Методы и средства передачи информации (Лекция №7)
.pdfМетоды и средства передачи информации
Лекционный курс
Лекция № 7
Содержание
1.Понятие о переходных процессах в длинной линии
2.Сведения о методах расчета и оценки волн в длинной линии
3.Влияние переходных процессов на процесс передачи информации
1.Понятие о переходных процессах в длинной линии
Переходные процессы в длинных линиях результат изменения конфигурации цепи, т.е. коммутации каких-то элементов цепи, или изменении вида воздействующей функции, в том числе и возникновение воздействия в результате паразитных связей с соседними линиями или процессами, как искусственного (например, коммутации мощного оборудования), так и естественного (например, молниевые импульсы).
Вид переходных процессов в цепях с распределенными параметрами проявляется в результате решения дифференциальных уравнений длинной линии. Ограничимся анализом процессов в однородной длинной линии.
Система дифференциальных уравнений для однородной линии (см. лекцию №3, п. 2) имеет вид:
− |
∂u |
= r0 i + L 0 |
∂i |
; |
|
(7.1) |
|||
∂x |
|
|
|||||||
|
|
|
∂t |
|
|||||
− |
|
∂i |
|
= g 0 u +C 0 |
|
∂u |
, |
(7.2) |
|
|
∂x |
|
|||||||
|
|
|
|
∂t |
|
где r0, g0, L0, C0 − первичные параметры единицы длины линии, а х − координата выбранной точки, отсчитываемая от начала линии (от генератора).
Ограничим рассмотрение случаем линии без потерь, тогда эти уравнения
примут вид: |
− |
∂u |
= L 0 |
∂i |
и |
− |
∂i |
= C 0 |
∂u |
(7.3) |
|
∂x |
∂t |
∂x |
∂t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Общий вид решений этих уравнений для однородной линии (т.е. при L0, C0, не зависящих от х) записывается (что можно проверить прямой подстановкой выражений в уравнения (7.3)) так:
u = f 1 ( x − vt ) + f 2 ( x + vt ) =u пр + u обр ; |
(7.4) |
||
i = |
L 0 [ f 1 |
( x − vt ) − f 2 ( x + vt ) ]=i пр −i обр , |
(7.5) |
|
C 0 |
|
|
где v = 1/ L 0 C 0 |
− называется скоростью волны или волновой скоростью и |
||
численно равна фазовой скорости. |
|
||
Функции f 1 ( x ) и |
f 2 ( x ) − распределения вдоль линии |
соответственно |
прямой и обратной волн напряжения u пр и u обр в момент времени t = 0. Напря-
жение и ток волны связаны между собой законом Ома для волн через волновое
сопротивление Z B = |
L 0 |
(заметим, что название этого коэффициента пропор- |
|
C 0 |
|
циональности в формуле (7.5), по размерности равного Ом, происходит именно из свойства − «закон Ома для волны»).
Рассмотрим как зависят от времени t координаты х составляющие напряже-
ния u пр и u обр .
Допустим, что в некоторый момент времени t =t 1 распределение напряжения u пр вдоль линии представлено функцией
|
|
u пр ( t 1 ) = f 1 ( x − vt 1 ) |
(7.6) |
и имеет вид, показанный на рис. 7.1, а. Тогда в момент времени t =t 1 |
+ ∆t рас- |
||
пределение напряжения u пр вдоль линии можно записать: |
|
||
|
u пр ( t 1 + ∆t ) = f 1 ( x − vt 1 − v∆t ) = f 1 ( x − vt 1 − ∆x ) = f 1 ( x − ∆x − vt 1 ) , |
||
где ∆x = v∆t . |
|
||
|
Из этого выражения видно, что кривая u пр ( t 1 +∆t ) повторяет кривую |
||
u пр |
( t 1 |
) , смещенную относительно себя влево, т.е. по отношению к кривой |
|
u пр |
( t 1 |
) кривая u пр ( t 1 +∆t ) смещена вправо на расстояние ∆x = v∆t , т.е. уве- |
личение времени t приводит к перемещению кривой u пр ( t ) в направлении воз-
2
растания х. Иными словами, u пр ( t ) выражает напряжение волны, движущейся
в направлении возрастания координаты х, т.е. прямой волны.
Рисунок 7.1− Зависимости от времени волн напряжения
Точка линии с координатой хФ , для которой справедливо условие, что u пр= 0 при х > хФ и u пр≠ 0 при х < хФ − называется фронтом прямой волны.
Фронт прямой волны движется в сторону возрастания координаты х со скоростью v.
Если в точке х1 , совпадающей в момент времени t1 c положением хФ фронта волны, установит прибор, записывающий мгновенные значения напряжения, то он запишет кривую 1 на рис. 7.1, б. Эта кривая представляет собой зеркальное изображение кривой u пр ( x ) при соответствующем изменении масштаба (коэф-
фициент пропорциональности − v) вдоль оси абсцисс. Прибор, установленный в точке х2 (рис. 7.1, а) запишет аналогичную кривую 2 (рис. 7.1, б), которая однако, смещена в сторону возрастания времени на величину
x 2 v− x 1 = l 12v ,
3
где l 12 − расстояние между точками х1 и х2.
При анализе изменения напряжения волны в зависимости от времени, це-
лесообразно выражению (7.6) придать вид: |
|
|
|||
uпр(x,t) =ϕ1 |
(t − |
x |
) . |
|
(7.7) |
|
|
||||
|
|
v |
|
|
|
В точке с координатой |
x + ∆x напряжение |
волны |
описывается той же |
||
функцией ϕ1 , но с запаздыванием во времени на величину |
∆x . |
||||
|
|
|
|
|
v |
Аналогично, составляющая напряжения u обр |
представляет собой напряже- |
||||
ние волны, движущейся в сторону убывания координаты |
х, т.е. обратной вол- |
ны: |
|
|
|
|
uобр = f2 (x + vt) =ϕ2 |
(t + |
x |
) . |
(7.8) |
|
||||
|
|
v |
|
Координата фронта обратной волны характеризуется условием u обр = 0 при
х < хФ и u пр≠ 0 при х > хФ. Фронт обратной волны движется в сторону убывания координаты х со скоростью v.
Типичные значения скорости распространения волн в двухпроводных линиях связи близка к скорости света в воздушной среде (т.е. примерно 300000 км ⁄ c), а в коаксиальных линиях с относительной проницаемостью εr диэлек-
трического заполнения – меньше скорости света в вакууме в εr раз.
Если известны зависимости u пр( t ) и u обр ( t ) в какой-либо точке линии и волновая скорость v, то по уравнениям (7.4) и (7.5) можно построить кривые u пр( х ) и u обр ( х ) в любой момент времени (подобно тому, как это показано на рис. 7.1).
Так как между напряжением и током волны существует прямая пропорциональность (7.4), а коэффициент пропорциональности (7.5) зависит только от первичных параметров линии, то для анализа волновых процессов достаточно рассматривать только напряжение волн.
4
Волны в длинной линии можно выразить в функции времени, находя эту функцию в какой-либо точке линии, например точке х1 , и принимая за начало отсчета времени момент, когда фронт волны дойдет до этой точки. Так, например, для u пр( t ) и u обр ( t ), изображенных на рис. 7.1 сплошными линиями, та-
кими точками являются точки х1 для u пр и х2 для u обр .
Если известны функции u пр( t ) и u обр ( t ) в точках х1 и х2, то переход к
общему выражению каждой из волн выполняется согласно формулам (7.3) так:
|
|
x − x1 |
|
|
|
|
uпр(x,t) =uпр t − |
|
|
|
; |
|
|
|
|
v |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + x1 |
|
|
|
uобр(x,t) =uобр t |
+ |
|
|
. |
(7.9) |
|
v |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Влюбой момент времени напряжение и ток в любом сечении линии можно рассматривать как сумму двух волн, прямой и обратной. Причем, источник образования обратной волны – неоднородность в линии. Неоднородности в длинной линии могут образоваться в результате продольных и поперечных включений сосредоточенных элементов (активны и реактивных пассивных двухполюсников), последовательного и параллельного включения других длинных линий в какихто сечениях длинной линии, изменения погонных параметров линии , начиная с какого либо сечения. В сечениях присоединения неоднородностей наблюдается процесс образования отраженных (т.е. обратных) волн и волн, которые распространяются вдоль исходного направления распространения прямой волны (т.е., говорят волны, «падающей» на неоднородность). Эти волны, распространяются вдоль исходного направления распространения прямой волны называют прошедшими (или иногда по аналогии с оптикой, их называют преломленными) волнами.
Внастоящее время разработаны простые алгоритмы расчета процессов в длинных линиях при распространении по ним волн сигналов любой формы. Известны методы расчета процессов возникновения волн в сечениях неоднородных включений в линии. Эти процессы представляют собой, по существу, переходные процессы, которые рассчитываются с применением специфических приемов.
5
Мы займемся рассмотрением этих процессов, в основном, применительно к распространению в линии исходно импульсов прямоугольной (во времени) формы, так как эта форма, как мы видели в позапрошлой лекции, соответствует форме бинарных сигналов.
2.Сведения о методах расчета и оценки волн в длинной линии
Общие замечания
Алгоритм расчета формирования волн в длинной линии построен на основе свойства линейности линии и, значит, независимости реакции линии на воздействие независимых источников. Последние, в свою очередь, могут образовать (по методу наложения) сигнал сложной формы. Это показано на рис. 7.2, на котором прямоугольный импульс образован в результате наложения двух независимых «ступенек» напряжений противоположных знаков, сдвинутых во вре-
u(t)
U
0 |
τ |
t |
u(t) |
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
τ |
t |
u(t) |
|
|
τ
0 |
t |
–U
Рисунок 7.2 – Пример формирования прямоугольного импульса в результате наложения двух прямоугольных ступенек
6
мени на длину импульса – τ.
Включение источника напряжения на длинную линию (эквивалентная схема показана на рис. 7.3) рассчитывается исходя из принципа «близкодействия», согласно которому реакция на воздействие возникает с учетом задержки распространения воздействие. В соответствие с этим, длинную линию, подклю-
Кi
U0
0
i (t), u (t)
U0
I0 =U0/ ZВ
i (t), u (t)
U0
I0 =U0/ ZВ
|
|
|
Сечение х=0 |
|
|||||
|
|
|
К |
|
i (t) |
|
|||
ZВ |
l → ∞ |
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
х |
|
|
ZВ |
|
|
u (t) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Сечение х=0 |
|
|
|
|
|
|
t
в)
Сечение х=l1
t
t1=l1 / v |
г) |
Рисунок 7.3 – Включение источника постоянного напряжения на согласованную длинную линию. а) функциональная схема; б) принципиальная схема в сечении х = 0; в) переходной процесс в сечении х = 0; г) переходной процесс в сечении х1 = l1
чаемую к источнику, можно представить входным сопротивлением в отсутствии обратной (или отраженной волны), т.е. считать бесконечно длинной или присоединенной к согласованной нагрузке, или, иначе, линией в согласованном режиме. Входное сопротивление такой линии равно волновому, а связь тока и напря-
7
жения в любом сечении (и в сечении х=0) определена законом Ома для волны: uпр(0,t) = ZBiпр(0,t). Этому соотношению соответствует схема рис. 7.3,б. Пере-
ходной процесс в этой схеме на сосредоточенных элементах представлен на рис.7.3,в и описывается функцией
uпр(0,t) = |
U0 |
ZB = ZBiпр(0,t). |
(7.10) |
|
|||
|
ZB |
|
Это описание волны в сечении х = 0. Волна в линии описывается функцией
|
|
|
|
|
х |
|
|||
|
|
uпр(х,t) =U01 t − |
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
v |
|
|||
|
|
|
U0 |
|
|
х |
|
||
|
|
iпр(х,t) = |
ZB |
1 t − |
|
|
|
, |
(7.11) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
v |
|
|||
где 1(t) – единичная функция, описываемая соотношением |
|
||||||||
1(t)= 0 |
при |
t < 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
1(t)= 1 |
при |
t >0 , |
|
|
|
|
|
|
|
а 1(t,t) – волна единичной функции, описываемая для прямой волны формулой:
|
х |
|
х |
|
|
|
||
1 t − |
|
|
= 0 при |
t < |
|
; |
|
|
|
v |
|
||||||
|
v |
|
|
|
|
|||
|
х |
|
х |
|
|
|
||
1 t − |
|
|
= 1 при |
t > |
|
|
. |
(7.12) |
|
|
v |
|
|||||
|
v |
|
|
|
|
Функции описывают волну с прямоугольным фронтом.
В другое сечение линии волна придет с запазданием. Это показано на рис. 7.3,г.
Если к линии подключается источник с активным внутренним сопротивлением rН, ток и напряжение волны становятся меньше. В этом случае
uпр(0,t) =U0 − rНiпр(0,t) |
|
|
|
|
||||
и по-прежнему |
iпр(0,t)=uпр(0,t) / ZB , |
|
|
|
|
|||
откуда uпр(0,t) =U0 |
− rН |
uпр(0,t) |
и uпр(0,t) = |
U0 ZB |
; iпр(0,t) = |
U0 |
. (7.13) |
|
ZB |
ZB + rН |
ZB + rН |
||||||
|
|
|
|
|
8
При подключении генератора с комплексным (активно/индуктивным или активно/емкостным) сопротивлениями фронт волны искажается и волна перестает быть прямоугольной. Проиллюстрируем это для индуктивного внутреннего сопротивления генератора, показанного на рис. 7.4.
L К
U0
i (t), u (t)
U0
I0 =U0/ ZВ
0
i (t), u (t)
U0
0 i (t), u (t)
U0
I0 =U0/ ZВ
i |
|
|
Сечение х=0 |
|
|
|
L |
К |
i (t) |
|
|
|
|
|
|||
ZВ |
l → ∞ |
U0 |
|
ZВ |
u (t) |
|
|
|
|||
0 |
|
х |
|
б) |
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сечение х=0
t
в)
Сечение х=l1
t
t1= l1/v |
г) |
Время t1 = l1/v
v
x
0 |
l1= v t1 |
д ) |
Рисунок 7.4 – Схема включение источника постоянного напряжения с индуктивным внутренним сопротивлением на согласованную линию (а); принципиальная схема в сечении х = 0 (б); переходной процесс в сечении х = 0 (в); переходной процесс в сечении х1 = l1 (г); распространение волны вдоль линии (д)
9
В цепи с сосредоточенными элементами (рис. 7.4,б) при замыкании ключа возникает переходной процесс, заключающийся в экспоненциальном нарастании тока (согласно известному решению задачи включения источника постоянного напряжения в простейшей активно/индуктивной цепи):
|
|
U0 |
|
|
Z B |
|
|
|
iпр(0,t)=i(t)= |
1 − e |
− |
L |
t |
, |
|
|
ZB |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
uпр(0,t) = ZBiпр(0,t). |
|
|
|
|
В произвольном сечении зависимость волны от времени:
|
|
|
|
|
|
|
Z B |
|
x |
|
|
|
|||||
iпр(x,t)= |
U |
0 |
|
|
− |
|
|
t − |
|
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 −e |
|
L |
|
v |
|
|
||||||||||
|
ZB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z B |
x |
|
|
|
|||||||
uпр(x,t)=U |
|
|
|
− |
|
|
t − |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 1 |
−e |
|
|
L |
v |
|
. |
(7.14) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кривые показаны на рис. 7.4 в и г. Распределение напряжения и тока вдоль линии в момент времени t1 = l1/v показано на рис. 7.4, д.
Рассмотрим алгоритм расчета режима при включении нагрузки к заряженной линии (т.е., в которой волна дошла до нагрузки).
Рассмотрим сначала случай активной нагрузки линии.
Пусть линия без потерь с волновым сопротивлением ZB заряжена до на-
пряжения U0 . Если в момент времени t =0 в конце линии включается сопротив-
ление нагрузки rH (рис. 7.5), |
то в конце линии возникает обратная волна, дви- |
|||||||
жущаяся от конца линии к её началу. |
|
|
|
|
||||
Напряжение и ток этой волны могут быть при помощи уравнений, состав- |
||||||||
ленных по закону Ома для волны и для сопротивления нагрузки: |
|
|||||||
u обр |
= Z B i обр ; |
u н |
=U 0 +u обр |
=(i пр |
−i обр )rH = −i обр rH , |
|
||
откуда |
u обр = − |
Z B U 0 |
; |
i обр = − |
U 0 |
|
; i = −i обр . |
(7.15) |
Z B + rH |
|
|
||||||
|
|
|
|
Z B + rH |
|
10