pervajalekcijafizikamatemdljalechfaka

5. Обратные тригонометрические функции

число Т, при прибавлении или вычитании которого от аргумента значение функции не меняется, т.е. f (x T ) f (x) , f (x T ) f (x) . Наименьшее такое число Т называется периодом функции.

Функция называется возрастающей на интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции, то есть при ∆Х>0

приращением функции и находится как разность у f (х) f (х0 ) f (x0 x) f (x0 ) .

Функция называется убывающей на интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции, то есть при ∆Х>0 приращение функции ∆У<0.

Предел функции.

Говорят, что функция у=f(x) имеет предел А при х→а, если при приближении х к а значение

Вычисление пределов.

Для вычисления пределов используют основные теоремы и правило Лопиталя (при возникновении «неопределенности» вида 0/0 или ∞∕∞), согласно которому предел частного двух функций равен пределу отношений производных этих функций:

этого правила снова возникает неопределенность, то его применяют вторично.

Решение: При подстановке х=0 получаем неопределенность 0/0. Тогда по правилу

Непрерывность функции.

Большинство функций, изучаемых в математическом анализе, являются непрерывными, то есть при небольших изменениях аргумента х функция у меняется также мало, и график такой функции является непрерывной кривой. Однако, у некоторых функций при определенных значениях х непрерывность может нарушаться и график прерываться, тогда говорят, что функция в данных точках имеет разрыв. Значения аргумента, при которых происходит разрыв функции, называются точками разрыва.

Функция y=f(x) непрерывна в точке x0, если в этой точке у нее существует предел

lim f (x) f (x0 ) .

x x0

Функция у=f(x) называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Сложная функция.

функции f содержит множество значений функции g. В этом случае функция z f (g(x)) называется сложной функцией, составленной из функций g и f.

5

Подобным образом можно рассматривать сложные функции, составленные из более чем двух функций.

ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ.

Понятие функции двух переменных

Функция не всегда зависит от одной переменной. Например, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от длины его трех взаимно перпендикулярных ребер ( V x y z ), то есть является функцией трех переменных, а площадь прямоугольного треугольника

переменных.

Если каждой упорядоченной паре чисел (х, у), таких, что х принадлежит множеству Х, а у – множеству У, по определенному правилу поставлено в соответствие одно или несколько чисел z, где z принадлежит множеству Z, то говорят, что задана функция двух независимых переменных z=f(x,y).

При этом число z называют значением функции f в точке (х,у), переменные х и у –

независимыми аргументами функции, множество (х, у) - областью определения

Выражение, стоящее справа, теряет смысл при тех значениях х и у, при которых знаменатель обращается в нуль. Отсюда областью определения функции является вся плоскость, из которой выброшена прямая у=2х.

Функция двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется множеством точек (х,у,z), где z является зависимой переменной и находится по формуле z=f(x,y).

Пример:

z x2 y 2 - эллиптический параболоид (см. рисунок),

z x 4y 8 - плоскость,

6

Таким образом, сама формула, задающая функцию, и есть уравнение поверхности.

Так как построение графиков функции нескольких переменных в большинстве случаев представляет значительные трудности, то основным способом задания функции нескольких аргументов является аналитический способ.

Частное и полное приращение функции двух переменных.

приращение, которое получает эта функция, если оба ее аргумента получают приращения:

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Необходимым

условием дифференцируемости функции является ее непрерывность.

7

Находить производную функции, используя ее определение, слишком сложно, поэтому были разработаны формулы и правила дифференцирования.

Формулы дифференцирования

Правила дифференцирования

1.Производная алгебраической суммы (или разности) дифференцируемых функций равна алгебраической сумме (или разности) производных этих функций:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

3.Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую:

4.Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой равен разности произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, а знаменатель равен квадрату знаменателя исходной дроби:

5.Производная сложной функции. Если функция u= (x) имеет производную в точке xo , а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке uо= (xo), то сложная функция у=f [ (x)] дифференцируема в точке xo и справедлива следующая формула:

y (x0 ) f (u0 ) (x0 ) .

Таким образом, при нахождении производной сложной функции необходимо ввести промежуточный аргумент u= (x), позволяющий свести данную функцию к виду основных элементарных функций у= f [ (x)]=f(u), взять производную этой функции, а затем умножить ее на производную от промежуточного аргумента u.

Пример: Найти производную функции y=3x 2 +ln(x)+4

Решение: y (3x2 ln x 4) 3(x2 ) 1x 0 6x 1x

8

Сложную функцию y sin(3x2 1) представили как y sin , где (3x2 1) . Тем самым мы привели ее к виду основных элементарных функций. По формуле производной

Физический и геометрический смысл производной.

Физический смысл производной - скорость протекания процесса в данной точке или мгновенная скорость изменения функции в данной точке.

Пример: Развитие патологического процесса со временем описывается уравнением

тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в этой точке х0 , и осью абсцисс.

Отсюда следует важный практический вывод: чтобы найти мгновенную скорость изменения одной величины при изменении другой при заданном значении аргумента, достаточно найти тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции при данном значении ее аргумента.

Физический смысл второй производной – ускорение процесса в данной точке.

ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ.

Понятие частной производной функции

Частной производной функции z=f(x,у) по аргументу х в точке (х0,у0) называется предел отношения частного приращения х z функции к соответствующему приращению

Частной производной функции z=f(x,у) по аргументу у в точке (х0,у0) называется

Частная производная функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов характеризует скорость изменения данной функции при изменении этого аргумента.

Вычисление частных производных функции

Частные производные функции нескольких переменных находят, используя те же правила и формулы, что и для нахождения производных функции одной переменной, однако при нахождении частной производной функции нескольких переменных по какому-либо аргументу все остальные аргументы этой функции считают постоянными величинами.

Пример: Найти частные производные функции z xy

10