Число уравнений в полученной системе равно k = 2, а число неизвестных n = 3 . Тогда l = 3 – 2 = 1 – число свободных неизвестных. Из второго

уравнения выразим х2: х2 = х33− 1, из первого уравнения найдем х1:

х1 = 1 − 2х2 + х3 = 1− 2 х33− 1 + х3 = х3 3+ 5 . Так как х1, х2 выражены через х3 , то будем считать х3 свободным неизвестным. Итак, система уравнений

матрицы системы: r(A) = 3 и ранг расширенной матрицы r(A1) = 3, в приме-

ре 21 r(A) = r(A1) = 2, а в примере 22 r(A) = 2, r(A1) = 3.

Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений (2.10) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом

50

расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(A1). При этом, если: а) r(A) = r(A1) = n, то система имеет единственное решение.

б) r(A) = r(A1) = k < n то система имеет бесчисленное множество решений (в этом случае неизвестные х1, х2, …, хr выражаются через неизвестные хk + 1, хr + 2, …, xn, которые принято называть свободными неизвестными).

в) r(A) ≠ r(A1), то система несовместна.

ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

3.1 Скалярные и векторные величины

При изучении различных разделов физики, механики, технических наук нам встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений. Такие величины называются скалярными или скалярами. Скалярными величинами, например, являются длина, объем, масса, температура и др. Помимо скалярных величин встречаются величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными. Примерами таких величин являются сила, действующая на тело, скорость и ускорение движения тела, напряженность магнитного поля и т.д. Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Определение. Вектором называется направленный отрезок в простран-

Встве (или на плоскости), имеющий определенную длину,

ат.е. вектор — отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за нача-

Ало, а вторая за конец. Если точка А – начало, а В – конец,

то вектор обозначается AB . Вектор также можно обозначать одной маленькой буквой латинского алфавита a .

Определение. Вектор BА, у которого начало в точке В, а конец в точке А, называется противоположным вектору AB . Вектор, противоположный вектору a , обозначается − a .

Векторы служат геометрическим изображением векторных величин.

Определение. Длина вектора AB (или a ) называется его модулем и обо-

значается символом | AB | ( или |a | ) . Определение. Вектор, у которого конец совпадает с началом называют

нуль-вектором.

Нуль-вектор не имеет определенного направления и его модуль равен

51

Среди коллинеарных векторов есть одинаково направленные, т.е. сонаправленные, и противоположные.

Определение. Два вектора a и b называются равными, если они:

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в произвольную точку

3.2 Линейные операции над векторами

Клинейным операциям над векторами относятся операции сложения

ивычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов Правило параллелограмма

Пусть a и b – два произвольных вектора. Возьмем произвольную

мой этих векторов: с = a + b (рисунок 9,б).

Правило многоугольника

Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых. Пусть, например,

даны векторы a , b , с. Построим сначала сумму векторов a + b , затем к этой сумме прибавим вектор с: (a + b ) + с. На рисунке 9,в OA = a ,

53

1.Сумма векторов обладает переместительным свойством: a + b = b + a .

2.Сумма векторов обладает сочетательным свойством:

a+ b + c = (a + b) + c = a + (b + c) .

3.Существует нейтральный элемент, при сложении вектора a с которым

получаем векторa : a + 0 = a .

4. Существует противоположный элемент: a + (−a) = 0,

где вектор (-a ) имеет ту же длину, что и векторa , но противоположно ему направлен.

5.Умножение вектора на число обладает распределительным свойством относительно суммы векторов: λ (a + b) = λ a + λb .

6.Умножение векторов обладает распределительным свойством относительно суммы чисел: (λ + μ )a = λ a + μ a .

7.Существует нейтральный скаляр: 1 a = a .

8.При умножении вектора a на (-1) получаем противоположный вектор:

1 (−a) = −a .

Определение. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным.

Пусть дан вектор a . Рассмотрим вектор, коллинеарный вектору a , одинаково с ним направленный и имеющий модуль, равный единице.

Обозначим его через a 0, |a 0| = 1.

Из определения умножения вектора на число следует

Каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления.

3.6 Проекция вектора на ось

Определение. Осью называется направленная прямая. Пусть в пространстве задана ось l.

Определение. Проекцией точки А на ось l называется основание А1 перпендикуляра АА1, опущенного из точки А на ось l.

Точка А1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно оси l.

Если точка А лежит на оси l, то ее проекция на ось совпадает с точкой А.

Пусть АВ - произвольный вектор, обозначим через А1 – проекцию точки А ось l, а через В1 – проекцию точки В на эту же ось и рассмотрим

вектор А1В1 (рисунок 11).

Определение. Проекцией вектора АВ на ось l называется число, равное

модулю вектора А1В1 , взятое со знаком “+”, если направление вектора А1В1 совпадает с направлением оси l и со знаком “–”, если ось l и вектор А1В1 противоположно направлены.

Рассмотрим основные свойства проекций.

Теорема 1. Проекция вектора а на ось l равна произведению модуля вектора а на косинус угла φ между вектором и осью, т.е.

l (рисунок 12, б), тогда получаем прl а = − а1 = − а cos(π − ϕ ) = а cosϕ .

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Теорема 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось

57

3.8Декартовы прямоугольные системы координат на плоскости

ив пространстве. Ортонормированные базисы

Определение. Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости называются две взаимно перпендикулярные прямые, проведенные через заданную точку О плоскости, называемую началом, с выбранными на этих прямых общей единицей масштаба и направлением.

Одна из осей (Ох) называется осью абсцисс, вторая (Оу) – осью ординат (рисунок 15).

Определение. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называют три взаимно перпендикулярные прямые, проведенные через определенную точку пространства О, называемую началом, с выбранными на этих прямых направлениями и единицей масштаба (рисунок 16).

Ось (Оz) называется осью аппликат. Для каждой точки М пространства

(плоскости) существует радиус-вектор r = ОМ , начало которого есть начало координат, а конец – данная точка М.

Определение. Под декартовыми прямоугольными координатами точки М понимают проекции ее радиуса – вектора на оси коор-

динат, т.е. х = прх r, у = пру r, z = прz r .

Обозначается это так: М(х, у, z) (на плоскости М(х, у)).

Определение. Базис на плоскости (в пространстве) называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и

взаимно перпендикулярные.

Отнесем к каждой из осей координат единичный вектор, направление которого совпадает с положительным направлением оси. Так, оси Ох сопоста-

вим единичный вектор i , оси Оу – единичный вектор j , оси Оz – единич-