Н.И. КРАВЧЕНКО

М А Т Е М А Т И К А

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

КИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ

ИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебное пособие В шести частях Часть 2

Новочеркасск

2012

1

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Новочеркасская государственная мелиоративная академия»

Н.И. КРАВЧЕНКО

М А Т Е М А Т И К А

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

КИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ

ИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебное пособие В шести частях Часть 2

Новочеркасск

2012

2

УДК 519.22 (075.8) К 772

Рецензенты: Черкасова Т.С., канд. техн. наук, доц. каф. «Высшая математика 2» Ростовского Государственного Университета Путей Сообщения ФГБОУ ВПО РГУПС; Васильева М.Е., канд. экон. наук, доцент каф. математики ФГОУ ВПО НГМА

Кравченко, Н.И.

К 772 Математика. Введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, приложения дифференциального исчисления к исследованию функций одной и нескольких переменных [Текст]: в 6 ч. Ч.2: учеб. пособие для студентов I курса бакалавриата всех образовательных направлений НГМА/ Н.И. Кравченко; Новочерк.гос.мелиор. акад. – Новочеркасск, 2012. – 116 с.

Учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата всех образовательных направлений НГМА, как очной так и заочной форм обучения, для организации аудиторной и самостоятельной работы.

Излагаемый материал представлен более широко, чем в соответствующих курсах лекций.

Ключевые слова: переменная, функция, предел, непрерывность, производная, дифференциал, монотонность, экстремумы, перегиб, асимптота, кривизна кривой, частные производные, условный экстремум, градиент.

11 ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. 66

5

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1 МНОЖЕСТВА, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1.1 Основные понятия

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство ...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х2 + 2х + 2 = 0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., Х, Y, ..., а их элементы - малыми буквами a, b, ..., x, y, ... Если эле-

мент х принадлежит множеству Х, то записывают х Х; запись х Х или х Х означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом .

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А = {1, 3, 15} означает, что множество А состоит из

трех чисел 1, 3 и 15; запись А = {х: 0 ≤ х ≤ 2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетво-

ряющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.

Определение. Множество А называется подмножеством множества В, если каждыйэлементмножестваАявляетсяэлементоммножестваВ.

Символически это обозначают так А В ("А включено в В") или В А ("множество В включает в себя множество А").

Говорят, что множества А и В равны или совпадают, и пишут А=В,

если А В и В А. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Определение. Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение

(сумму) множеств обозначают А В (или А+В).

Кратко можно записать А В ={х: х А или х В}.

Определение. Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А ∩В (или А · В).

Кратко можно записать А ∩ В={х: х А и х В }.

7

(- ∞; ∞) = {х: - ∞ < х < +∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки). Числа a и b называются соответственно левым и правым концами

этих промежутков. Символы - ∞ и +∞ не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть х0 - любое действительное число (точка на числовой прямой). Определение. Окрестностью точки х0 называется любой интервал (a; b), содержащий точку х0. В частности, интервал (х0 - ε, х0 + ε),

где ε > 0, называется ε - окрестностью точки х0 .

Рисунок 1

2ФУНКЦИЯ

2.1Понятие функции

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Определение. Пусть даны два непустых множества Х и Y. Если по некоторому правилу f (закону) каждому элементу х Х ставится в в соответствие один и только один элемент y Y, то у называется функцией от х и записывается у=f(х), х Х или f:Х →Y.

Говорят еще, что функция f отображает множество Х на множество Y. Например, соответствия f и q, изображенные на рисунке 2a) и 2б), яв-

ляются функциями, а на рисунке 2в) и 2г) - нет. В случае в - не каждому элементу x Х соответствует элемент у Y . В случае г) не соблюдается условие однозначности.

Рисунок 2

8

Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D (f). Множество всех у Y называется множеством значений функции f и обозначается Е (f).

Если элементами множеств Х и Y являются действительные числа (т. е. Х R и Y R), то функцию f называют числовой функцией.

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у - функцией или зависимой переменной. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у = у (х).

Частное значение функции f(х) при х = а записывается так: f(а). На-

пример, если f(х) = 2х2 − 3, то f(0) = − 3, f(2) = 5.

2.2 Способы задания функции

Чтобы задать функцию у = f (х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Различают следующие способы задания функции:

1) Аналитический способ. В этом случае зависимость между аргументом х и функцией у описывается при помощи формул. При этом возможны:

а) явный аналитический способ;

зависимость между х и у задается явной формулой у = f (х), позволяющей по заданному х находить у.

б) неявный аналитический способ;

зависимость задается уравнением F(x, y) = 0, связывающим аргумент и функцию, как правило, не разрешенным относительно у.

Пример1. 1 + sin(xy) − х − е х+ у−2 = 0 .

В приведенном примере значению х = 0 соответствует у = 4, т.

в) параметрический способ;

в этом случае и функция, и аргумент задаются как явные функции не-

х = х(t)

у = у(t),

ра t. Зависимость между аргументом и функцией устанавливается по следующей схеме:

2) Табличный способ. Табличный способ задания функции применим, если область определения Х представляет собой дискретное множество. В этом случае функцию задают при помощи следующей таблицы.

ции, соответствующие х1, х2 , ..., хn . Например, известные таблицы триго-

нометрических функций, логарифмические таблицы определяют значение соответствующих функций. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем.

3) Графический способ. В этом случае зависимость задается указанием графика функции.

Определение. Графиком функции у=f(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, а у - соответствующим значением функции.

приборами или изображаются на экране осциллографа, дисплея. Например, в метеорологии барограф вычерчивает барограмму - график изменения атмосферного давления; в медицине электрокардиограф вычерчивает электрокардиограмму – график работы сердца и т.д.

4) Словесный способ. Зависимость между аргументом и функцией описывается языковыми средствами. Например, функция Дирихле:

f ( x )= 1, еслих− рациональноечисло0, еслих−иррациональноечисло 5) Алгоритмический способ.

10

2.3 Классификация функций

Определение. Функция y=f(х), определенная на множестве D, симметричном относительно начала координат, называется четной, если х D выполняется условие f(−х)=f(х) и нечетной, еслих D выполняется условие f(−х)= − f(х).

График четной функции симметричен относительно оси Оy, а нечет-

Например, функция, заданная графиком (рисунок 6), убывает на интервале (−2; 1) и возрастает на интервале (1; 5).

Определение. Возрастающие и убывающие функции на некотором интервале называются монотонными на этом интервале. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Определение. Функцию y = f (х), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М > 0, что для всех х D выполняется неравенство

f (x) ≤ М (короткая запись: y=f(х), х D, называется ограниченной на D, если М > 0 : х D f (x) ≤ М ). Отсюда

следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми y = − М и y = М (рисунок 7).

2.4 Обратная функция

Пусть задана функция у=f(х) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению y Е соответствует единственное значение х D, то определена функция х=ϕ(у) с областью определения Е и множеством значений D (рисунок 8).

Из определения следуют тождества: f(ϕ(y)) = y, ϕ(f(x)) = x.

Чтобы найти функцию х=ϕ(у), обратную к функции у=f(х), достаточно решить уравнение f(х)= y относительно х (если это возможно). Примеры: 1. Для функции у=lnх обратной функцией является функция х=е у.

2. Для функции у=х2, х [0; 1], обратной функцией является х = у ; заме-

тим, что для функции у=х2, заданной на отрезке [-1;1], обратной не существует, так как одному значению у соответствует два значения х (так, если

Из определения обратной функции вытекает, что функция у=f(х) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f(х) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (то есть аргумент) обозначить через х, а зависимую переменную через у, то

функция обратная функции у=f(х) запишется в виде у=ϕ(х).

2.5 Сложная функция

Определение. Пусть функция у=f(u) определена на множестве D, а функция u=q(x) на множестве D1, причем для х D1 соответствующее значение u = q(x) D. Тогда на множестве D1 опреде-

лена функция у=f(ϕ(x)), которая называется сложной функцией от х.

14

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции образования из них сложной функции, называется элементарной функцией. Примерами элементарных функций могут служить функции

Примером неэлементарной функции может служить функция:

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Определение. Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий.

К числу алгебраических функций относятся:

1)целая рациональная функция (многочлен):

у= а0хn + а1хn-1 + … + аn-1х + аn;

2)дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов;

3)иррациональная функция (если в составе операций над аргументом име-

ется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

2.7 Применение функций в экономике

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых путем кропотливого анализа, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-рациональные, степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические, а также тригонометрические, учитывающие периодичность ряда экономических процессов.

Наиболее часто в экономике используются следующие функции:

1.Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

2.Функция полезности (функция предпочтений) – в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

15

3.Производственная функция – зависимость объема или стоимости выпускаемой продукции от объема перерабатываемых ресурсов.

4.Функция выпуска – (частный вид производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

5.Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

Так, например, исследуя зависимости спроса на различные товары от дохо-

вить уровни доходов а1, а2, а3, при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщения b1, b2 для групп товаров первой и второй необходимости (рисунок 14).

ния, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (рисунок 15).

Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль которых полезность двух благ х и у одна и та же), например, задаваемые в виде ху = U, и линию бюджетного ограничения рхх + руу = I при ценах благ рх и ру и доходе потребителя I, мы можем установить оптимальные количества благ х0 и у0, имеющих максимальную полезность U0 (рисунок 16).