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Под общей редакцией е А. А. Столяра и В. Л. Дрозда Рекомендовано Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия а для студентов педагогических институтов е по специальности 2121 «Педагогика и методика Начального обучения Минск Вышэйшая школа 1988

А в т о р ы: В. Л. Дроэд, А. Т. Катасонова, Л. А. Латотин, Л. В. Лещенко, В. Н. Медведская, Г. Н. Скобелев, А. А. Столяр, Т. М. Чеботаревская Р е ц е н з е н т ы: кафедра педагогики и методики начального обучения математике ЛГПИ имени А. И. Герцена; канд. пед. наук, доц. кафедры методики начального обучения МГПИ имени В. И. Ленина Н. Ф. Вапняр.

ОТ АВТОРОВ

Настоящее учебное пособие соответствует программе курса методики преподавания математики для студентов факультетов педагогики и методики начального обучения педагогических институтов. При написании пособия авторы считали необходимым отказаться от «рецептурного» подхода к подготовке будущих учителей, который характерен для многих работ по методике начального обучения математике. В книге рассматриваются общие методические идеи учения содержания школьного курса математики. Они базируются на фундаментальных психолого-педагогических концепциях и математических теориях, с которыми студенты знакомились при изучении психологии, педагогики и математики. Это, по мнению авторов, будет способствовать формированию у студентов творческого подхода к преподаванию математики в школе. Пособие ориентировано на подготовку будущих, учителей к работе по программе для четырехлетней начальной школы. Однако его содержание не «привязано» жестко к школьным учебникам и пособиям для учителей. Важно, чтобы учитель мог самостоятельно подбирать или разрабатывать учебные задания, текстовые задачи, средства обучения в соответствии с общими целями обучения математике младших школьников. Авторы исходили из того, что данное пособие не является для студентов единственным источником знаний по методике преподавания математики. В учебном пособии невозможно с исчерпывающей полнотой рассмотреть методику изучения всех понятий, предусмотренных программой. Большое значение имеет самостоятельная работа студентов над учебно-методической литературой. Как правило, при изложении методики формирования того или иного математического понятия авторы прямо указывают, что предполагаемый вариант методики является одним из возможных. Особое внимание уделено новой методической проблеме — обучению математике шестилетних детей. Раскрывается содержание метода обучения детей математике через игру, приводятся примеры дидактических игр. Вместе с тем авторы отдают себе отчет, что проблема обучения шестилеток далека от своего полного решения. Компьютерная грамотность является важным элементом культуры современного человека. Необходимость использования и тем более изучения вычислительной техники в начальной школе не является бесспорной. Однако можно считать доказанным, что операционный стиль мышления может и должен формироваться, начиная с младших классов средней школы. В пособии рассматриваются некоторые подходы к решению этой новой и сложной проблемы.

Материал пособия распределен следующим образом. Введение, § 1, 2—4, 6, 7 написаны А. А. Столяром, § 5, 1О—-13, 16—21 — В. Л. ,дроздом ( 18 —- совместно с г. н. Скобелевым и Т. М. Чеботаревской), § 8 В. Н. Медведской, § 9 Т. М. Чеботаревской, § 14 Л. А. Латотиным, § 15 В. Л. дроздом и Л. А. Латотиным, 3

ББК 22.1я73 М54 УДК 51(072.3) (075.8)

1702010000—060

М 304(03) 88 1 5-339-00008-7

© Издательство Вышэйшая школа, 1988

22—27 — Л. В. Лещенко, § 28—ЗО — А. Т. Катасоновй, § З1—35 — А. Т. Катасоновой и А. А. Столяром. Авторы выражают благодарность рецензентам — кафедре Методики начального обучения Ленинградского педагогического института имени А. И. Герцена, Г. В. Бельтюковой, доценту этой кафедры, и Н. Ф. Вапняр, доценту кафедры методики начального обучения Московского педагогического института им. В. И. Ленина, оказавшим большую помощь в подготовке данного пособия. Замечания и пожелания просим направлять по адресу: 22О048, Минск, проспект Машерова, 11, издательство «Вышэйшая школа». Авторы

ВВЕДЕНИЕ Реформа школы, переход с трехлетнего на четырехлетнее обучение открывают перед начальной школой новые возможности. Реализация этих возможностей в начальном обучении математике предполагает хорошую методико- математическую подготовку учителя. Она обеспечивается изучением курсов методики и математики в тесной связи с предметами психолого-педагогического цикла на основе марксистско-ленинской методологии. Таким образом, будущие учителя должны усвоить определенную систему знаний, умений и навыков в области начального обучения математике, воспитания и развития детей. В последние годы большое внимание уделяется проблеме формирования у детей младшего школьного возраста элементарных математических представлений и структур мышления, подготовке их к дальнейшему изучению математики. Психологи доказали, что возрастной период 6—1О лет наиболее важный в формировании структур мышления детей. Поэтому задача методики начального обучения вообще, и начального обучения математике в частности, состоит в обеспечении высокого развивающего эффекта обучения, интенсивного его влияния на умственное развитие детей. Известно, что эти результаты не могут быть достигнуты за счет увеличения объема знаний, усваиваемых школьниками. Встречаются, например, дети, знающие таблицу умножения и усвоившие алгоритм арифметических действий над многозначными числами, но не достигшие в результате обучения необходимого уровня умственного развития, не владеющие простейшими способами рассуждений. Школа призвана готовить не носителей знаний, а активных членов общества с развитым творческим мышлением. Математике принадлежит особая роль в развитии логики мышления изучающих ее. Великий М. В. Ломоносов говорил: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Однако реализация этих возможностей, присущих математике, в значительной степени зависит от методики обучения. Это отметил Н. И. Лобачевский: «В математике важнее всего способ преподавания». Изучение математики младшими школьниками открывает широкие возможности для развития их творческого мышления. Обучение счету, выполнению арифметических действий и решению задач остается главной задачей начального обучения. Однако когда-то эта задача была единственной, в настоящее же время она становится лишь важной составной частью более обширной и разнообразной подготовки детей к изучению математики. Обучение должно обеспечивать подготовку мышления детей к овладению способами рассуждений, применяемыми в математике, и готовить их к усвоению важнейших математических понятий, таких, как число, геометрическая фигура, функция, величина. Новым в методике является вопрос о том, как начинать подготовку шестилетних детей к изучению математики. перед тем как посадить детей за парты для «серьезного» изучения математики, необходимо с ними поиграть в математику. В процессе игры (имеется в виду специальная обучающая игра) возможно не менее серьезное, чем с помощью традиционных методов, обучение. Н. К. Крупская отмечала, что для ребят дошкольного возраста игры имеют исключительное значение: игра для них учеба, игра для них — труд. Это верно и в отношении детей младшего школьного возраста, особенно шестилетних, вчерашних дошкольников. Игра приносит детям радость. Учение тоже должно быть радостным. Поэтому естественно не отрывать маленьких детей от игры, а обучать их на первых порах через игру. Игра как метод обучения постепенно уступает свое место другим методам, сохраняя определенные позиции на всем протяжении начального обучения. Однако сложившаяся методика начального обучения не учитывает значения игры для маленьких детей. Существующие дидактические игры малосодержательны с логической и математической точек зрения. К тому же они используются очень редко, причем лишь как средство закрепления уже изученного материала. даже в дошкольных учреждениях игры проводятся до или после занятия, т. е. игра как важнейший метод обучения детей недооценивается. Отличительные особенности игровой деятельности ее добровольность, высокая активность и контактность участников, особый характер отношений между учащимися и учителем (он тоже участник игры). Участвуя в игре, моделирующей определенные логико-математические конструкции, дети выполняют постепенно усложняющиеся творческие задания. Таким образом, этим играм присущи обучающие и развивающие функции. Важнейшая задача реформы школы вооружение учащихся совокупностью знаний, умений и навыков, позволяющих использовать вычислительную технику в народном хозяйстве. Введенный в старших классах школы новый учебный предмет Основы информатики и вычислительной техники» призван решить эту задачу. Однако успех во многом зависит от следующего условия. Идеи и методы информатики должны иметь широкую пропедевтическую базу в других школьных предметах, в том числе и в математике начальных классов. Это может быть обеспечено совершенствованием и дальнейшим развитием алгоритмической линии содержания начального курса математики. Алгоритм — одно из фундаментальных научных понятий, лежащих в основе информатики. В начальном курсе математики алгоритмы представлены достаточно широко. Но в традиционном обучении не используются возможности для раскрытия их сущности. Важнейшие воспитательная и развивающая функции информатики формирование операционного (программистского) стиля мышления. Некоторые черты этого стиля мышления (умение анализировать, т. е. расчленять сложную задачу на простые, решаемые с помощью одного действия, подзадачи составлять программу вычисления значения сложного выражения в виде системы действий, выполняемых вручную или с помощью микрокалькулятора, и др.) могут и должны формироваться при обучении математике уже в начальных классах. Отметим еще один важный аспект пропедевтики информатики в начальном обучении математике. Некоторые достаточно простые нормальные алгоритмы Маркова можно моделировать в виде увлекательных детских игр. Правила игры представляют, например, в виде схемы алгоритмов. В виде детской игры моделируется и «машина Поста». Имитация работы «машины» является вместе с тем ранней пропедевтикой обучения программированию и работе с реальной машиной. Решение задач, поставленных реформой школы в области начального обучения математике, требует значительного улучшения методико-математической подготовки учителя начальных классов. Этому призвано способствовать настоящее учебное пособие.

1. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ КАК НАУКА 1. ПРЕДМЕТ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Методика преподавания математики (МПМ), или дидактика математики, педагогика математики,— наука, предметом которой является обучение математике, причем в широком смысле: обучение математике на всех уровнях, начиная с дошкольных учреждений и кончая высшей школы. Данное определение МПМ как науки об обучении математике в начальных классах само по себе еще не оправдывает существования такой научной области. Оно обусловливается наличием специфических проблем обучения математике, отличных от предмета исследования психологии и педагогики. В данном пособии рассматривается проблема обучения математике детей 6—10 лет в начальных (1 — IУ) классах средней школы. Различают три уровня (или общепедагогическая теория обучения (дидактика) строится на базе определенной психологической концепции (теории) обучения. Однако дидактика не учитывает характерные особенности учебного предмета. Разработка теории обучения с учетом специфики учебного предмета и есть методический уровень теории обучения, или методическая теория обучения, в нашем случае — методика преподавания математики в начальных классах. (Методика преподавания математики развивается на базе определенный психологической концепции обучения и общедидактической теории, т. е. МПМ представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в МПМ должна отражаться специфика предмета обучения — математики. Чтобы расширить предмет МПМ, необходимо уточнить смысл выражения «обучение математикё>, выявить основные компоненты процесса обучения математике. Обучение, и в частности начальное обучение, математике сложный процесс управления, учащихся, осуществляемый учителем с использованием вспомогательных средств (учебников, наглядных пособий, технических средств обучения). Пользуясь определением процесса управления, применяемого в кибернетике, будем исходить из того, что обучение, как и любой процесс управления, включает восприятие, переработку, хранение и обмен информацией между двумя участниками процесса (учителем и учеником). Учитель получает информацию из учебной программы, научной, учебный и методической литературы. Кроме того, он должен иметь информацию об уровне и возможностях мыслительной деятельности учащихся, о имеющихся у них знаниях. Вся эта информация определенным образом перерабатывается в учебную и сообщается школьнику. Ученик воспринимает и перерабатывает информацию, полученную от учителя, из учебника и других источников, передает учителю информацию, которая позволяет судить об уровне знаний учащихся. Таким образом, в процессе обучения происходит передача информации в двух (противоположных) направлениях: от учителя к ученику (прямая связь) и от ученика к учителю (обратная связь), являющаяся существенной составной частью процесса обучения (рис. 1).

УЧИТЕЛЬ

Прямая связь Обратная связь

Рис. 1

Эффективное обучение математике предполагает систематический контроль за мыслительной деятельностью и возможностями учащихся, развитием у них определенных структур мышления, формированием представлений и понятий, качеством усвоения ими материала. При этом учитель должен исходить из того, что: 1) начальное обучение — фундамент всего дальнейшего обучения; 2) пробелы в знаниях и особенно недостатки развития мышления на начальном этапе обучения трудно восполнимы в дальнейшем. Понимая процесс обучения как специфический процесс управления, мы рассмотрели лишь одну из возможных моделей процесса обучения, а она, как и всякая модель, дает лишь упрощенную картину сложного моделируемого объекта. Реальный процесс обучения вообще, и начального обучения математике в частности, не тождественен описанной модели, и ограничиваться изучением этой модели не следует. На каждом этапе могут возникнуть трудности: не все ученики одинаково воспринимают полученную от учителя информацию, не все правильно ее понимают и преобразовывают и т. д. Но рассмотренная модель процесса обучения сохраняет некоторые существенные черты моделируемого объекта, которые легче изучать на упрощенной модели, чем непосредственно на самом объекте. В этой модели метод обучения может быть истолкован как взаимосвязанная деятельность (последовательность действий) учителя и ученика, ориентированная на достижение обучающих, воспитательных и развивающих целей. Она позволяет также исследовать возможности использования компьютеров в обучении, разработать обучающие программы. Выделим следующие элементы процесса обучения: 1) ЦЕЛИ обучения — «ДЛЯ ЧЕГО МЫ УЧИМ?»; 2) ОБЪЕКТ «КОГО МЫ УЧИМ?» (психология и возможности мышления детей 6—10 лет, особенности их языка и начальных представлений); 3) СОДЕРЖАНИЕ обучения «ЧЕМУ МЫ УЧИМ?»;4) МЕТОДЫ обучения -— «КАК МЫ УЧИМ?». Цели начального обучения математике определены в программе с учетом задач, стоящих перед всеобщим средним образованием.

Особенности психологии детей 6—1О лет, возможности их мышления являются предметом возрастной психологии. Таким образом, ядром предмета МПМ в начальных классах являются два класса проблем: проблемы содержания начального обучения математике («Чему учить»). и методов начального обучения математике («Как учить»). Эти классы проблем взаимосвязаны и решаются только в комплексе. Содержание обучения определяется программой и учебником. Разработка программы и учебника по математике для 1 IУ классов важнейшая проблема методики начального обучения математике. Однако ни программа, ни учебник не определяют однозначно методы обучения. Одно и то же содержание может изучаться различными методами. Выбор и сочетание методов обучения — важная педагогическая проблема, которая решается учителем на каждом уроке. / Очевидно также, что проблемы содержания и методов обучения не могут решаться сегодня так, как они решались раньше. Например, двадцать или даже десять лет тому назад не существовало проблемы отражения идей информатики в начальном обучении математике. Сегодня это одна из наиболее актуальных проблем, возникших в связи с реформой школы. В начальной школе учащиеся подготавливаются к дальнейшему изучению математики. Этим определяется связь начального обучения с основными идеями всего школьного курса математики: понятиями числа, геометрической фигуры, выражения, функции, уравнения, геометрического преобразования и построения, координат и вектора. Они должны найти отражение в начальном обучении математике. В такой же мере это относится и к понятийному аппарату нового предмета «Основы информатики и вычислительной техники», введенного в старших классах школы. Важной задачей начального обучения математике является формирование и развитие простейших логических структур мышления учащегося, поэтому существуют определенные связи этого обучения с — наукой, исследующей эти структуры. Умение выполнять определенные логические операции не менее важно и актуально, чем умение выполнять арифметические действия. Это не означает, однако, что в содержание начального обучения должны быть включены в явном виде элементы логики. Овладение логическими операциями может быть достигнуто с помощью специальных обучающих и развивающих игр. Формирование и развитие логических структур мышления отвечает не только развивающим, но и воспитательным целям, так как способствует воспитанию культуры мышления — важнейшего компонента общечеловеческой культуры. В обучении математике решаются и другие воспитательные задачи. Важнейшей из них является формирование мировоззрения. Это обусловливает связь МПМ с марксистско-ленинской философией и методологией математики. Начиная изучение математики, ученик не имеет запаса математических понятий. Понятийный аппарат формируется у младших школьников в результате перевода реальных ситуаций на язык

математики и построения простейших математических моделей. Математическое моделирование один из основных научных метой, позволяющих широко использовать математику в самых различных областях науки, техники и производства. При начальном обучении математике осуществляется переход от простейших конкретных реальных ситуаций к их математическому описанию и, наоборот, простейшие математические соотношения интерпретируются (истолковываются) с помощью адекватных реальных ситуаций. Например, описывая ситуацию, создавшуюся после того, как к трем мячикам, лежащим в ящике, добавили еще четыре, с помощью соотношения

3+4=7,

(1)

дети строят «математическую модель этой ситуации. Учащиеся выполняют и обратную операцию: данное выражение интерпретируют через различные житейские ситуации. В результате у учащихся постепенно формируется понимание «многозначностi1> равенства (1), являющейся основой применения одного и того же математического объекта (в нашем примере равенства (1)) к различным по своему предметному содержанию ситуациям. действительно, ситуации, описанные равенством (1), могут иметь место в самых разных предметных областях (в множествах мячиков, яблок, людей, машин и т. д.). Общность этих ситуаций состоит в объединении двух непересекающихся множеств предметов А и В, причем (А) = З и (В) = 4. Число элементов т(А 1. В) определяется численностью множеств А и В. 2. СВЯЗЬ МЕТОДИКИ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ С ДРУГИМИ НАУКАМИ Методологическая основа. Методологической основой методики начального обучения математике является дидактический материал и одно из исходных положений, на базе которого строится методика начального обучения математике, заимствовано из марксистско-ленинской теории познания. Оно отражает результат глубокого анализа процесса обучения как познавательного процесса, направленного на поиски и открытие истины, и выражается известной ленинской формулой: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности»*. Это положение выражает один из законов общей теории познания. В методике начального обучения математике оно принимается в качестве исходного. В начальном обучении математике многократно осуществляется «восхождение» учащихся от «живого созерцания к абстрактному мышлению». В результате формируются первые математические понятия как одноступенчатые абстракции, имеющие реальные прообразы. Затем учащиеся «восходят» от абстрактного мышления «к практике», применяя полученные знания к решению практических задач. Связь с методикой преподавания математики в средней школе. В традиционном понимании термин «методика преподавания математики в школе» не включает методику начального обучения математике. Разработка последней в отрыве от методики обучения в средней школе приводит к ряду трудностей, поскольку МПМ в начальной школе должна обеспечить подготовку учащихся к усвоению математических знаний в средних и старших классах. Связи между начальным обучением математике и методикой преподавания математики в У ХI классах должны рассматриваться как а не межпредметные. Совершенно очевидна целесообразность единой методики преподавания математики как научной и учебной дисциплины, исследующей проблемы обучения математике с первого и до последнего класса средней школы. Разумеется, при этом должны учитываться особенности начального этапа обучения математике, связанные с психологической характеристикой детей этого возраста, целями и задачами начального обучения. Связь с математикой. Отбор учебного материала требует проведения глубокого анализа математических идей и методов, которые должны стать предметом школьного изучения. для того чтобы отобранный математический материал мог быть усвоен школьниками, он подвергается дидактической обработке, включающей анализ логической структуры подлежащего изучению материал а, рассмотрение возможных вариантов его подачи учащимся и их сравнение, подбор необходимых примеров, конкретных ситуаций, упражнений и задач, иллюстрирующих основные понятия и идеи. При этом методика опирается не только на математику, но и на педагогику, психологию и логику. Математика поставляет исходный объект, подлежащий дидактической обработке (математический материал), педагогика, психология и логика указывают, каким должен быть конечный продукт этой обработки (учебный материал) и как его пол учить. Говоря о связи методики начального обучения математике с математикой, необходимо учитывать следующие обстоятельства: 1) теоретической основой начального обучения математике не может быть построенная, логически совершенная математическая теория; такой основой должна служить та стадия развития математических знаний, которая предшествовала созданию формальной теории; 2) математический материал, подлежащий изучению в начальных классах, требует особо тщательной дидактической обработки. При этом необходимо учитывать особенности психологии детей 6——9 лет, их конкретно-образного мышления. Связь с дидактикой и психологией. Методы обучения математике основываются на общих методах обучения, разрабатываемых в дидактике, и специфических методах, отражающих методологию самой математики. Общие методы обучения, разрабатываемые в дидактике, конкретизируются с учетом специфики учебного предмета, т. е. математики

после чего они могут именоваться методами обучения математике. На основе дидактики реализуются и современные тенденции совершенствования учебного процесса: алгоритмический подход, программированное обучение, использование ТСО, в том числе микро ЭВМ. Следует отметить, что методика преподавания математики опирается не только на дидактику, но и на теорию воспитания, так как в процессе обучения математике должны решаться не только образовательные, но и важные воспитательные задачи. Проблемы методики не могут решаться без учета психологических особенностей обучаемого. Совершенно очевидно, что, рассматривая обучение математике как обучение определенной мыслительной деятельности, методика не может опираться при этом на одну логику, исследующую лишь результаты мыслительной деятельности, а не саму эту деятельность. для логики мозг остается «черным ящиком», функционирование которого определяется лишь по «входам» и «выходам». Методисты не делают, разумеется, никаких открытий в области психологии (так же как они их не делают в области математики, педагогики, логики), они используют лишь результаты психологических исследований. Следует отметить, что в последние 30 лет некоторыми математиками-педагогами совместно с психологами были проведены комплексные психолого-педагогические исследования в области начального обучения математике. Известны, например, совместные исследования психологов В. В. Давыдова и Б. д. Эльконина и математика Н. Я. Виленкина. Интересные результаты в области обучения математике и логике детей дошкольного и младшего школьного возрастов получены известным психологом и математиком З. Денешем. Многочисленные психолого-педагогические эксперименты, проведенные как у нас, так и за рубежом, подтверждают неправомерность приписывания учащимся определенного уровня мышления, жестко обусловленного возрастными особенностями. Разумеется, возрастные особенности нельзя не учитывать, когда речь идет об умственном развитии ребенка. Однако в результате специальной подготовительной работы можно значительно развить способности учащихся к обобщению и абстрагированию, выполнению определенных логических операций. Связь с логикой. Рассматривая вопрос о связи методики преподавания математики с логикой, мы должны прежде всего выяснить особенности использования логики. В любой науке (теоретической или экспериментальной) используется логический аппарат. Это относится и к методике преподавания математики. Хотя в ней широко используются эксперименты, не все положения МПМ устанавливаются экспериментальным путем. Многие из них обосновываются логически с помощью уже установленных логическим или экспериментальным путем фактов. Но методика в отличие от математики, в которой используется преимущественно дедуктивная логика, обосновывает свои выводы в основном посредством правдоподобной логики, В связи с этим положения, получаемые в МПМ с помощью логики, в большинстве своем являются лишь гипотезами, которые подлежат подтверждению или опровержению экспериментальным путем. Использование логики в МПМ имеет двоякий характер. Во-первых, логика применяется при решении педагогических проблем, связанных с обучением математике. Например, выполняется логический анализ структуры математического материала, подлежащего изучению, предваряющий его дидактическую обработку. Во-вторых, элементы логики являются компонентом математической подготовки учащихся начальных классов. Проблема изучения элементов логики состоит не в том, чтобы изучать специально и обособленно логику, а в том, чтобы элементы логики стали естественным компонентом обучения математике. Это обеспечивается использованием специальной методики. В частности, важное значение приобретают специальные игры. Прекрасным образцом обучения логике маленьких детей является известное произведение Л. Кэрролла «Алиса в стране чудес».

Вопросы и задания для самостоятельной работы

1. Что представляет собой процесс обучения математике? 2. Назовите основные элементы процесса обучения. Раскройте их содержание исходя из требований программы по математике для 1 IУ классов. 3. Какое место в методике преподавания математики занимают проблемы содержания и методов обучения? Как взаимосвязаны эти проблемы? 4. В чем состоит мировоззренческая функция обучения математике в начальных классах? К2

З. ПРЕДМАТЕМАТИКА КАК ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Традиционно в качестве основ обучения принимали соответствующие математические теории в завершенном виде. Однако завершенная, дедуктивно построенная математическая теория не может служить теоретической основой начального обучения математике. Игнорирование этого факта может привести к недооценке особенностей психологии детей 6—9 лет. Термин «математика» в узком смысле обозначает уже построенные математические теории. Математика в широком смысле охватывает и ту стадию развития математического знания, которая предшествует построенной математической теории. Эту стадию развития математики называют «предматематикой». Такое название она получила недавно (около 20 лет назад). Содержанием предматематики является теория, раскрывающая связь между свойствами реальных объектов, отношений и математическими понятиями. дедуктивно построенная математическая теория состоит из исходных (неопределяемых) понятий, исходных, принимаемых за истинные без доказательства предложений (аксиом), определяемых понятий и определений, доказываемых предложений (теорем) и доказательств, а также логических правил вывода. Предматематика также состоит из понятий, предложений (истинных высказываний об этих понятиях) и доказательств. Однако она существенно отличаются от математических.’ Предматематические понятия не разделяются, как в строго построенной математической теории, на исходные и определяемые. На предматематическом уровне прообразом понятий являются непосредственно реальные объекты, ситуации. Существенное отличие предматематики от математики состоит в том, что в ней применяется лишь одноступенчатая абстракция, в математике же — многоступенчатая. Особенность предматематических доказательств состоит в том, что заключение об истинности может основываться на частных случаях (с математической точки зрения это неприемлемо). Изложение дедуктивной математической теории носит формальный характер, изложение предматематики — содержательный. Дедукция наиболее важная черта математики — в предматематике играет лишь второстепенную роль, носит сугубо локальный характер. В начальном обучении математике встречаются лишь отдельные «дедуктивные островки». Проиллюстрируем сказанное на простом примере. Рассмотрим одно и то же рассуждение с математической и предматематической точек зрения.

II. Содержание и. Методы начального обучения математике

5. С какими областями научных знаний непосредственно связана методика преподавания математики в начальных классах? б. Приведите примеры использования в методике преподавания математики законов марксистско-ленинской теории познания. 7. В чем с методической точки зрения состоит различие между математикой наукой и математикой — предметом изучения в начальных классах? 8. Методика преподавания любой дисциплины опирается на психолого-педагогические исследования. Характерны ли в этом плане какие-либо особенности для методики преподавания математики? 9. Раскройте специфику применения логики в преподавании математики в начальных классах.

Приведем сначала строгое математическое доказательство равенства 5+8= 13: 5+8=5+ (5+3) закон ассоциативности = (54-5) +3) сложения =104-3 = 13. На предматематическом уровне оно может выглядеть так: 5+8= = 5+5+3=10 + З = 13. Различие между приведенными доказательствами состоит не только в том, что в последнем нет скобок. даже если бы здесь использовались скобки, это не означало бы применения некоторого закона. То, что в математике формулируется в виде закона, в данном случае закона ассоциативности сложения, на предматематическом уровне считается интуитивно истинным. Это свойство, обоснованное с помощью интуиции, выделяется в дальнейшем обучении в соответствующий закон. Предматематика это не «детская математика». На предматематическом уровне изучаются некоторые понятия и темы школьного курса математики и в средних, и в старших классах. Этот уровень часто является достаточным и для научно-популярной литературы. Что же касается обучения математике в начальных классах школы, то оно осуществляется исключительно на предматематическом уровне. Поэтому правомерно говорить о том, что в начальной школе учащиеся получают «предматематическую» подготовку. Она позволяет им в последующих классах перейти к изучению систематических курсов алгебры, геометрии и начал анализа. Концепция предматематики хорошо согласуется с реальным процессом обучения в начальных классах, поэтому предматематику естественно рассматривать как основу такого обучения. На этой основе в обучении легче реализовать дидактические принципы (научности, наглядности и др.), использовать арсенал средств и методов обучения математике. Необходимо, однако, отметить, что предматематика до сих пор в полном объеме не разработана. 4. ЦЕЛИ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Цели обучения математике в начальных классах отвечают общим целям обучения в средней школе в соответствии с требованиями реформы. Средняя общеобразовательная школа призвана готовить высокообразованных, всесторонне развитых, активных членов социалистического общества, способных к творческому труду. Большинство профессий требует определенной математической подготовки. В современных условиях математические знания, владение характерными для математики методами и специфическим языком обязательный элемент общей культуры. Изучение математики способствует формировании научного мировоззрения учащихся, воспитанию трудолюбия, честности, дисциплинированности и других моральных качеств. Навыки мыслительной деятельности. приобретаемые учащимися в процессе правильно организованного обучения математике, готов к упорному труду, преодолению трудностей будут нужны им в будущем независимо от того, какую профессию изберет каждый из них после окончания школы. Таким образом, из сказанного видно, что обучение математике в школе, в том числе в начальных классах, преследует достижение четырех взаимосвязанных целей: общеобразовательных овладение учащимися определенным объемом математических знаний, умений и навыков в соответствии с программой; воспитательных формирование марксистско-ленинского мировоззрения, важнейших моральных качеств, готовности к труду; развивающих — развитие логических структур и математического стиля мышления; практических — формирование умения применять математические знания в конкретных ситуациях, при решении практических задач. Изучение математики в У—Х1 классах базируется на математической (а точнее, предматематической) подготовке, полученной учащимися при обучении в начальных классах. Согласно Типовой программе МП СССР по ‘математике для Т—IУ классов, школьники, оканчивающие IУ класс, должны знать: таблицу сложения (однозначных чисел) и соответствующие случаи вычитания; таблицу умножения однозначных чисел и соответствующие случаи деления; названия и обозначения единиц важнейших величин—длины (км, м, дм, см, мм), массы (кг, г), площади (м2, дм2, см2), скорости (км/ч, м/с), времени (ч, мин, с). Школьники, оканчивающие IУ класс, должны уметь: читать, записывать и сравнивать числа в пределах миллиона; выполнять несложные устные вычисления; производить письменные вычисления (сложение и вычитание чисел в пределах миллиона, умножение двузначного и трехзначного чисел на однозначное, двузначное и трехзначное числа, деление трех-,.четырех-, пятизначного числа на однозначное и на двузначное числа); называть компоненты арифметических действий и читать простейшие числовые выражения (сумму, разность, произведение, частное); вычислять значение числового выражения (в том числе выражения со скобками), содержащего 3—4 арифметических действия, с помощью правил порядка выполнения действий и свойств арифметических действий; решать простые текстовые арифметические задачи, раскрывающие смысл каждого действия и смысл отношений «меньше на», больше на», «меньше в», больше в решать составные задачи и задачи, требующие знания зависимости между важнейшими величинами (скоростью, временем и расстоянием при равномерном прямолинейном движении, ценой, количеством и стоимостью товара, площадью прямоугольника и длинами его смежных сторон и др.); распознавать и изображать (с помощью циркуля, угольника и линейки) простейшие геометрические фигуры (точку, отрезок, ломаную, окружность, круг, прямоугольник); измерять длину отрезка, длину ломаной; строить отрезок данной длины; вычислять периметр и площадь прямоугольника. Перечисленными знаниями и умениями должны овладеть все учащиеся IУ класса. Исходя из этого заданного результата обучения, знания и умения «распределяются» по классам, годам обучения в соответствии с программой. Многие из перечисленных знаний и умений формируются постепенно в течение четырех лет обучения. Например, умение читать, записывать и сравнивать числа в пределах миллиона ученик приобретает начиная с первого класса. Параллельно с этим учащиеся овладевают умениями устных и письменных вычислений, решения арифметических задач, В процессе начального обучения математике у учащихся формируются также некоторые черты математического и логического стиля мышления. 5. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ Общие положения. Содержание начального курса математики определяется целями обучения. С этой точки зрения рассмотрим его важнейшие элементы. Курс математики для младших школьников должен обеспечивать преемственность в изучении математики в средних и старших классах. Это может достигаться по следующим направлениям. 1. Некоторые математические знания и умения (с учетом особенностей механизма запоминания, характерных для детей младшего школьного возраста) могут быть качественно усвоены именно в начальных классах. Здесь в первую очередь имеются в виду табличные случаи сложения (вычитания), умножения (деления), а также умения, в основе которых лежат несложные алгоритмы. Одним из важнейших классов алгоритмизируемых умений являются устные и письменные вычисления. Отработанные в младшем школьном возрасте навыки вычислений на множестве натуральных чисел позволяют учащимся в дальнейшем достаточно легко овладеть более сложными алгоритмами вычислений на множестве рациональных и действительных чисел: Поэтому приемы устных и письменных вычислений (сложение, вычитание, умножение и деление) являются естественными элементами программы по математике для начальных классов. 2. С некоторыми базовыми математическими понятиями среднёй школы учащихся начальных классов можно легко ознакомить на пропедевтическом уровне, используя житейский опыт учащихся, их наглядно-образные представления. Так, манипулирование множествами хорошо известных учащимся предметов служит основой для формирования у них понятия числа, арифметической операции. Наблюдения за окружающим миром дают возможность выделить наиболее часто встречающиеся в действительности формы. Таким образом, целый ряд геометрических фигур становится предметом изучения в начальной школе. З. Важным условием полноценного обучения математике является формирование у учащихся навыков математической деятельность. В методике под термином «математическая деятельность» понимают деятельность, ходню по своей сути с математическим познанием. Выделяют три вида математической деятельности, выступающих в органическом единстве: математическую организацию эмпирического

материал а, логическую организацию математического материала, применение математических теорий. В начальных классах возможно целенап5Пвленное формирование у учащихся навыков математической организации эмпирического материала. Однако при этом учебный материал должен удовлетворять определенным условиям. Существуют два подхода к формированию математических понятий: генетический и аксиоматический. Аксиоматический подход предполагает, в частности, высокий уровень владения учащимися языком, на котором ведется преподавание. Естественно, что языковая культура младших школьников только формируется, поэтому аксиоматический подход в начальных классах нереален. Генетический подход заключается в том, что житейские, эмпирические понятия и представления учащихся «переводятся» на язык математики и закрепляются в форме математических понятий. Такой процесс называется математизацией эмпирического материала (математизацией) и соответствует возможностям младших школьников. В практике обучения организация деятельности учащихся по математизации и управление ею осуществляются учителем. Однако при рациональной методике учащиеся в состоянии не только усваивать результаты математизации, но в накапливать опыт ее осуществления. Понятно, что такая методика требует, чтобы вопросы, включенные в программу по математике, имели многочисленные (исходя из жизненного опыта детей) интерпретации в реальном мире. Исходя из этих позиций, в программу для начальной школы может быть включен весьма необычный с точки зрения традиций этой школы математический материал. Примером может служить содержание программы, по которой обучались воспитанники одного из детских садов Бельгии (Ф. Папи, Ж. Папи. Дети и графы.— М., 1974), математический материал для занятий с детьми 6—10 лет, разработанный Р. Ф. Соболевским (Логические и математические игры.— Мн., 1977). 4. Программа по математике должна предусматривать также овладение учащимися математическим языком — средством математизации. Математический язык учащихся начальных классов с синтаксической точки зрения не должен отличаться от языка старшеклассников. Например, предложение •+••=з («к одному яблоку прибавить два яблока...») не является математическим ни для математика, ни для старшеклассника, ни для ученика 1 класса. Что же касается смыслового значения математических терминов, знаков, используемых в младших классах, то оно, конечно, беднее соответствующих языковых средств учащихся старших классов, однако не противоречит ему. Остановимся на более характерных особенностях действующей программы по математике для начальной школы. В содержании программы можно выделить арифметический, геометрический и алгебраический материал, а также материал, связанный с изучением величин. Такое разделение условно, поскольку в младших классах в отличие от средних и старших ни арифметика, ни геометрия, ни алгебра не являются систематическими курсами. Соответствующие понятия не образуют строгой логической системы. Арифметический материал. Этот материал занимает в программе центральное место. Целью его изучения является знакомство учащихся с понятием числа — целыми неотрицательными числами и обыкновенными дробями. В средних и старших классах это важнейшее понятие последовательно расширяется. Из курса математики для факультета педагогики и методики начального обучения (в дальнейшем для краткости будем называть его вузовским курсом математики) известно, что существуют два подхода к определению целых недельных чисел количественный и аксиоматический. В начальных классах реален первый из названных. Понятие натурального числа вводится через рассмотрение свойств конечных множеств. Множества служат основой для формирования у учащихся представлений об упорядоченности целых неотрицательных чисел, арифметических операциях. Важное место в курсе математики начальных классов занимают законы арифметических операций: коммутативности и ассоциативности сложения и умножения, дистрибутивности умножения относительно сложения. Арифметический материал изучается концентрически. Поскольку он составляет основу программы по математике, то элементы геометрии и алгебры распределены по соответствующим концентрам. Необходимость знакомства учащихся с понятием числа по концентрам выявляется при логико-дидактическом анализе арифметического материала. В нем можно выделить два основных элемента — нумерацию и арифметические операции. Рассмотрим сначала логическую последовательность изучения нумерации целых неотрицательных чисел. При этом будем исходить из того, что нумерация изучается в десятичной позиционной системе счисления. 1. Нумерация чисел первого десятка (0, 1 9). Изучается «алфавит» десятичной системы счисления — написание и название цифр. 2. Нумерация чисел второго десятка (11, 12 19). Названия этих чисел образуются по особому правилу: 11 «один-на-дцать», 12 — «две-на-дцать», ..., 19 «девять-на-дцать». При изучении нумерации используются понятие «десяток» и знания, полученные в концентре 1. 3. Нумерация круглых десятков (20, 30 90). Названия этих чисел имеют сходство: «два-дцать», «три-дцать» (вместе с тем <сорок», «девяносто»). Для их нумерации используются понятие «Десяток» и знания, полученные в концентре 1. 4 Нумерация остальных двузначных чисел (21, 22 99). Названия этих чисел образуются из двух слов — сначала называется число десятков, а затем число единиц. Для их нумерации используются знания, полученные в концентрах 1 и 3. Порядок изучения концентров 1, 3, 4 должен строго соблюдаться

— сначала 1, затем 3, затем 4. Изучать концентры 2 и З можно в разной последовательности. 5. Нумерация круглых сотен (100, 200 900). Названия этих чисел имеют сходство: «сто», «две-сти», «три-ста» «девять-сот». Для изучения нумерации этих чисел используются понятие «сотня» (разряд сотен) и знания, полученные в концентре 1. 6. Нумерация остальных трехзначных чисел (101, 102, ... 213, 999). Здесь используются знания, полученные в концентрах 1—5. 7. Нумерация чисел класса тысяч (1000—999 999). Вводятся понятия «класс» и «тысяча». Обобщаются знания о разрядах. Используются знания, полученные во всех предыдущих концентрах. 8. Нумерация чисел свыше 999 999. Сообщаются названия новых классов (миллион, миллиард, триллион и т. д.). Устная и письменная, нумерации этих чисел производятся по уже известным правилам. Итак, логика изучения нумерации целых неотрицательных чисел определена. Однако учащиеся должны усваивать нумерацию в органической связи с изучением арифметических операций. Поэтому с методической точки зрения концентры 1—8 далеко не равноценны. В самом деле, при изучении нумерации чисел в пределах десяти, например, учащиеся знакомятся с операцией сложения на множестве чисел первого десятка. Процесс усвоения табличного сложения (в пределах 10) весьма сложный и длительный. Однако знание учащимися таблицы сложения существенно облегчает изучение операции сложения в концентрах З и 5: эти суммы — 20 + 30, 200 + + 300 рассматриваются как 2 дес. + З дес., 2 сот. + З сот., т. е. как суммы однозначных чисел. Поэтому на изучение нумерации круглых десятков и сотен отводятся считанные уроки.1 Таким образом, в программе по математике выделяются более крупные концентры, чем 1—8. Рассмотрим несколько примеров концентрического построения программ по математике для начальной школы. В дореволюционной программе по математике для начальной школы (конец ХIХ в.) выделялись три концентра: числа первого десятка, числа первой сотни, многозначные числа. В первом кон- центре усваивалась нумерация и смысл всех четырех арифметических операций. Запоминались табличные случаи сложения и умножения (вычитания и деления) в пределах десяти. Во втором концентре учащиеся получали знания о нумерации чисел в пределах ста. Здесь же усваивались таблицы сложения и умножения, приемы устного внетабличного сложения и вычитания, умножения и деления в пределах ста. В третьем — вместе с нумерацией многозначных чисел (больших ста, меньших миллиарда) изучались приемы письменного сложения, вычитания, умножения (в столбик) и деления (углом). В советской послевоенной программе (1945 г.) учебный материал по математике был распределен по пяти концентрам: числа первого десятка, числа второго десятка, числа в пределах ста, тысячи, многозначные числа. В первом концентре параллельно с нумерацией изучались табличные случаи сложения и соответствующие случаи вычитания в пределах десяти. Во втором концентре завершалось усвоение учащимися таблицы сложения и начиналась работа над таблицей умножения и соответствующими случаями деления в пределах 20. В третьем концентре завершалось изучение таблицы умножения. Отрабатывались приемы устного сложения и вычитания, умножения и деления в пределах ста, В четвертом концентре учащиеся усваивали приемы письменного выполнения всех четырех арифметических действий. В последнем концентре эти приемы отрабатывались при выполнении действий над многозначными числами (до триллиона). В программе, утвержденной МП РСФСР в 1968 г., арифметический материал группировался по четырем концентрам: «десяток», «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа». В концентре «десяток» учащиеся усваивали табличные случаи сложения (соответствующие случаи вычитания); в концентре «Сотня» таблицу сложения в целом, таблицу умножения (соответствующие случаи деления), приемы устного сложения, вычитания, умножения и деления в пределах ста; в концентре «Тысяча» приемы письменного сложения и вычитания; в концентре «Многозначвые числа» -—- приемы письменного умножения и деления на множестве чисел до миллиарда. В программе для четырехлетней начальной школы, утвержденной МП РСФСР в 1986 г., по существу выделено пять концентров: числа первого десятка, числа второго десятка, числа в пределах ста, числа в пределах тысячи, многозначные числа. В первом концентре параллельно с изучением нумерации раскрывается смысл операций сложения и вычитания, учащиеся запоминают таблицу сложения и соответствующие случаи вычитания в пределах десяти. Во втором концентре завершается усвоение учащимися таблицы сложения, в третьем отрабатываются приемы устного сложения и вычитания. Наряду с этим учащиеся должны овладеть приемами письменного выполнения этих действий (в столбик). Вычисления в столбик они выполняют в наиболее сложных случаях. Здесь же учащиеся знакомятся с умножением и делением, усваивают таблицу умножения, приемы устного внетабличного умножения и деления. При изучении чисел в пределах тысячи вводятся приемы письменного умножения (в столбик) и деления (углом). В последнем концентре навыки устных и письменных вычислений обобщаются для действий над многозначными числами (до миллиона). Несмотря на различное построение рассмотренных программ, нумерация в каждой из них изучается в соответствии с выделенной выше последовательностью этапов 1 —8. Различие программ обусловлено разными позициями авторов относительно изучения арифметических операций. Так, составители дореволюционной программы и программы 1945 г. считали необходимым начинать изучение всех четырех арифметических действий уже в концентре «десяток»; в программе 1986 г. в отличие от всех предыдущих предусмотрено письменное (в столбик) сложение и вычитание уже на множестве чисел первой сотни. Мы не будем здесь обсуждать достоинства и недостатки рассмотрены программ. Отметим только, что многие вопросы, касающиеся арифметического содержания программы iо математике, еще не нашли в методике полного решения. Таким образом, процесс совершенствования программы по математике для начальных классов продолжается. Геометрический, алгебраический материал и величины, изучаемые в начальных классах, имеют важное образовательное значение. Однако при включении этого материала в программу по математике исходят из того, что он должен быть тесно связан с арифметикой. Например, изучение многоугольников начинается тогда, когда учащиеся знакомятся с числами первого десятка: наряду с различными множествами бытовых предметов для иллюстрации используются геометрические фигуры. Так, число 4 ставится в соответствие множествам, содержащим 4 яблока, 4 автомашины и т. д., и четырехугольнику фигуре, имеющей 4 стороны, 4 вершины, 4 угла. С понятием длины учащиеся знакомится при изучении темы «десяток». Линейка при этом используется для иллюстрации упорядоченности натуральных чисел, операций сложения и вычитания. дециметр, например, интерпретируется как десяток (счетная единица), метр как сотня. Геометрический материал. Пространственные представления формируются у детей в раннем возрасте, задолго до школы, что позволяет начать уже с первого класса математическое описание некоторых основных геометрических фигур. Слово «основные» имеет здесь совсем не тот смысл, который вкладывается в него в старших классах при изучении систематического курса геометрии. Там основными называют неопределяемые понятия, которые вместе с аксиомами составляют базу аксиоматической теории. Употребляя выражение «основные понятия» по отношению к начальному курсу математики, имеют в виду, что соответствующие геометрические фигуры широко и ярко представлены в окружающем мире. К ним относятся: прямая, точка, отрезок. угол, многоугольник (прямоугольник, квадрат), окружность и круг. Отметим, что к числу таких фигур было бы естественно отнести и прямоугольный параллелепипед, куб (эти фигуры до 60-х годов изучались в начальной школе). Содержание и структура программы предполагают изучение геометрических понятий в тесной связи с арифметическим материалом, а также с изучением величин. Последнее достигается за счет того, что при знакомстве с геометрическими фигурами большое место отводится измерениям. Кроме того, программой не предусмотрено раскрытие логических связей между геометрическими понятиями, поэтому от учащихся не требуется знания определений. Содержание понятий раскрывается через построение соответствующих геометрических фигур, эмпирическое исследование их моделей. Тот факт, что ученик начальных классов усвоил то или иное геометрическое понятие, означает, что он, во-первых, может находить соответствующую геометрическую фигуру среди других фигур, вычленять ее из более сложных фигур, указывать реальные объекты, имеющие соответствующую форму, во-вторых, умеет строить эту фигуру, в-третьих, может определять некоторые численные характеристики: количество углов, сторон, вершин, длину, радиус, периметр, площадь. Важное место при изучении геометрических фигур играет знакомство учащихся с чертежными и измерительными инструментами: линейкой, угольником, циркулем, рулеткой, палеткой. Алгебраический материал. Основными алгебраическими понятиями, включенными в программу, являются переменная, выражение с переменной, уравнение. Пропедевтическое значение этих понятий невелико. При изучении систематического курса алгебры алгебраические понятия вводятся на качественно другой основе. В курс начальной школы включаются только те элементы алгебры и на таком уровне, который необходим для качественного усвоения учащимися арифметики целых неотрицательных чисел. Уже при изучении чисел первого десятка у учащихся должно быть выработано представление об отношении порядка на множестве натуральных чисел. В связи с этим в систему упражнений включаются, например, такие задания: «Назови числа, которые можно подставить в «окошечко»: О 4, 7. О и т. д.> Позже, когда у учащихся формируются знания о связи между компонентами и результатами арифметических действий, могут использоваться более сложные упражнения: П + 4 7,7— П . 3,0 .3 . 8,12: П 2ит.д. По форме эти задания являются неравенствами с переменной, однако говорить об обучении учащихся начальных классов решению неравенств, очевидно, нельзя. для того чтобы учащиеся запомнили таблицы сложения и умножения, используются следующие упражнения: 0+3=7, 5—О = 2, 6+0=8, 0. 3=24,5. 0=45,64:0=8, 0:7=6 и т. д. В последующем «окошки» заменяются буквами латинского алфавита. Уравнения учащиеся решают подбором, используя знания о связи между компонентами и результатами арифметических операций. Буквенные обозначения широко применяются при отработке у школьников вычислительных навыков: ими обозначают термины «слагаемое», «сумма», «разность», «множитель» и т. д. Примером может служить упражнение: Найти неизвестное число:

Особенности изучения математических понятий. Особенности развития мышления и речи учащихся начальных классов определяют требования к методике введения начальных математических понятий. Важнейшим из них является формирование математических понятий через рассмотрение реальных, житейских ситуаций, хорошо знакомых детям из повседневной жизни. Иначе говоря, каждому математическому понятию должна соответствовать система целесообразных текстовых содержательных задач. Эта особенность находит свое отражение в программе по математике: интенсивное обучение учащихся

решению содержательных задач предусмотрено с первых уроков математики проаммой определена последовательность знакомства учащихся сосновньтми типами задач. Например, с терминами «задача», «условие задачи», «вопрос задачи», «решение задачи» учащиеся знакомятся при изучении операций сложения и вычитания на множестве чисел первого десятка. Это дает возможность решить с учащимися целую систему задач. В частности, это могут быть задачи, в которых рассматриваются множества реальных объектов: стая птиц, группа мальчиков, флотилия кораблей, яблоки, лежащие в корзинке. Над каждым из этих множеств производится соответствующая операция: прилетает еще одна птица, прибегает еще один мальчик, подплывает еще один корабль, кладут еще одно яблоко. В каждой задаче спрашивается: «Сколько стало всего?» Анализируя условие и вопрос этих задач, учащиеся выполняют математизацию реальны ситуаций: «прилететь», «прибежать», «приплыть», «положить еще» означает, что стало больше, т. е. прибавили. Широкое включение содержательных задач в программу по математике преследует также цель обогащения словарного запаса учащихся, пополнение их представлений об окружающем мире. Так, понятие «иметь меньшую длину» с помощью задач переводится на обыденный язык по-разному: «уже», «короче», «ниже», «тоньше», «мельче». Важную роль играют задачи и в развитии логического мышления учащихся. Целенаправленное обучение аналитико-синтетическому методу решения задач ведет к формированию у них логических операций анализа и синтеза. Школьники учатся рассуждать, доказывать, делать выводы. б. ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Общие положения. дидактические принципы — исходные положения теории обучения, выражающие основные закономерности процесса обучения. Они определяются целями обучения и воспитания, потребностями общественного развития, особенностями учебной деятельности учащихся различных возрастов. дидактические принципы (принципы обучения) взаимно связаны и образуют систему. В педагогической литературе встречаются различные варианты системы дидактических принципов, различающейся укрупнением или объединением отдельных принципов или, наоборот, их детализацией, разделением одного принципа на несколько. Рассмотрим систему, в основе которой — семь принципов: воспитывающее обучение, научность, сознательность усвоения, активность учащихся, наглядность обучения, прочность знаний, индивидуальный подход. Эти принципы детально изучаются в курсе педагогики, поэтому ограничимся лишь кратким рассмотрением сущности каждого из принципов, обращая главное внимание на особенности реализации их в начальном обучении математике. Принцип воспитывающего обучения. Всякое обучение должно быть воспитывающим, т. е. наряду с определенными обучающими функциями должны осуществляться и воспитательные функции. Отсюда, однако, не следует, что все воспитание сводится к обучению. Наоборот, по-видимому, правильнее будет считать, что обучение является составной частью системы воспитания. Воспитание в процессе обучения вообще, и математике в частности, имеет своей основной целью формирование у школьника коммунистического мировоззрения и морали. Как решается эта задача при начальном обучении математике? На этом этапе обучения необходимо прежде всего показать, что всем изучаемым понятиям и фактам соответствуют реальные объекты, свойства и отношения между ними. Именно в начальном обучении иллюстрируется на многочисленных примерах известное утверждение Ф. Энгельса о том, что натуральные числа и геометрические фигуры взяты из реального мира, а не возникли из чистого мышления. Мы неоднократно обращаемся к реальным прообразам количественных отношений и пространственных форм, т. е. начинаем по существу формирование правильных представлений о предмете математики, о том, что математика, как и другие науки, изучает окружающий нас реальный мир. Мораль это совокупность норм и правил поведения людей во всех сферах общественной жизни. В математике существует много правил, которые нужно строго выполнять. Воспитание строгости соблюдения разного рода математических правил (алгоритмов) способствует и воспитанию правил поведения в обществе, соблюдению норм, регулирующих отношения между людьми. На уроках математики учитель имеет большие возможности для воспитания у учащихся честности, трудолюбия, стремления к преодолению трудностей и т. д. Важнейшим средством воспитания этих качеств являются арифметические задачи, текст которых выполняет воспитательную функцию. Воспитывающий характер обучения в значительной мере зависит также от методов преподавания. Научность в обучении. В соответствии с этим принципом учебный материал должен излагаться в последовательности, сохраняющей связи между понятиями, темами, разделами в рамках отдельного предмета, а также межпредметные связи. Таким образом, принцип научности в обучении включает систематичность и последовательность (иногда в педагогической литературе этот принцип называют принципом научности, систематичности и последовательности в обучении). Научность в обучении математике не означает, что в учебную программу включается система математических знаний в том виде, в котором она существует в науке математике. Применительно к начальному обучению математике принцип научности следует понимать как отражение в нем определенных математических идей, позволяющее осуществить их раннюю пропедевтику. Такими фундаментальными математическими идеями являются идеи числа, функциона4ьной зависимости, геометрической фигуры, измерения величин, алгоритма. В начальных классах формируется представление о натуральном ряде как об упорядоченном; дискретном множестве с первым и (з

последнего элемента. Такие используемые в практике обучения выражения, как «соседние числа», «сосед справа», «сосед слева», соответствуют отношениям, рассматриваемым в науке математике, «непосредственно следует за», «непосредственно предшествует». Свойства натурального ряда «для каждого числа имеется единственный сосед справа», «для каждого числа, кроме 1, имеется единственный сосед слева», «сосед справа получается прибавлением 1», «сосед слева получается вычитанием 1» отражают идеи порядковой теории натурального ряда и значения функции прибавления единицы для формирования этого ряда. В первом классе смысл операции сложения раскрывается через объединение множеств конкретных предметов. При этом неявно используется известное положение количественной теории и натуральных чисел: если АПВ= ®, то т(А[IВ)=т(А)+т(В). «Открываемая» младшими школьниками зависимость между результатами и компонентами арифметических операций служит пропедевтикой идеи функциональной зависимости. В начальных классах важно сформировать’ представление о замкнутости множества натуральных чисел относительно отдельных операций: для любых двух натуральных чисел можно найти их сумму, их произведение, но не для любых двух натуральных чисел можно найти натуральное число, равное их разности или их частному. Ознакомление учащихся с процедурой измерения отрезков служит подготовкой к усвоению ими в дальнейшем более общих вопросов теории измерения величин. Сознательность усвоения. Сознательность усвоения понимается как такое овладение учащимися знаниями, которое включает глубокое понимание усвоенного и умение применять его в новых конкретных ситуациях. Трудности, связанные с реализацией принципа сознательности, обусловлены отчастI1 тем, что механизм понимания недостаточно изучен. Однако можно все же утверждать, что если ученик понял какой-то материал, то он должен уметь отвечать на такие-то вопросы, решать такие-то задачи (важно правильно подобрать соответствующие вопросы и задачи). Если же ученик не справляется с этими вопросами и задачами, значит, он не понял данный материал. В процессе обучения учитель должен постоянно получать информацию о качестве усвоения учащимися изучаемого материала. Это особенно важно при начальном обучении математике, так как непонимание одного вопроса обусловливает непонимание последующего материала. Чтобы выяснить, заучен материал или же понят, нужна педагогически целесообразная система вопросов и задач. Считают, что вопрос «педагогически целесообразно» поставлен, если он вызывает активную мыслительную деятельность учащегося и не допускает ответа заученными словами из учебника. Сознательное усвоение знаний исключает догматическое преподавание, результатом которого являются «формальные знания». Формализм чаще всего встречается при обучении математике. Это объясняется спецификой математики, в частности широким использованием в ней искусственного символического языка. Учащийся иногда ориентируется на запоминание внешнего символического выражения содержательного математического факта. Формальные знания бесполезны, так как их невозможно применять на практике. Так, ученик может знать таблицы сложения и умножения чисел, но не понимать, в каких задачах применяются действия сложения и умножения. Это является следствием отрыва символической записи сложения и умножения чисел от конкретных, реальных интерпретаций этих записей в процессе их изучения. Активность учащихся. Сознательность усвоения предполагает активность учащихся в процессе обучения. Без активной мысли- тельной деятельности не может быть достигнуто сознательного усвоения знаний. Различают активность в широком и узком смысле. Активность в широком смысле при обучении математике существенно не отличается от активности учащихся в процессе обучения их другим предметам, т. е. она не затрагивает специфику учебного предмета. Активность же в узком смысле можно понимать как проявление специфической мыслительной деятельности, характерной для ученого-математика и называемой потому «математической» деятельностью. На первый взгляд сама постановка проблемы обучения математической деятельности может показаться неправомерной. Действительно, способен ли ученик младших классов школы к математической деятельности? Очевидно, что к математической деятельности на высоком логическом уровне не способен ни ученик III, ни ученик Х класса. Но к какой-то математической деятельности, адекватной уровню мышления, способен и первоклассник. Все зависит от того, что мы понимаем под «математической деятельностью». Когда первоклассник (или дошкольник) образует пары элементов из двух множеств и приходит к выводу, что в одном множестве больше предметов, чем в другом, он уже осуществляет некоторую, хотя и весьма примитивную, математическую деятельность. Усваивая понятие арифметической операции, ученик переходит от действий над множествами конкретных предметов к операциям над соответствующими числами (числами элементов этих множеств), отвлекаясь при этом от природы предметов. Это тоже математическая деятельность, но на более высоком уровне. Открывая законы действий над числами, отвлекаясь при этом от конкретных чисел, заменяя их буквами (или пустыми окошками различной формы), он осуществляет математическую деятельность на еще более высоком уровне. Обучение математике может и должно строиться так, чтобы начиная с первого класса ученик последовательно переходил от одного уровня математической деятельности к другому, более высокому. Известный математик-педагог д. Пойа так формулирует принцип активного учения: лучший способ изучить что-нибудь — это открыть самому. Хотя ученик третьего класса «открывает» то, что уже давно открыто, он мыслит при этом как первооткрыватель. Важная задача методики преподавания стимулировать открытия учащихся.

Наглядность обучения. Наглядное обучение, по словам К. д. Ушинского,— такое обучение, которое строится не на отвлеченных представлениях и словах, а на конкретных образах, непосредственно воспринятых ребенком. Наглядность очень важна при начальном обучении математике в связи с особенностью конкретно-образного мышления младших школьников.! В средних и старших классах широко используется символическая наглядность (чертежи, графики, графы, схемы, таблицы и др.). При начальном же обучении математике применяются все виды наглядности: натуральная, символическая и особенно изобразительная. Например, приступая к изучению числа и цифры 5, показывают различные картинки, на каждой из которых изображено множество каких-либо предметов, причем общим для всех этих множеств является лишь то, что каждое состоит из пяти элементов (карандашей, птиц, рыб, мальчиков, автомашин и т. п.)., Широкое использование изобразительной наглядности связано с тем, что на начальном этапе обучения математике математические понятия абстрагируются от их реальных прообразов. Используется также символическая наглядность, сначала в сочетании с изобразительной. Так, например, желая показать, что девочек на одной картинке столько же, сколько мячиков, изображенных на другой картинке, проводят стрелки от каждой девочки к одному из мячиков так, чтобы никакие две стрелки не оканчивались у одного мячика. Конечно, эти стрелки можно истолковать, как обозначения выбора мячика девочкой. При формировании представлений об отношениях «меньше» и больше» рассматриваются случаи, когда всем девочкам не хватает мячиков («Леночка плачет, ей не достался мячик») и когда остаются лишние мячики. От этой изобразительно-символической наглядности до чисто симнолической наглядности один шаг. Можно и девочек и мячик обозначать какими-нибудь фигурами, например треугольниками, кружочками или просто точками. Любое средство символической наглядности представляет собой условную знаковую систему, с помощью которой изучаемые свойства предметов, явлений, процессов отделяются от прочих свойств. Таким образом, символическая наглядность является по существу своебразным языком. Так, например, чтобы стрелки, о которых шла речь выше, стали понятными, необходимо разъяснить, что они обозначают. То же можно сказать и о записях 5 + 3 = 8, 5.3 = 15 и т. п. Каждая из них становится наглядной лишь после того, как ее проиллюстрируют с помощью какой-нибудь реальной ситуации, которую она описывает, т. е. после того, как разъяснена ее семантика (выраженный этой записью смысл). Часто символическая запись, например 5. 3= 15, может иллюстрироваться с помощью геометрической модели, например прямоугольника, изображенного на бумаге, длина которого 5, а ширина З клеточки. В таком случае легко определить произведение — число клеточек, содержащихся в изображенном прямоугольнике, легко «доказать» свойство коммутативности (переместительности) умножения, сосчитав число клеточек по рядам и столбцам (слово «доказать» взято в кавычки, так как это предматематическое доказательство на частном случае, модели). Важную роль играет наглядность при формировании математических понятий. Обычно различают две ступени этого процесса: чувственную, состоящую в формировании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования. Прочность знаний. Сохранение у учащихся в течение длительного времени систематизированных знаний, умений и навыков возможно лишь при осознанном усвоении знаний. Сознательность усвоения обеспечивается активной мыслительной деятельностью, поэтому необходимым условием прочности знаний является приобретение их активным способом. Однако наряду с сознательностью и активностью необходима также соответствующая организация обучения, учитывающая особенности механизма запоминания. Существуют следующие общедидактические положения: а) запоминание находится в прямой зависимости от повторения; б) память имеет избирательный характер запоминается преимущественно то, что для нас существенно, интересно; в) материал запоминается лучше, когда раскрываются возможности применения его на практике; г) запоминанию способствует разделение изучаемого материала на небольшие порции по смысловому содержанию с выделением опорных пунктов в форме заголовков, вопросов, математических соотношений; д) эмоционально окрашенный материал запоминается лучше. Вопрос о том, что должен запомнить ученик из изучаемого материала, гораздо сложнее, чем может показаться на первый взгляд. Совершенно очевидно, что запомнить все невозможно да и не нужно, если имеется в виду весь школьный курс математики. В курсе же математики начальных классов почти все подлежит запоминанию: таблицы сложения и умножения однозначных чисел, алгоритмы выполнения четырех арифметических действий над многозначными числами и т. д. Повторение ранее изученного материала перед изучением новой темы является одним из важнейших видов повторения при обучении математике вообще и в начальных классах в частности. Оно способствует лучшему запоминанию как старого, так и нового материала. Индивидуальный подход в обучении. При обучении необходимо учитывать особенности мышления каждого ученика, свойства его памяти, отдельных анализаторов (зрение, слух) и т. д. даже у учащихся одного возраста они различны, поэтому один и тот же материал одни учащиеся усваивают быстрее, а другие медленнее. Все это и обусловливает необходимость индивидуального подхода в обучении. Если бы можно было как-то «измерить» скорость усвоения математического материала различными учащимися, то разброс был бы намного больше, чем по другим предметам. Ориентирование на «среднего» ученика приводит к отрицательным последствиям. Слабые учащиеся, находящиеся ниже уровня «среднего», становятся неуспевающими, а сильные начинают скучать на уроках и теряют интерес

к предмету. Поэтому в условиях классно-урочной системы, когда в классе одновременно обучается ЗО—40 человек, необходимо осуществлять принцип индивидуального подхода, использовать различные приемы, учитывающие особенности усвоения материала различными учащимися (дифференцированные задания, опережающие, выравнивающие занятия, дополнительные индивидуальные занятия, кружковые занятия и т. п.). Одно из возможных решений проблемы индивидуального подхода связано с использованием в обучении персональных компьютеров. 7. МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Общие и специальные методы. В дидактической литературе встречаются различные определения понятия «метод обучения»... Будем исходить из достаточно широко распространенного представления о методах обучения как об упорядоченных способах взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленных на достижение целей обучения как средства образования и воспитания. Описание каждого метода обучения должно раскрывать: 1) обучающую деятельность учителя; 2) содержание учебной (познавательной) деятельности ученика; З) связь между ними, т. е. способ, с помощью которого учитель управляет познавательной деятельностью учащихся. В дидактике рассматриваются, однако, лишь общие методы обучения, т. е. методы, не учитывающие специфики отдельных предметов. Исследование возможностей конкретной реализации общих методов в начальном обучении математике путем их модификации, адаптации с учетом специфики математики и мыслительной деятельности учащихся начальных классов является предметом методики начального обучения математике. Используются также специальные методы обучения, отражающие особенности математического познания. Специальные методы обучения, и прежде всего метод моделирования (построения математических моделей), в наибольшей степени влияют на формирование и развитие математического стиля мышления. Репродуктивные и продуктивные методы. Методы обучения разделяют на две группы: одни из них ориентированы в основном на передачу учащимся готовых знаний, другие стимулируют познавательную деятельность по приобретению новых знаний. Используя методы первой группы, учитель излагает, объясняет учебный материал, привлекает различные средства наглядности и другие дидактические средства, а ученики воспринимают информацию, усваивают ее, а затем воспроизводят по требованию учителя. Такие методы называют репродуктивными. Развивающий эффект их использования в обучении недостаточно высок, так как они не вызывают активной мыслительной деятельности учащихся. Приведение методов обучения в соответствие с требованиями реформы школы означает целесообразное сочетание оправдавших себя на практике репродуктивных методов с методами, ориентированными на обучение деятельности по самостоятельному приобретению новых знаний, называемыми также продуктивными. Продуктивные методы не противопоставляются репродуктивным. Речь идет о дидактически целесообразном сочетании этих методов на различных этапах обучения в зависимости от целей и содержания обучения. В начальном обучении математике ведущую роль играют репродуктивные методы, так как у учащихся формируется база знаний и умений, на основе которой уже можно строить обучение простейшей познавательной деятельности. Общеизвестна роль задач в обучении математике и развитии математического мышления учащихся. Уровень усвоения математических знаний и математического мышления учащихся проверяется с помощью задач. Поэтому методы обучения решению задач следует отнести к специфическим методам обучения математике. Эмпирические методы. Наблюдение, опыт, измерения — эмпирические методы, используемые при изучении экспериментальных естественных наук,— не являются специфичными для математики. Однако в начальном обучении математике эти методы должны широко применяться в качестве эвристических. Например, изучение понятия «квадрат» учащиеся начинают с рассмотрения множества предметов, отличающихся друг от друга формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны. дети, после того как им показывают одну из этих фигур и говорят, что это квадрат, безошибочно отбирают из множества предметов те, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размеров, окраски, материала. Здесь выделение из множества предметов подмножества производится по одному, возможно, еще неосознанному признаку — по форме. Школьники еще не знают свойств квадрата, они распознают его только по форме. Такое распознавание встречается уже у дошкольников. дальнейшая работа по формированию понятия «квадрат>) состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств. Опытным же путем учащиеся «открывают» практически все свойства арифметических операций (переместительности и сочетательности сложения, свойство распределительности умножения относительно сложения), функциональных зависимостей (прямой и обратной пропорциональности) , геометрических фигур. Опыт в математике, конечно, не доказательство, однако может использоваться при начальном обучении как эвристический прием. Сравнение и аналогия. Сравнение и аналогия — логические методы, используемые как в научных исследованиях, так и в обучении. В результате сравнения выявляются сходство и различие сравниваемых предметов, т. е. наличие у них общих и необщих (различных) свойств. Например, сравнивая квадрат и прямоугольник, мы обнаруживаем общие свойства: четыре стороны, четыре вершины, четыре угла, все углы прямые, а также различия: в квадрате все стороны равны, в прямоугольнике — только противоположные (имеется в виду разносторонний прямоугольник). При сравнении равенств 3+5=5+3 и 4+6=6+4 обнаруживается очень важное их свойство, которое служит основой для дальнейшего обобщения: в каждом равенстве знаком «=» связаны две суммы, различающиеся только порядком слагаемых. Правильный вывод можно получить, если выполняются следующие условия: а) сравниваемые понятие однородны; б) сравнение осуществляется по существенным признакам. Оба эти условия выполняются в приведенных выше сравнениях: а) квадрат и прямоугольник — однородные понятия (четырехугольники), записи 5+3= =3+5 и 4+6=6+4 равенства арифметических выражений; б) сравнение произведено по существенным признакам, служащим основой для определения квадрата и прямоугольника в первом случае, и для обобщения и открытия закона коммутативности сложения во втором. Сравнение подготавливает почву для применения аналогии. Сущность вывода заключения по аналогии состоит в следующем. Если у объектов а и Ь имеются общие признаки Р1,,Р2, •. Р а у объекта а обнаружено, кроме того, свойство Рп+1, утверждают, что и Ь обладает свойством Рп + 1. Правильное использование аналогии предполагает следующее: 1) число общих свойств объектов а и Ь должно быть как можно большим; 2) необходимо, чтобы общие признаки Р1 Рп были, специфичными для рассматриваемых объектов и по возможности более разнородными, максимально отличающимися друг от друга; 3) свойство Рп+ 1, о котором говорится в заключении, полученном с помощью аналогии, и свойства рi Рп должны быть однотипными; 4) переносимый признак Рп + 1 не должен иметь специфического характера. Например, сложение обладает свойствами переместительности и сочетательности, умножение свойством переместительности. Это наводит на мысль, что и умножение обладает свойство сочетательности. Как видно, рассуждение по аналогии имеет лишь правдоподобное, вероятное, но не достоверное заключение, поэтому аналогия служит эвристическим приемом для формулировки гипотез, открытия новых свойств изучаемых объектов. Она может привести и к неверным предположениям, поэтому заключение по аналогии подлежит проверке. В начальном обучении математике имеются возможности для применения аналогии. Выявление сходства и различия между реальными ситуациями позволяет описать их с помощью одних и тех же или различных математических соотношений. Например, на одной картинке изображено 5 красных цветков и 4 синих. По этой картинке можно составить такие задачи: «На сколько больше красных цветков, чем синих?», «На сколько меньше синих цветков, чем красных?», «Сколько всего цветков?» и др. На другой картинке изображено 7 больших птичек и З маленькие. Сходство условий подсказывает нам возможность распространения этого сходства и на задачи, т. е. по аналогии учащиеся составляют задачи и ко второй картинке. Иногда говорят, что это — деятельность по образцу. В действительности же здесь имеет место рассуждение по аналогии. Не нужно опасаться ложных аналогий. Анализ ошибочных заключений представляет собой полезный прием обучения. Так, ученик, зная, что

написал по аналогии:

3 (4+5)=3• 4+3 5,

3 (4+5)= (3+4) (3+5), (2)

т. е. свойство распределительности умножения относительно сложения распространил на сложение относительно умножения. Путем вычисления устанавливается, что равенство (2) неверно. Эту ошибку и необходимо использовать для того, чтобы подчеркнуть, что свойство распределительности имеет место только для умножения относительно сложения, но не для сложения относительно умножения. Иными словами, чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить, но чтобы сложить число с произведением двух чисел, нельзя складывать его с каждым сомножителем и полученные суммы перемножать. Обобщение, абстрагирование, конкретизация. Логические приемы (обобщение, абстрагирование, конкретизация) находят ограниченное применение в начальном обучении математике. Это объясняется тем, что обобщение и абстрагирование используются почти всегда совместно при переходе от представлений к понятиям. В начальном же обучении во многих случаях мы остаемся на уровне представлений, т. е. не доводим процесс познания до формирования понятий. Однако применение этих приемов, пусть ограниченное, в начальном обучении математике возможно. Например, приемы обобщения и абстрагирования могут использоваться при рассмотрении частных случаев переместительности сложения. В результате учащиеся приходят к общей закономерности «а + Ь = Ь + а для любых а, Ь». В свою очередь эта закономерность конкретизируется для частных случаев (7+3=3+7). Понятие натурального числа формируется у учащихся в несколько приемов. Сначала учитель предоставляет детям возможность сравнивать множества различных предметов по их численности. Обнаруживается, что между элементами некоторых множеств удается установить взаимно однозначное соответствие. Выделяются классы равночисленных множеств, которым в качестве характеристик приписываются определенные натуральные числа. Здесь ученик уже имеет дело с абстракцией от абстракции: от множества предметов он переходит к классу равночисленных множеств, а затем — к свойству класса (численность принадлежащих классу равночисленных множеств). Индукция и дедукция. Восхождение от частного к общему, от фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к общим закономерностям имеет логическую форму рассуждения «от частного к общему». Вывод общего заключения из частных посылок называется индукцией. В начальной школе возможно использование индукций двух видов: полно и неполной. Индукция бывает полной, если частные посылки исчерпывают все возможные случаи, и неполной.

Говоря об использовании индукции в обучении, имеют в виду, как правило, неполную индукцию. Например, сколько бы мы ни приводили равенств, отражающих переместительность сложения или умножения, невозможно исчерпать все частные случаи, так как пар натуральных чисел бесконечно много. Неполная индукция не может, разумеется,. служить методом доказательства в математике. Но она является мощным эвристическим методом. Сколько же надо рассмотреть частных посылок, чтобы подвести учащихся к открытию общей закономерности, общего правила, алгоритма? На этот вопрос, очевидно, нельзя дать исчерпывающего ответа. Необходимо, чтобы частное содержание, которое выражается в посылках и не входит в общее заключение, варьировалось, т. е. видоизменялось от посылки к посылке. Это помогает школьникам выявить то общее, неизменное, что должно составлять содержание заключения. Использование индукции иногда бывает малоэффективным, например когда учащимся предлагаются однотипные, малоразличимые посылки. Так, известный алгоритм умножения многозначного числа на однозначное, как и другие алгоритмы, изучаемые в начальных классах, мы не можем описать в общем виде. В процессе его изучения рассматривается следующая система частных случаев: все цифры многозначного множителя значимые, многозначный множитель оканчивается нулем (нулями), этот множитель содержит нуль (нули) в середине. Если эта система рассматривается не в полном объеме, учащиеся могут столкнуться с серьезными трудностями. При формировании простейших геометрических понятий наряду с наблюдением, опытом, измерениями используется и индукция. Чтобы абстрагировать общую форму, необходимо рассматривать не один, а много квадратов, различающихся размерами, окраской, материалом, из которого они изготовлены. В каждом из квадратов школьники обнаруживают четыре- равные стороны, четыре прямых угла, затем по индукции приходят к заключению, что во всяком квадрате четыре стороны и четыре прямых угла. Дедуктивное рассуждение, которое определяют как рассуждение от общего к частному, отличается от индуктивного (в смысле неполной индукции) достоверностью заключения, которое истинно по крайней мере тогда, когда истинны все посылки. В дедуктивном рассуждении нельзя получить ложное заключение из истинных посылок. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются в математических доказательствах. дедукция как метод обучения математике включает обучение дедуктивным доказательствам и преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем либо с помощью аналогии, индукции или других эвристических методов, в систему предложений, упорядоченных отношением следования, которая расширяет уже известный фрагмент теории. Какова же роль дедукции в начальном обучении математике? Имеет ли какое-то отношение пресловутая математическая строгость к начальному обучению? Какие учебные или воспитательные цели оправдывают или, наоборот, отвергают ориентацию на какой-то уровень строгости в начальном обучении? Целесообразность раннего обучения детей точным рассуждениям и убедительным обоснованиям не вызывает сомнений. Однако возможно ли обучение доказательству младших школьников? Не предполагают ли математические доказательства недоступного для учащихся 1—1У классов уровня абстракции? Ответы на поставленные вопросы зависят от того, что понимают под доказательством на начальном этапе обучения математике, или под предматематическим доказательством 8. ОБУЧЕНИЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПРЕДМАТЕМАТИЧЕСКОМУ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ Одной из наиболее сложных задач обучения математике является формирование у учащихся средней школы умения доказывать математические предложения. Успешность ее решения во многом зависит от того, насколько целенаправленно и качественно ведется соответствующая подготовительная работа в начальных классах. По мнению психологов М. М. Вахрушева, Л. Ф. Войтко, А. В. Запорожца, М. В. Крыловой, К. А. Некрасоой,В. А. Филя, такая работа может начинаться уже с 1 класса. Подготовка младших школьников к сознательному усвоению и проведению строгих математических доказательств предполагает: 1) воспитание у детей потребности в аргументации высказываемых суждений и осознание ими необходимости доказательств; 2) использование в обучении доступных для данного возраста способов обоснования истинности математических предложений и постепенное овладение учениками наиболее употребительными из них. Такая подготовительная работа может успешно (и без дополнительной нагрузки учащихся) проводиться в рамках современного начального курса математики, так как в его содержании заложены объективные предпосылки для повышения логической грамотности детей. Об этом свидетельствуют анализ учебников математики для начальной школы, методических рекомендаций к ним, изучение передового педагогического опыта. Воспитание потребности и навыков аргументации суждений начинается с постоянно задаваемого учителем вопроса «Почему?», выполнения заданий с требованиями «Объясни», «Докажи». Возрастные особенности мышления младших школьников и отсутствие у них логически стройной системы знаний обусловливают невозможность или, по крайней Мере, ограниченность использования дедуктивных доказательств. Например, целью одного из первых уроков, на котором изучается нумерация чисел первого десятка, является установление порядковых отношений между числами изученного отрезка натурального ряда 1, 2: вывод, чтение и запись математических предложений: 1=1, 1.с2, 21, 2=2. Каждое из них должно быть доказано. Как же это сделать? Из психологии нам известно, что для детей 6—7 лет необходимо обеспечить наглядную основу формируемого знания, поэтому обратимся к средствам наглядности (реальным объектам из окружающей действительности, картинкам с изображением знакомых детям предметов; счетным палочкам; геометрическим фигурам и т. п.). Рассмотрим один из возможных вариантов организации учебной деятельности первоклассников на этом уроке. — Положите один круг, а под ним столько же треугольников. Сколько треугольников надо положить? (Тоже один.) Почему? (Потому что треугольников должно быть столько же, сколько кругов, а круг у нас один.) — Обозначьте цифрой число кругов и число треугольников. (Ученики выставляют карточки с цифрой 1.) — Мы говорили, что кругов и треугольников у нас поровну. На математическом языке слово «поровну заменяют знаком <= . (далее учитель вводит термин «равно и привлекает учащихся к анализу символа для обозначения этого отношения.) — Как же на математическом языке записать, что кругов и треугольников у нас поровну, по одному? (1 = 1.) — Прочитайте хором эту запись. А теперь положите рядом с треугольником еще один треугольник. Сколько их стало? (2.) — Обозначьте число треугольников цифрой. (Ученики заменяют в ряду треугольников карточку с цифрой i на карточку с цифрой 2.) — Можно сказать, что и сейчас у нас кругов и треугольников поровну? (Нет, теперь у нас кругов меньше на 1, а треугольников больше на 1.) — А почему треугольников стало больше, чем кругов? (Потому что их было столько же, сколько кругов, да мы положили еще один.) ‘ — Треугольников у нас два (учитель на наборном полотне выставляет карточку с цифрой 2), а кругов один (выставляет карточку с цифрой i). Треугольников больше, чем кругов, значит два больше, чем один. Скажем это хором: «два больше, чем один. — На математическом языке это предложение записывают так: 2 . i. Прочитайте, что у нас написано. — давайте сравним значки для обозначения слов «равно и «больше. Чем они похожи? А чем различаются? (После такого анализа и сравнения символов учитель подчеркивает, что острие значка « всегда показывает на меньшее число.) — Итак, треугольников у нас больше. Это мы записали: 2. i. А что можно сказать о числе кругов? (Кругов меньше, чем треугольников. Один меньше, чем два.) — Кто догадался, как на математическом языке можно записать предложение «Один меньше, чем два? (дети складывают из цифр и знаков выражение i 2. Затем вызванный к доске ученик выполняет ее на общеклассном наборном полотне, класс хором читает это выражение.) Положите в верхний ряд еще один круг. Сколько стало кругов? Обозначьте их число цифрой. (2.) — Что можно сейчас сказать о числе кругов и треугольников? (Их опять поровну. треугольников и кругов по два.) — Кто сумеет на математическом языке записать, что кругов и треугольников у нас поровну, по два? (дети самостоятельно составляют равенство 2= 2 и читают его.) далее учитель переходит к обобщению и закреплению приобретенных знаний. На наборном полотне составляются четыре записи: 1 = 1, 2. 1, 1 .2, 2=2. Учащимся предлагается прочитать их и доказать с помощью палочек красного и белого цвета. докажем, например, что 1 «2. (Возьмем 1 белую палочку и 2 красные. Белых палочек меньше, чем красных, потому что если соединять в пары палочки разного цвета, одной белой палочки не хватает.) Аналогично обосновывается истинность каждого из остальных предложений. На последующих уроках изучения нумерации чисел в пределах десяти дети подводятся путем индуктивного обобщения к выводу принципа построения натурального ряда чисел: каждое число ряда больше всех чисел, встречающихся при счете раньше этого числа, и меньше любого числа, которое при счете называется после него. Этот вывод выступает уже в качестве нового аргумента доказательства утверждений вида 6.с7 (так как при счете «шесть называют раньше «семи»). Рассмотренный пример позволяет сделать некоторые выводы: 1) опыт, практическая деятельность детей являются не только источником математических понятий и суждений о них, но и служат средством проверки соответствия этих суждений действительности; 2) аргументы доказательства могут изменяться по мере накопления младшими школьниками обобщенных знаний о математических объектах; 3) используемые в начальном обучении математике способы обоснования истинности предложений отличаются от строгих математических доказательств прежде всего тем, что опираются на эксперимент, проводимый на модели конкретной ситуации. В то же время эти способы имеют сходство с общепринятыми в математике доказательствами: а) у них общая цель обосновать истинность утверждения о математических объектах; б) и те и другие строятся посредством выведения логических заключений из ранее известных посылок. Таким образом, на начальной стадии обучения математике должны применяться специфические, доступные и убедительные для детей способы обоснования. Будем их называть предматематическими доказательствами. Приставка «пред выражает первичность деятельности, предшествующей строгим математическим доказательствам. По мнению польского методиста 3. Семадени, предматематические доказательства предполагают: 1) практическую работу учащихся с реальными объектами, отношениями; 2) постепенное абстрагирование свойств этих объектов и отношений выражение их с помощью символических изображений, а затем с помощью чисел, математических предложений, геометрических фигур; 3) осознание и обобщение этой деятельности; 4) выведение элементарных логических заключений. Приведенные выше доказательства предложений (1 = 1, 1 2 и др.) являются простейшими предматематическими доказательствами. Рассмотрим наиболее типичный пример такого доказательства. Необходимо обосновать следующее предложение: «Умножение натуральных чисел коммутативно>. для доказательства возьмем прямоугольник, разбитый на квадраты (рис. 2): 1) если считать квадраты по горизонтали, получим 6. 3; 2) если вести счет их по вертикали, получим З . 6; 3) число квадратов в данном прямоугольнике не зависит от способа счета; 4) следовательно, б З = З . б (а не потому, чтоб. 3=18 и 3. 6=18).

Проведенное нами доказательство представляет собой систему из четырех суждений. Первое, второе и третье это суждения непосредственного восприятия прямоугольника, разбитого на квадраты. Четвертое суждение получено из первых трех посредством логического вывода. Нетрудно заметить, что аналогичным способом может быть построено и математическое доказательств общего положения: i а, Ь АТ(аЬ = аЬ). достаточно лишь считать, что при разбиении прямоугольника на квадраты получили а (а не 6) столбцов и Ь (а не 3) строк, т. е. предматематическое доказательство является конкретизацией «нормального» математического доказательства и отличается от последнего не способом рассуждения, а лишь тем, что применяется к частному случаю. Эксперимент (моделирование) как способ предматематического доказательства стимулирует движение мысли ученика от конкретного к абстрактному, от единичного к общему, а потому использование его в начальном обучении математике способствует развитию у детей абстрактного мышления. Помимо эксперимента, в ‘—‘У классах широко используются и другие способы предматематического доказательства: неполная индукция, аналогия, дедукция, вычисление, измерение. дети применяют метод неполной индукции, когда после выполнения специально подобранных упражнений формулируют свойства арифметических действий, устанавливают закономерности, выводят правила решения простейших уравнений. Система упражнений должна: обеспечивать наглядную основу формируемого знания; содержать достаточное число фактов для выделения существенных признаков сходства и рассмотрения исследуемого вопроса с разных сторон; сохранять неизменными существенные признаки при вариативности несущественных; давать возможность сопоставления наблюдаемого явления со сходными или противоположными ему явлениями. В начальном обучении математике получение выводов с помощью неполной индукции тесно связано с экспериментом. В качестве примера рассмотрим вывод в 1 классе правила нахождения неизвестного слагаемого. Под руководством учителя дети создают конкретную модель ситуации, позволяющей раскрыть связь между компонентами сложения. Средством наглядности могут служить наборы геометрических фигур из математической кассы. Возьмите 4 красных круга и З синих. Положите их в один ряд. Сколько всего кругов вы положили? (Всего положили 7 кругов.) — Как мы получили число 7? (К 4 прибавили 3.) Учащимися с помощью карточек выполняется запись: 4+3=7. — Вспомните, как называются числа при сложении, и прочитайте записанное выражение. (Первое слагаемое — 4, второе слагаемое 3, сумма — 7.) — У нас 7 кругов разного цвета. Уберите все синие круги. Сколько кругов осталось? (Осталось 4 красных круга.) Как получили число 4? (Из семи вычли три.) — Запишите этот пример на вычитание и прочитайте его, называя все числа. (Под первым примером записывается второй: 7—3=4, и дети читают его: <Из суммы 7 вычли второе слагаемое 3, получили первое слагаемое 4.) Связь между суммой и ее слагаемыми прослеживается на другой модели, по иллюстрации и записям, приведенным в учебнике. В результате школьники приходят к индуктивному обобщению: «Если из суммы вычесть одно из слагаемых, получится другое слагаемое». Объективным основанием достоверности вывода, полученного с помощью метода неполной индукции, служит повторяемость однородных явлений при отсутствии среди них противоречащего факта. Вероятность получения заключения по индукции через простое перечисление тем выше, чем больше число наблюдений, однако она никогда не равна единице, ибо не исключено, что в бесконечном множестве однородных фактов может встретиться случай, противоречащий заключению, В начальных классах не следует подчеркивать правдоподобный (вероятностный) характер индуктивных выводов. Ведь ошибки быть не может, так как учитель заранее знает, что открываемые учащимся закономерности достоверны (они строго доказаны в науке математике!). Кроме того, от младших школьников воспроизведения таких «доказательств» не требуется. Основные их функции — объяснительная и иллюстративная. Метод аналогии позволяет выдвинуть гипотезу, а потому способствует активизации учебного процесса, эффективному развитию самостоятельного продуктивного мышления учащихся, их математической интуиции. Ее широкое использование в начальном курсе обучения математике объясняется тем, что аналогия является важнейшим источником ассоциаций, а значит, позволяет с наименьшими затратами сил и времени систематизировать математические знания, обеспечивая тем самым их глубокое и прочное усвоение. Поэтому целесообразно, чтобы там, где это возможно, учащиеся самостоятельно приходили к умозаключениям по аналогии. Концентрическое расположение арифметического материала создает для этого объективные условия. Так, метод аналогии может быть использован при знакомстве учащихся на основе ранее изученных приемов для случаев 5. 36, 65 36, 165. 36, 165. 336 (5. (30+6), 65. (30+6), 165 . (30 + 6), 165. (300 + 30 + 6)). Это дает возможность заключить, что умножение на любое многозначное число можно выполнять поразрядно. Однако следует помнить, что умозаключения по аналогии могут приводить к грубым ошибкам (см. 7). При целенаправленном формировании у младших школьников навыков построения правильных рассуждений важную роль играют: образец рассуждения, проводимого учителем; выявление формы этого рассуждения; фиксирование ее в устной речи или письменно; самостоятельное проведение учащимися доказательств по данной форме. Например, обоснование выбора действия для решения задачи: Килограмм капусты стоит 10 к. Сколько стоят 2 кг капусты? З кг? 5 кг? 8 кг? удобно проводить в виде условного предложения. После коллективного решения первой задачи и повторения учителем доказательства предложения Задача решается умножением на доске записывается форма проведенного рассуждения: если 1 кг капусты стоит 10 к., то... Учащиеся отвечают: ‘Если 1 кг капусты стоит 10 к., то З кг капусты стоят З раза по 10 к. Значит, надо 10. 3. Получим 30 к. и т. д. Ответ на вопрос: Во сколько раз 15 больше, чем 5? лучше обосновывать, используя слова так как: ‘15 больше, чем 5, в раза, так как 15:5=Э. Неявно в этом рассуждении в качестве большей посылки выступает утверждение: Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, надо первое из них разделить на второе. Постепенно дети приобретают умение проводить простейшие дедуктивные предматематические доказательства. Это позволяет ознакомить школьников с элементами математического доказательства и тем самым подготовить к успешному их усвоению в средней школе. • Убедительными для младших школьников являются и такие способы предматематического доказательства, как измерение и вычисление. Проверка результатов арифметических действий, решение уравнений и неравенств методом подбора представляют собой примеры доказательств путем вычислений. В математике часто прибегают к таким обоснованиям, однако в начальных классах при этом очень важно соблюдать разумные пределы. Полнее следует использовать возможности для привития учащимся навыков словесного обоснования. Например, доказательство истинности предложений 405—205= — 450—250 и 7. 10-70: 10 возможно только посредством вычислений. Но предложения вида 56. 10 4-56. 14 можно доказать и другим способом — дедуктивным, и ему в этом случае необходимо отдать предпочтение, потому что развивающий эффект при этом будет гораздо выше. Измерение как способ предматематического доказательства применяется для обоснования истинности предложений геометрического характера. Число таких предложений незначительно. В результате измерения противолежащих сторон прямоугольника дети приходят, например, к гипотезе об их равенстве. Активное использование при обучении младших школьников многообразных способов предматематического доказательства позволяет развивать мышление учащихся и обеспечивать преемственность между начальным курсом математики и курсом математики средней школы. 9. ИГРА КАК МЕТОД ОБУЧЕНИЯ Повышение эффективности учебного процесса обусловлено главным образом совершенствование методики обучения, формированием и поддержанием у младших школьников интереса к учебе. Одна из причин потери этого интереса — несовершенство методов и форм обучения, недостаточное стимулирование учебного труда младших школьников. У детей дошкольного и младшего школьного возраста ведущим видом деятельности является игра. Как отмечала Н. К. Крупская, школа отводит слишком мало места игре, сразу навязывая ребенку подход к любой деятельности методами взрослого человека. Переход от игры к серьезным занятиям слишком резок, между свободной игрой и регламентированными занятиями получается ничем не заполненный разрыв. Игра должна оставаться важным компонентом деятельности младших школьников. Наблюдения цоказь1вают, что в учебном процессе игры используются все чаще. Причиной этого следует считать не только более раннее начало обучения, но и поиски путей активизации деятельности учащихся, усиления их самостоятельности. Однако зачастую игры проводятся бессистемно, без учета возрастных особенностей учащихся и сложившейся на уроке ситуации, без постепенного усложнения игровой деятельности. Нередко игры используются лишь для снятия усталости, часто носят развлекательный характер. Такое использование игр снижает познавательную направленность обучения, приводит к подмене серьезного учебного труда пустой занимательностью. По мнению К. д. Ушинского, сделать серьезное занятие для ребенка занимательным — вот задача первоначального обучения Игра должна быть не просто занимательной, а органически сочетаться с серьезным, напряженным трудом, т. е. не отвлекать от учебы, а способствовать интенсификации умственной деятельности. В связи с этим игры, используемые на уроке математики, должны отвечать следующим требованиям: 1) соответствовать целям и теме урока; 2) обеспечивать углубление, расширение и закрепление знаний учащихся, развивать умственные способности и быть в достаточной мере занимательными, интересными; З) соответствовать возрастным особенностям детей, быть доступными, обеспечивая постепенное усложнение операций анализа, синтеза, абстрагирования, обобщения, конкретизации и т. д.; 4) способствовать воспитанию целеустремленности, упорства в достижении цели, коллективизма, взаимовыручки и т. д. Экспериментальные исследования показали, что игровая деятельность должна выступать не только в форме отдельных элементов учебного процесса, но и как метод обучения. Игру нельзя назвать универсальным методом обучения математике детей 6—9 лет, она используется в сочетании с другими методами. Вместе с тем в первом классе этот метод является одним из основных. Существуют различные виды детских игр: творческие, подвижные, дидактические, предметные (манипуляционные), ролевые. Классификация игр носит общий характер, так как каждый тип игры объединяет многообразные и сложные виды игровой деятельности. При обучении через игру применяются игры, близкие по своему характеру к дидактическим. К дидактическим играм обычно относят игры с правилами, игры с упражнениями, дидактическими «игрушками» и материалами, некоторые игры-занятия. дидактические игры включают несколько элементов: учебную задачу, содержание, правило и игровое действие. Основным элементом является обучающая задача, причем задача может просматриваться в содержании игры в более или менее явном виде. Игры, в которых учебная задача просматривается так, что ученик совершенно определенно воспринимает ее именно как задачу, т. е. подходит к ее решению сознательно, называются обучающими. Здесь игровая ситуация, сочетаясь с учебной, является средством повышения умственной активности. Таким образом, обучающие игры составляют подмножество дидактических игр, поэтому они имеют одни и те же структурные элементы. Однако обучающие игры имеют и ряд особенностей. Условие и содержание обучающих игр постепенно усложняются. От ребенка требуется усвоение новых правил и более сложных игровых действий. Такие игры формируют у детей определенные логические структуры, конкретные умственные действия, с помощь которых ученик сможет решать определенные классы математических задач. Разработано и экспериментально проверено 10 серий обучающих логико-математических игр (табл. 1). Таблица 1

Большое значение имеют игры, с помощью которых дети обучаются счету, знакомятся с работой вычислительных машин, с алгоритмами, в том числе разветвленными и циклическими. Вооружить учащихся знаниями и навыками использования современной вычислительной техники, обеспечить широкое применение компьютеров в учебном процессе — требование реформы школы. Подготовка же к этому может и должна начинаться как можно раньше, в начальных классах или даже в дошкольном возрасте, так как речь идет прежде всего о формировании и развитии определенного стиля мышления. Так как алгоритмизация различных видов деятельности является основой автоматизации, т. е. передачи машине функций человека в выполнении определенных действий, то школьник должен получить довольно четкое представление об алгоритме (как некотором общепонятном и однозначно понимаемом правиле или последовательности действий, точное выполнение которых всегда приводит к решению любой задачи из того класса задач, для которого правило составлено) и его основных свойствах (дискретности, определенности, массовости и результативности). Простейшие алгоритмы дети усваивают уже в раннем дошкольном возрасте (например, «красный свет — хода нет, желтый — жди, а зеленый свет иди»), поэтому использование в обучении игр, знакомящих детей с понятием алгоритма, можно начинать уже в первом классе. В игре дети добровольно подчиняются правилам, которые определяют порядок и последовательность игровых действий, т. е. алгоритмизируют деятельность детей в игре. На рис. 3, а изображена простейшая

«вычислительная машина», выполняющая только одно действие

прибавление единицы. Если один из участников игры задает на входе машины какое-нибудь число, например 3, помещая сверху карточку с соответствующей цифрой, то другой участник, выполняющий роль «вычислительной машины», должен положить на выход карточку с результатом, т. е. числом 4. Если он ошибается, карточку забирают. Проигрывает тот, у кого не хватает карточек с цифрами для продолжения игры.

На рис. 3, 6 изображена «машина», последовательно выполняющая действие «прибавление единицы» дважды. Нельзя ли усовершенствовать такую «вычислительную машину», заменив ее другой, выполняющей лишь одно действие? Такая «машина» изображена на рис. 3, в. В процессе игры подтверждается, что если на входы этих двух «вычислительных машин» попадут карточки с одинаковыми числами, то на их выходах окажутся также карточки с одинаковыми числами, т. е. эти «машины» одинаково «преобразуют» числа (так доказывается алгебраическое тождество: (п+1)+1=п+2 для любого п). Аналогично в ходе игры с использованием «машины», изображенной на рис. 3, г, обнаруживается, что последовательное выполнение двух действий — «прибавление числа 2» и «вычитание единицы» равносильно выполнению одного действия — «прибавление единицы». Следовательно, «машины», изображенные на рис. 3, а, г, одинаково «преобразуют» числа: (п + 2) — 1 п + 1 для любого п. Целесообразно также проведение игры с использованием «машины», изображенной на рис. 3, д (можно, разумеется, вместо действий +2и—2взять+Зи—Зили+Iи—1).Проверив для нескольких различных чисел работу этой «машины», дети обнаруживают, что она не меняет исходного числа, т. е. они уже открывают для себя то, что в дальнейшем запишут в виде предложения: (а+2) —2=а для любого а или вообще (а+Ь) —Ь=а для любых а и Ь.

«Машину», изображенную на рис. 3, д, можно заменить «машиной», приведенной на рис. 3, е, моделирующей тождество «а+О=а для любого а».

Изображенные на рис. 3 «машины» представляют простейшие линейные алгоритмы. Эксперименты подтвердили, что дети 5—6 лет легко усваивают и принципы работы «машины», интерпретирующей простейшие разветвленные и циклические алгоритмы.

«Машина», изображенная на рис. 4, а, работает следующим образом: если на вход подается некоторое число а, «машина» прежде

всего проверяет, выполняется ли условие Если оно выполняется, «машина» прибавляет к данному числу 2, если не выполняется вычитает 2. Знак вопроса на выходе нужно заменить полученным результатом. На рис. 4, 6 приведена таблица, характеризующая работу этой «машины» для следующих значений а: 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9.

Можно, разумеется, использовать

«машины» такой же структуры, но

с другими условиями и действиями.

для этой цели на большом листе

бумаги изображается «машина» с

пустыми блоками, на которые навешиваются различные условия (ромбы) и различные действия (прямоугольники) (рис. 5).

На рис. 6, а изображена «машина», представляющая циклический алгоритм: если на вход подается некоторое число а, то «машина»

прибавляет 2 и т. д., пока не получит

ся число, не меньшее 9, т. е. равное или большее 9. Работа этой «машины» для чисел 1 и 2 иллюстрируется рис. 6, б.

В описанных выше играх моделируются различные алгоритмы в виде схем алгоритмов. В следующей серии игр «Вычислительные машины» некоторые алгоритмы моделируются в виде машин Поста, представляющих собой одно из разработанных в математике уточнений интуитивного понятия алгоритма. Машина Поста «работает» по программе, состоящей из конечной последовательности определенного рода команд, предназначенных для решения любой задачи данного типа. Хотя машина Поста чисто теотерическое понятие («теоретическая машина»), программа, определяющая ее работу, является прообразом программы для реальной ЭВМ.

Экспериментально доказано, что школьники первых классов без труда могут осуществлять вычисления с помощью машины Поста по заданной программе, а также составлять простейшие программы, не содержащие команд передачи управления.

Опишем работу машины Поста, осуществляющую прибавление единицы. Память машины представляет собой ленту, разделенную на клетки. Каждая клетка памяти может хранить определенный знак (в качестве такого знака можно использовать красный кружок, вырезанный из картона). Машина в любой момент «смотрит» лишь на одну клетку памяти и может выполнять следующие действия:

а) «передвинуть свое внимание» (осуществить сдвиг) на одну клетку вправо или влево; б) «положить» кружок в обозреваемую (в данный момент) клетку, если она пуста; в) «вынуть» кружок из обозреваемой клетки, если она заполнена. Если машине поступает команда «положить» кружок в уже заполненную клетку или «вынуть» его из пустой клетки, то она «ломается».

На рис. 7, а изображена простейшая программа прибавления единицы, а на рис. 7, 6 показано, как выполняется эта программа, если в начале работы машины в памяти хранятся три кружка, а машина «смотрит» на самую правую заполненную клетку (обозначена стрелкой). По команде 1 машина «передвигает свое внимание» на одну клетку вправо и переходит к выполнению команды 2 (в конце этой команды указан номер команды, к выполнению кото

рой должна переходить машина). По команде 2 машина «кладет» кружок в пустую клетку, на которую она «смотрит», и переходит к выполнению команды З («стоп»).

Если эту программу применить к начальному состоянию, изображенному на рисунке 7, в, то машина «сломается», так как командой 2 ей предписано положить кружок в заполненную клетку. Значит, для случая, когда машина «смотрит» вначале на самую правую заполненную клетку, эта программа не годится, нужна более совершенная программа прибавления единицы. Такая программа изображена на рис. 8, а. Работа этой машины иллюстрируется рис. 8, 6. По команде 1 машина совершает сдвиг вправо на одну клетку и пере

ходит к выполнению команды 2. Команда 2 выполняется по-разному в зависимости от того, «смотрит» машина в данный момент на пустую или заполненную клетку. В нашем случае машина «смотрит на заполненную клетку, поэтому команда задается машине нижней стрелкой, на которой нарисована заполненная клетка. Эта стрелка указывает на то, что нужно возвратиться (еще раз выполнить к команде 1. По этой команде машина еще раз «сдвигается» вправ на одну клетку и переходит к выполнению команды 2. Коман может быть выполнена по-разному в зависимости от того, «смотри ли машина на пустую или заполненную клетку. В данном случае клетка пустая, поэтому машина переходит к выполнению команд

З. По команде З машина «кладет» в пустую клетку, на которую он «смотрит», кружок, переходит к команде 4 и останавливается.

Дети с увлечением имитируют работу машины при различных начальных состояниях. Затем с помощью карточек с цифрами и знаками «+» и «—» показывают, какое действие выполнила машина (рис. 8, в). Повторяя эту игру для различных исходных чисел (кружков в памяти машины), школьники получают таблицу прибавления единицы: 1+1=2; 2+1=3; 3+1=4;...; 9+1=10.

Нетрудно заметить, что последняя программа определенным образом записанный циклический алгоритм, который можно задать и с помощью схемы алгоритма (рис. 9).

Можно использовать также аналогичные игры с простейшими программами вычитания 1, прибавления 2 и др. Применение игр типа «Вычислительные ма шины» способствует формированию некоторых умений, характеризующих операционный стиль мышления. Знакомству с современной вычислительной техникой, отработке навыков счета, тренировке внимательности, аккуратности, умению контролировать свои действия способствуют игры с использованием счетно-проверочной машины (СПМ).

Счетно-проверочная машина—это удобный «компьютер» для младших школьников, который входит в комплект игры «Веселый счет». СПМ можно использовать для проверки правильности арифметических действий с числами, которые содержат не более восьми цифр в целой части и не более четырех — в дробной. Для того чтобы проверить, правильно ли вычислено значение выражения ((243—89) .312+145б):2О8238, на табло следует нажать клавиши:

243—89.312+1456:208=238?

При нажатии клавиши «?» загорается красный или зеленый «глазок». Если загорается зеленый, то все сделано правильно, если же красный,— где-то допущена ошибка.

Ученики 1—У классов с большим интересом играют с <Веселым четом» на внеклассных занятиях, в группе продленного дня. Известно, что в 1 классе на уроке предусматриваются паузы для физической разрядки, переключения детей с одного вида деятельности на другой. Такую паузу можно заполнить иногда игрой «Эстафета» с использованием СПМ. Для этого необходимо заранее подготовить наборы карточек с заданиями (например, на сложение и вычитание в пределах 10). Классе делится на команды по 5—7 человек. Участники получают карточки с заданиями (примерами). Команды выстраиваются за своими капитанами между рядами парт. Игру начинают капитаны. Они устно решают примеры, подбегают к СПМ и проверяют результаты. Зеленый свет — сигнал разрешения передачи эстафеты следующему члену команды. Побеждает команда, которая первой закончит эстафету.

Игра «Биатлон» похожа на игру «Эстафета». На доске вывешивается схема алгоритма (рис. 10). Она интерпретируется как трасса гонки. Правильный результат истолковывается как мелкий выстрел, неправильный — как промах. Игрок, допустивший промах, направляется на штрафной круг, т. е. исправляет ошибку. Если игрок сделал меткий выстрел, то он либо передает эстафету (карточку с заданием) следующему члену команды, либо финиширует.

Использование СПМ на уроках и внеклассных занятиях положительно влияет на скорость и точность устных вычислений, общая продуктивность учебной деятельности заметно повышается. При от

сутствии СИМ в качестве проверяющего устройства можно использовать любой арифметический микрокалькулятор. Систематическое применение обучающих игр приводит к тому что игровые интересы стимулируют познавательные, которые впоследствии становятся ведущими в учебной деятельности ребенка. Игра должна помочь сделать серьезный, напряженный труд занимательным и интересным для учащихся.

Вопросы и задания для самостоятельной работы

1. Раскройте содержание понятия предматематика>. Объясните, почему пред- математика является предметом изучения в начальной школе. К4

К*9 14. Почему игра является необходимым компонентом системы начального обучения математике? 15. Каким условиям должен удовлетворять метод обучения математике через игру? 16. Назовите структурные элементы дидактической игры. Какими особенностями обладают обучающие игры? 17. Приведите примеры обучающих игр. Кратко раскройте содержание обучающих игр, используя <Практикум по методике начального обучения математике (Мн.: Выш. шк., 1984). 18. Опишите содержание обучающих игр, формирующих у учащихся представления об алгоритмах, простейших моделях вычислительных машин. 19. Расскажите о возможностях использования в младших классах счетнопроверочных машин.

2. Сформулируйте основные цели начального обучения математике. Конкретизируйте их исходя из содержания программы по математике для ‚—‚У классов. К5 3. В начальных классах закладывается основа для изучения математики в средних и старших классах. Каким общим требованиям в связи с этим должен удовлетворять начальный курс математики? 4. Обоснуйте необходимость концентрического изучения арифметического материала в начальной школе. Дайте краткую характеристику каждого концентра. 5. Элементы геометрии и алгебры изучаются в i—Хi классах. В чем особенность их изучения в начальной школе? К6 6. Какой смысл вкладывают в понятие <дидактической принцип? Приведите пример системы дидактических принципов, В чем состоит специфика реализации каждого из этих принципов в обучении математике младших школьников? К7 7. Что понимают под методами обучения? В чем состоит различие между общими и специальными методами обучения математике? 8. Какие эмпирические методы изучения учебного материала Вам известны? Приведите примеры использования этих методов при изучении арифметического, геометрического, алгебраического материала и величин. 9. Что представляют собой сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация, абстрагирование как специфические методы обучения математике? Приведите примеры комбинированного использования этих методов. 10. В чем сущность индукции и дедукции как методов обучения математике? Какие виды индукции Вам известны? При изучении какого учебного материала их использование целесообразно? К*8 11. Раскройте содержание понятия предматематическое доказательство. В чем состоит сходство и различие между предматематическими доказательствами и доказательствами, используемыми в математике? Проиллюстрируйте свой ответ примерами. 12. Какие способы предматематического доказательства Вам известны? Охарактеризуйте их, проиллюстрируйте примерами. 13. Раскройте общую идею методики обучения учащихся предматематическим доказательствам. III. ОРГАНИЗАЦИЯ И СРЕДСТВА НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 10. УРОК КАК ОСНОВНАЯ ФОРМА ОРГАIIIЗАЦИИ ОБУЧЕ*1Я МА1МАТИКЕ Основной формой организации обучения в советской школе является урок. В педагогике определены общие требования к уроку: : 1) воспитательные цели и цели обучения выступают в единстве; 2) использование методов обучения должно обеспечивать максимальную активность учебной деятельности учащихся; З) на уроке должна предусматриваться самостоятельная работа учащихся; 4) урок должен представлять собой единое целое: все его элементы должны быть подчинены цели обучения, которая ставится перед данным уроком. Урок математики должен удовлетворять некоторым специфическим требованиям, которые вытекают из особенностей предмета изучения математики. Рассмотрим особенности структуры урока математики в начальных классах. Уроки математики в средней школе подразделяются на следующие основные типы: уроки ознакомления с новым учебным материалом, уроки закрепления изученного, уроки проверки знаний, умений и навыков. для обоснования структурных особенностей урока в начальных классах будем исходить из следующих особенностей психологии детей младшего школьного возраста: 1) восприятие у младших школьников тесно связано с и практической деятельностью; 2) внимание детей характеризуется неустойчивостью, произвольное внимание у них развито слабо; З) основным стимулятором внимания является так называемая близкая мотивация: получить оценку за свою работу, причем сразу после ее окончания; 4) необходимо побуждать учащихся управлять своей памятью, ярко мотивировать необходимость запоминания той или иной информации, организовывать систематическое повторение. Младшим школьникам не под силу в течение всего урока осуществлять однообразную деятельность — будь то усвоение нового материала, выполнение заданий на закрепление или самостоятельная работа над контрольным заданием. Поэтому основным типом урока математики в начальной школе является комбинированный урок. Такой урок сочетает усвоение нового, закрепление (повторение) ранее изученного, самостоятельное выполнение заданий. Объем каждого вида работы в рамках комбинированного урока определяется многими причинами: возрастом учащихся, целями урока и даже временем проведения урока (начало или конец рабочего дня, недели). Например, в начале учебы в 1 классе учащихся еще только надо учить; слушать объяснения учителя, выполнять требования учителя, работать по образцу, работать самостоятельно.

Учебный материал вводится небольшими порциями на протяжении всего урока, поэтому структура урока представляет собой последовательность циклов: объяснение учителя — работа учащихся по образцу самостоятельная работа учащихся; объяснение учителя — работа учащихся по образцу и т. д. Позже, когда у учащихся сформируются навыки самостоятельной работы, урок будет иметь большую структурную целостность. Основными его элементами будут: изучение новой темы, работа над материалом, изученным на предыдущих уроках, самостоятельная работа над усвоенным на данном уроке материалом. В зависимости от целей урока одному из этих видов работы может отводиться больше времени, чем другим. Распределение времени зависит и от особенностей класса: в сильном классе на закрепление может быть отведено меньше времени, в классе, где много слабых учеников, объяснению нового материала должно отводиться больше времени и т. д. Остановимся более подробно на структурных элементах урока. Как уже говорилось, для младших школьников характерно неустойчивое внимание. Естественно поэтому начать урок математики с устного опроса. Его содержание, методика проведения должны позволить учителю опросить максимально большое количество учащихся. С другой стороны, центральное место в программе по математике занимает арифметический материал: понятие числа и арифметические операции над числами. Поэтому в начале урока учащиеся должны выполнять разнообразные по форме упражнения на устный счет. Следующий этап урока — изучение нового материала. Здесь важно предусмотреть практическую работу учащихся, так как именно таким образом можно активизировать восприятие учащихся (особенно в 1 классе). Важное значение практическая работа по усвоению новых знаний и умений имеет для слабоуспевающих учащихся. У них, как правило, наглядно-образное мышление превалирует над словесно-логическим еще в большей степени, чем у их одноклассников. Если практическая работа на этом этапе урока невозможна (требует, например, неоправданно больших затрат времени, связана с трудностями при подготовке учителя к уроку), необходимо предусмотреть использование наглядных средств. Учащиеся начальных классов не способны самостоятельно систематически повторять пройденный материал, поэтому повторение необходимый элемент каждого урока математики. На этом этапе урока характер деятельности учащихся меняется. Они работают более самостоятельно. Учитель обеспечивает учеников средствами самоконтроля, дифференцирует задания по сложности, работает с учащимися индивидуально. Смена характера деятельности на уроке благотворно влияет на трудоспособность учащихся. Важным структурным элементом урока является самостоятельная работа по изученному на данном уроке материалу. При этом, во-первых, учитель может объективно оценить, насколько успешно был объяснен новый материал, во-вторых, происходит повторение и за крепление новой темы. Более того, если такие самостоятельные работы станут правилом, то они явятся действенным стимулом для активного усвоения учащимися нового материала. В заключение урока ученикам сообщается задание на дом. Учитель должен подробно объяснить, как выполнять упражнения. Задаются, как правило, упражнения, аналогичные тем, которые выполнялись в классе. Итак, урок математики в начальных классах имеет, как правило, следующую структуру*: 1) организационный момент (проверяется готовность учащихся к уроку: наличие у них письменных принадлежностей, тетрадей, дневников, учебников, необходимых дидактических материалов; выясняется, кто не выполнил домашнее задание); 2) проверка домашнего задания; 3) устный счет; 4) работа над новым материалом; 5) закрепление изученного на предыдущих уроках; 6) самостоятельная работа по новой теме; 7) итоги урока (объявление оценок с соответствующими комментариями, если они не выставлялись по ходу урока; задание на дом). Очевидно, что спланировать, сколько времени будет затрачено на тот или иной этап урока, невозможно. Тем не менее важно, готовясь к уроку, хотя бы приблизительно оценить продолжительность каждого этапа исходя из того, насколько сложен новый материал, насколько важны закрепляемые на уроке знания и умения. Построение плана урока в соответствии с возрастными особенностями учащихся важная проблема, которую приходится решать учителю. Не менее важным является планирование учебного материала. Планирование учебного материала по математике осуществляется на трех уровнях: годовое, тематическое и поурочное. Годовое и тематическое планирование предусмотрено программой по математике, В программе указано, какие темы начального курса математики изучаются в рамках каждого класса; содержание тем раскрывается через систему знаний, умений и навыков, которыми должны овладеть учащиеся; определено время, отводимое на изучение каждой темы. Годовое и тематическое планирование является обязательным: содержание учебных тем должно быть усвоено учащимися в определенные программой годы обучения и в предусмотренном объеме. Примерное поурочное планирование предлагается в пособиях для учителей, журнале Начальная школа», В пособиях для учителей дается распределение учебного материала по четвертям и урокам, указано время, отводимое на изучение отдельнх подтем, определено место уроков закрепления и повторения, уроков контроля. Одначо главная роль в поурочном планировании принадлежит, конечно, учителю. Только он может отобрать материал для

* другие варианты структуры возможны за счет иного порядка этапов урока

урока, оптимально учитывая свои возможности и особенности класса. При этом учитель не должен ограничиваться упражнениями и задачами, помещенными в учебнике. Важным элементом планирования урока является определение его цели, При этом, как правило, формулируются четыре цели: дидактическая, воспитательная, развивающая и практическая. Из курса педагогики (теории воспитания) известно, что воспитание в процессе обучения должно осуществляться систематически, в активной деятельности учащихся, в коллективе. Урок занимает важное место в системе воспитательной работы с учащимися. Кроме того, воспитание — целенаправленный процесс, а потому учителем заранее должны быть предусмотрены основные воспитательные зад2Iчи, которые будут решаться на конкретном уроке. Уже говорилось о воспитательных возможностях обучения математике. Остановимся на двух аспектах этой проблемы: формировании у учащихся основ научного мировоззрения и трудолюбия. Важнейшим направлением формирования у учащихся материалистического мировоззрения при обучении математике является убеждение их в том, что математические понятия и отношения уходят своими корнями в окружающую действительность, основываются на результатах практической деятельности человека. Каждый урок математики в начальных классах предоставляет для этого широкие возможности. Использовать их обязанность учителя. Так, во II классе, если следовать учебнику, знакомство Учащихся с выражениями со скобками планируется следующим образом: ученикам предлагается рассмотреть выражение 10— (2+5); сообщается правило, по которому читается это выражение: «из 10 вычитается сумма чисел 2 и 5»; учащиеся находят значения целого ряда аналогичных выражений — сначала читая выражение, а затем в определенном порядке выполняя действия. Такой план изучения данной темы не может удовлетворить учителя, который поставил задачу воспитания мировоззрения учащихся. Для ее решения необходимо показать, что порядок выполнения действий определяется свойствами реальных явлений. Поэтому план изучения нового материала, предлагаемый учебником, изменяется. Сначала рассматриваются текстовые содержательные задачи, по ним составляются числовые выражения. Анализ этих выражений и условий задач показывает, что действия в выражениях выполняются не всегда в том порядке, в котором они записаны. В качестве исходных могут быть, например, рассмотрены следующие задачи. Из гаража, в котором находилось 10 автомашин, выехали 2 легковые и 5 грузовиков. Сколько автомашин осталось в гараже? В гараже находилось 10 автомашин, 2 легковые автомашины выехали из гаража, а 5 грузовых приехали в гараж. Сколько автомашин стало в гараже? В первой задаче можно сразу узнать, сколько всего машин выехало из гаража: 2+5, а затем из 10 вычесть сумму 2+5. так появляется выражение 1О—2+5, в котором сначала необходимо найти сумму. Во второй задаче сначала определяют, сколько машин осталось в гаже после выезда легковых автомобилей: 10—2, а затем — сколько машин стало после приезда 5 грузовиков: 10—2+5.

Несмотря на сходство задач, выражения к ним различны. Разница заключается в порядке выполнения действий. Для того чтобы это было видно, вводятся скобки. Основной вид труда школьников учебный, по преимуществу интеллектуальный труд. Особенность обучения младших школьников математике состоит в том, что учащиеся не только усваивают учебный материал, но и целенаправленно обучаются основным видам учебной деятельности: работе с учебником, работе в тетради, с дидактическими материалами, у доски, с чертежными инструментами и т. д. Учащиеся приобретают опыт групповой и самостояльной работы на уроке. Рассмотрим пример целенаправленного решения задач трудового воспитания на уроке математики в 1 классе. При изучении нумерации чисел первого десятка на уроках интенсивно используется наборное полотно с разрезным счетным материалом. Учитывая это, для целого ряда уроков учитель должен планировать следующую воспитательную цель: формировать у учащихся навыки самостоятельной работы с наборным полотном. Достижение этой цели может осуществляться, например, по такому плану: сначала дети учатся отбирать счетный материал для предстоящей работы (выбираются однородные объекты — изображения фруктов, овощей, птиц или одинаковые по размеру и цвету геометрические фигуры), затем заполнять кармашки наборного полотна и, наконец, правильно показывать учителю результаты своей работы. В дальнейшем при планировании уроков знакомства учащихся с каждым новым числом учитель должен предусмотреть время для проверки умений учащихся работать с наборным полотном. Очевидно, что осознанное определение учителем воспитательных целей каждого урока положительно влияет как на структуру, так и на содержание урока. Качество урока еще в большей степени зависит от правильности определения учителем дидактических целей урока. Дидактические цели должны предусматривать выполнение требований программы в посильном для учащихся объеме. Они должны определить, какие конкретно методические задачи решаются на данном уроке, чем он отличается от других уроков по данной теме. 11. ВНЕУРОЧНАЯ РАБОТА С УЧАЩИМИСЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Внеурочная работа, направленная на ликвидацию пробелов в знаниях учащихся. Неудовлетворительное усвоение учащимися программного материала может объясняться различными причинами: пропусками уроков по болезни, индивидуальными особенностями восприятия и запоминания учебного материала. Внеурочная работа с такими учащимися может иметь различные формы. Однако при этом учитель должен исходить из следующих соображений. Внеурочные занятия с отстающими дополнительная нагрузка на учащихся, которые, как правило, слабо успевают именно потому, что отстают от сверстников физическом развитии. Поэтому заниматься с такими школьниками дополнительно следует только в случае

крайней необходимости: если имеющиеся пробелы по какой- либо теме не дадут им возможности усвоить в дальнейшем важный программный материал (приемы устных и письменных вычислений, основные типы текстовых содержательных задач). Например, ученик, не усвоивший прием вычитания однозначного числа из круглого двузначного (30—6), не сможет в дальнейшем понять сущность приемов вычитания для случаев: 30—16,32—6,32—16 и т. д. Внеурочные занятия должны быть индивидуальными. (Конечно, за исключением тех случаев, когда одна и та же тема не усвоена несколькими учащимися.) Методика объяснения и закрепления учебного материала не отличается в целом от методики работы над этим материалом на уроке. В индивидуальной беседе учитель выясняет характер затруднений, которые испытывает ученик при изучений данного материала, что дает ему возможность скорректировать методику индивидуального обучения. Понятно, что учитель не в состоянии учесть все индивидуальные особенности ученика. Достаточно, если методика будет отражать наиболее важные характеристики мышления школьника. 1. Возможно, что у данного ученика конкретно-образное мышление развито больше, чем у его одноклассников. Как следствие, он в большей степени нуждается в наглядном представлении учебного материала. Например, если для класса в целом достаточно проиллюстрировать вычислительный прием на одном-двух примерах, то для отстающего — на трех, четырех и более примерах. 2. Темп усвоенйя нового материала у данного ученика может • быть ниже, чем в целом у класса. Поэтому учитель на дополнительном занятии еще раз объясняет ученику учебный материал в доступ- • ном для него темпе. З. Причина слабого усвоения новой темы некоторыми учащимися может заключатГься в том, что в силу индивидуальных особенностей им необходимо выполнить большее число тренировочных упражнений, чем большинству учащихся класса. Естественно, что на дополнительных занятиях учитель должен предоставить таким ученикам эту возможность. Эффективность работы может быть повышена за счет использования карточек с математическими заданиями. Знание учителем индивидуальных особенностей слабоуспевающих учащихся позволяет эффективно проводить внеурочные занятия, цель которых — предварительная подготовка этих учеников к изучению наиболее важных и сложных тем программ. Занятие такого рода может быть проведено, например, перед изучением приема устного умножения двузначного числа на однозначное. На этом занятии учитель вспоминает с учащимися правило умножения суммы на число, способы вычисления произведений (а+Ь). с, где а, Ь, с — однозначные числа, проверяет, насколько хорошо усвоен учащимися разрядный состав двузначных чисел. В результате слабоуспевающие учащиеся активно работают на уроке. Внеурочную работу с учащимися полезно дополнять индивидуальными домашними заданиями. При этом учитель по возможности должен опираться на помощь родителей. Внеклассная работа, направленная на углубление знаний учащихся по математике. Одной из форм систематической внеурочной работы такого рода является математический кружок. Программа работы математического кружка может иметь разную направленность. Так, она может быть непосредственно связана с учебным материалом. На занятиях кружка рассматриваются: а) упражнения и задачи, аналогичные тем, которые выполнялись на уроках, но более сложные; б) полезные, но не изучавшиеся на уроках, частные приемы устного или письменного выполнения арифметических операций; в) вопросы, несколько выходящие за рамки учебной программы. Рассмотрим несколько примеров: а) при знакомстве с умножением учащиеся на уроках выполняют, в частности, упражнения такого вида: Замени сумму произведением: 2+2+2, 17+17+ + 17+ 17, 6+6+6+6+6» и т. д. Н занятиях кружка школьникам могут быть предложены задания повышенной сложности: «Замени сумму произведением: 2 + 5 + +2+ 2+5+ 5, 3 +2+3 +5+2 +5» и т. д. После того как на уроках учащиеся ознакомились с решением задач на нахождение цены, стоимости, скорости, расстояния, на занятиях кружка могут быть рассмотрены необычные задачи типа: За одинаковые карандаши было заплачено 69 к. Сколько карандашей было куплено, если известно, что цена карандаша была меньше 10 к.?»; У мальчика были пятикопеечные и трехкопеечные монеты, всего 14 монет. Когда он посчитал свои деньги, то оказалось, что у него 57 к. Не ошибся ли мальчик в подсчетах?»; Между городами А и В расстояние 56 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста: один со скоростью 18, а другой 20 км в час. Из А вместе с велосипедистом в направлении В вылетел голубь со скоростью 70 км в час. Он летел до встречи со вторым велосипедистом, а затем полетел к первому велосипедисту и так до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Какое расстояние пролетел голубь?»; б) на занятиях кружка могут быть рассмотрены, например, приемы устного выполнения арифметических операций, основанные на округлении одного или двух компонентов. В частности, если к 498 прибавляется 247, то первое слагаемое округляется до 500 и к 500 прибавляется 247. Полученная сумма уменьшается на 2; в) в начальных классах изучается решение задач на прямую пропорциональность. Учащиеся могут решить, например, такую задачу: Чтобы проехать 240 км со скоростью 80 км в час, автомобиль затрачивает столько же времени, сколько самолет на преодоление 2100 км. Определить скорость самолета». На занятии может быть рассмотрена обратная пропорциональность, и в частности такая задача: хЗа какое время пешеход, идущий со скоростью 5 км в час, преодолеет такое же расстояние, что и автомобиль, двигающийся со скоростью 80 км в час, за З ч?». На занятиях можно решать задачи, которые непосредственно не связаны с программой, но способствуют развитию мышления учащихся, возбуждают у них интерес к математике. Это так называемые занимательные задачи. Например: Имеется 27 изделий из чугуна одинаковой формы. Одно из них пористое. Как найти это изделие не более чем тремя взвешиваниями на рычажных весах? Есть 4 чемодана и 4 ключа к ним. Ключи перемешались. Сколько испытаний нужно сделать, чтобы наверняка подобрать ключ к . замку каждого чемодана? В школе 673 ученика. Можно ли утверждать, что хотя бы один из них родился 7 ноября? Что хотя бы двое из них родились в один и тот же день? Занимательные задачи могут быть и нематематического характера: Оля — сестра Тани, Ваня - брат Оли, Иван Петрович дедушка Тани. Отца Оли зовут Михаилом. Определить имя и отчество отца Тани и отчество Ванн. Можно ли расставить в прямоугольной комнате 10 стульев так, чтобы возле каждой стены стояло одинаковое количество стульев? 58