Методы и средства передачи информации (Лекция №15)

волн информационного сигнала) в электрические сигнала (токи и напряжения) на входе приемного устройства. Эти элементы связи называются антенными устройствами, или просто антеннами. Эти элементы связи, как правило, линейные электрические цепи и в соответствии с принципом взаимности линейных цепей с одинаковым успехом могут служить как источниками, так и приемниками электромагнитных волн.

Антенны – конструктивно достаточно простые устройства, однако простота конструкции скрывает очень сложные математические алгоритмы рационального проектирования геометрических размеров таких устройств, согласованных с окружающим пространством в различных частотных диапазонах и при особенностях требуемых радиотрасс.

Для понимания и оценки применимости различных антенн к различным условиям их эксплуатации, необходимо обладать хотя бы минимальными знаниями относительно физических особенностей распространения электромагнитных волн в окружающем пространстве и свойств излучателей (приемников) такиэ волн.

2.Волновые уравнения и их решения. Запаздывающие потенциалы

Изучение излучающих структур традиционно основывается на предварительном анализе свойств элементарных излучателей, которые называют диполями. К ним относят электрический (Герца) и магнитный (Фитцжеральда), соответственно, электрический вибратор и рамка с током, показанные на рис. 15.1.

Рисунок 15.1– Элементарные излучатели: вибратор (а); рамка с током (б)

2

Модель вибратора определяется электрическим моментом p = i l , где i – ток в диполе (вибраторе), определяемый dq / dt , l – длина вибратора (рис. 15.2,

а).

Рисунок 15.2 – Модели диполей: а - электрического; б – магнитного

Модель рамки вводится магнитным моментом pм= i S , где i – ток, а S –

площадь рамки (рис. 3.2, б). Ещё раз напомним, что слово «диполь» характеризует малые размеры излучателя (а не то, что он – двухполюсник).

Интерес к элементарным излучателям объясняется тем, что более сложные структуры в ряде случаев с применением принципа суперпозиции удается свести к наложению полей элементарных излучателей. Кроме того, понятия, вводимые для анализа простейших излучателей, успешно применятся к характеристике свойств более сложных структур.

Расчет полей, возбуждаемых элементарными излучателями в свободном пространстве (т.е., при отсутствии иных граничных условий, кроме условий на излучателе и на бесконечности), реализуется интегрированием системы уравнений Максвелла.

Уравнения Максвелла для однородной среды имеют вид:

divµ0µr H = 0 .

3

где εr и µr – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости про-

странства, возникающие в, так называемых, «материальных» уравнениях:

D =ε0εr E и B =µ0µr H.

Для краткости дальнейших записей введем обозначения:

ε0εr = ε, µ0µr = µ.

Используя введенные ранее обозначения оператора Набла –

и применив второй вариант решения уравнений Максвелла – замена переменных E и H на вспомогательные функции – потенциалы: скалярный ϕ и векторный

A, который дополняем калибровкой Лоренца, получаем уравнение для векторного и скалярного потенциалов в виде:

2 A − εµ ∂2 A = −µj ,

∂t 2

Из выражений (15.1) и (15.2) видно, что и скалярная функция ϕ(x,y,z,t), и

проекции векторной функции A(x, y, z,t) на координатные оси x0 ,y0 ,z0 удовле-

творяют уравнению одного и того же типа – уравнению Даламбера

которое является частным случаем уравнения Даламбера для области анализа полей, свободной от сторонних источников, чему соответствует равенство нулю

4

правой части уравнения (15.3), то есть η= 0 , в декартовой системе координат

где Φ1 и Φ2 − функции бегущих плоских (т. е., с плоским фронтом) волн, у кото-

скоростью v вдоль оси z, а Φ2 − в обратном направлении.

В сферической системе координат для полей точечного источника (в про-

2 Φ

аего решение получается с применением подстановки ζ = Φ r , приведением

(15.6) к виду

и новая переменная ζ аналогично (15.5) записывается как

Откуда с обратной заменой переменных получим решение уравнения (15.6)

5

где Φr1 и Φr2 – сферические волны (соответственно, прямая и обратная, или

отраженная ).

Вид функции Φ1 определяется источником, а обратной функции Φ2 –

причиной отражения.

Для точечного источника вид функции Φ1 можно установить, рассматри-

вая решение задачи для точечного электрического заряда в точке r= 0. Уравнение Даламбера для ϕ( t ) при постоянном заряде q (то есть, при

∂∂t →0 ) переходит в «электростатическое уравнение» Пуассона для потенциала

ϕ(r ), решение которого для точечного заряда имеет вид

очень медленным процессам во времени, можно выражение (15.7) распростра-

нить на случай ϕ(t) и записать решение в виде

то при v →∞, выражение (15.9) перейдет в (15.8), то есть решение (15.9) явля-

ется предельным переходом для более общего решения (15.9).

Заметим, что мы лишь показали, какой вид функции логично ожидать.

Из решения задачи для точечного источника следует решение для потенциала в точке наблюдения М от распределенного в объеме V заряда

ρ(x, y, z, t).

6

Важно отметить, что в точке наблюдения M в момент времени t суммиру-

М

ρ1 r'

r"

ρ2

Рисунок 15.3. Суммирование в точке М потенциалов от двух зарядов

ются парциальные потенциалы ϕk от значений ρk(t,r), взятых в разные моменты

времени t'= t – r'/v, что иллюстрирует рис. 15.3.

Этот факт и характеризует понятие «запаздывающие потенциалы». Аналогично, рассмотрев выражение для векторного потенциала A элемен-

та постоянного тока Il (закон Био-Савара) и формально перейдя от уравнения Пуассона к уравнению Даламбера, можно записать для векторного потенциала A(r,t) выражение

V

Поэтому, в отличие от скалярного ϕ и векторного A потенциалов элек-

тростатического и стационарного полей, потенциалы электромагнитного поля называют «запаздывающими» – т. е. учитывающими время распространения волны.

7

Нагляднее запаздывание по времени проявляется при рассмотрении гармонических процессов.

Здесь, переходя в частотную область, т. е., представляя временные функции в виде разложения в комплексные ряды Фурье (для гармонических процессов – один член разложения):

Напомню, что во избежание путаницы в символах здесь и далее по тексту мнимая единица обозначается символом i, кроме отдельно оговариваемых мест.

8

Таким образом,

– связь потенциалов A и ϕ позволяет решать уравнение Даламбера только для A , а ϕ находить по уравнению калибровки div A = −εµ ∂∂ϕt .

– можно вообще не искать скалярный потенциал ϕ, а по потенциалу A оп-

ределять H и уже по H находить E, интегрируя вторую формулу в системе

(15.1).

Теперь перейдем к определению электромагнитных полей элементарных излучателей.

3. Поле диполя Герца

Диполь Герца – модель, представляющая собой равномерное по длине l распределение тока, вызванного переменным во времени зарядом q на концах отрезка. При этом ток i связан с переменным зарядом выражением

i = − ∂∂qt .

Откуда, согласно выражениям (15.12) и (15.13):

где r1 и r2 – расстояния, соответственно, от положительного и отрицательного зарядов до точки наблюдения M.

Причем, учитывая малость длины l , выражение для ϕ , стоящее в скобках, легко преобразовать с помощью формулы:

f ( t, r + ∆r) − f ( t, r ) = ∂ f (t,r) ∆r .

∂r

Поэтому

9

Аz

zАθ

θ Аr

Рисунок 15.4 – Диполь Герца в сферической системе координат

мени, а отрезок ∆r , как видно из рис. 15.4 , равен ∆r =l cos θ.

Напряженности электромагнитного поля E и H можно вычислить, как отмечалось выше, различными способами. Покажем решение задачи последним из перечисленных, т. е. по A определим пространственное распределение вектора H и уже по H найдем пространственное распределение вектора E .

Согласно рис. 3.4

В сферической системе координат:

10