Маслак О.Н. УП_ТМЭАЛ

9

Определение. Множества, имеющие одинаковую мощность с множеством N натуральных чисел, называют последовательностями или счетными множествами. Множество, являющееся либо конечным, либо счетным, называют дискретным.

О множествах, имеющих одинаковую мощность с отрезком [0, 1], говорят, что они имеют мощность континуума.

Можно показать, что последовательности не равномощны множествам мощности континуума.

1.4 Язык логики высказываний

Определение. Высказывание – повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом можно сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени.

Рассмотрим примеры.

1)Ю.Гагарин – первый космонавт.

2)Париж – столица Англии.

3)Число 6 делится на 2 и на 3.

4)Карась не рыба.

5)Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости. Высказывания 1), 3), 5) истинны, а высказывания 2) и 4) ложны.

Очевидно, предложение «Как Вы себя чувствуете?» не является высказыванием.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. (Это высказывания 1) и 2)). Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.

Алфавит языка логики высказываний составляют следующие символы:

1. x, y, z, a, b,c … - переменные (элементарные высказывания).

2. ¬, &, v, , ~ - логические константы (связки), имеющие свои собственные названия, а именно: ¬ - отрицание, & - конъюнкция, v – дизъюнкция, - импликация, ~ - эквиваленция.

3. Скобки – ( ).

«Высказывания» или «предложения» на этом языке называются формулами

иобразуются по следующим правилам:

1.Любая переменная является формулой (формулы обозначают А, В,

С, …)

2.Если А и В формулы, то формулами также будут выражения ¬А, А&В, АvВ, А В, А~В.

3.Ничто иное не является формулой.

Валгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения. Считается, что каждое высказывание либо истинно (будем обозначать буквой «И» или цифрой «1»), либо ложно (будем обозначать «Л» или «0»). Если высказывание Х истинно, то будем писать Х=1, а если Х ложно, то Х=0.

11

Определение. Импликацией двух высказываний А, В, называется высказывание, которое считается ложным, если А истинно, а В ложно.

Обозначение: (А В), (А → В), (А В) читается "если А то В". А - называется антецедентом, В – консеквентом.

Исходя из определения , таблица истинности импликации такова:

Из ложного высказывания следует, что угодно, а так же истинное высказывание следует из чего угодно.

Определение. Эквиваленцией (эквивалентностью) – двух высказываний А и В называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложно и ложным во всех остальных случаях.

Обозначение: (А~В), (А В), (А≡ В) читается "А тогда и только тогда, когда А", "Для того ,чтобы А необходимо и достаточно, чтобы В".Эквивалентность определяется следующей таблицей истинности:

Замечание. Принят следующий порядок выполнения операций: сначала выполняется действия в скобках; конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные операции; дизъюнкция выполняется раньше, чем импликация и эквивалентность; знак отрицания над формулой выполняет роль скобок. В связи с этими формулы

(x&y)vz и x→ (yv(x & y))

могут быть записаны так:

x&yvz и x→ y v x & y

Логические значения сложных высказываний (формул алгебры логики) полностью определяются логическими значениями входящих в них элементарных высказываний.

Например, логическим значением формулы x & y vz в случае, если х=1, у=0, z=0 будет истинна, то есть x & y vz =1 (т.к. х & у =0

x & y =1 1 vz=1).

12

Все возможные логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть описаны с помощью таблицы истинности.

Например, для формулых vy→ x& у таблица имеет вид:

Вместо переменных х,у последовательно подставляем значения: (1,1), (1,0), (0,1), (0,0). Приведем вычисления для первой пары значений:

х vy→ х & у

0v 1 → 1&0

1 → 0

0

1.6 Равносильные формулы алгебры логики

Определение. Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений, входящих в формулы элементарных высказываний.

Равносильность формул будем обозначать знаком ≡ , а запись А≡ В означает, что формулы А и В равносильны.

Например, равносильны формулы:

x≡ x ,

хv х ≡ x ,

(x&х) vy≡ у.

Определение. Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Например, тождественно истинны формулы x v x , x → (y → x) .

Определение. Формула А называется тождественно ложной, если она принимает значение 0 при всех входящих в нее переменных.

Например, тождественно ложна формула x & x .

Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.

1. Основные равносильности:

1.x & x ≡ x

- законы идемпотентности

2.x v x ≡ x

13

3.x& 1 ≡ x

4.xv 1 ≡ 1

5.x& 0 ≡ 0

6.xv 0 ≡ x

7.x& х ≡ 0 – закон противоречия.

8.xvх ≡ 1 – закон исключенного третьего.

9.х ≡ x – закон снятия двойного отрицания.

2.Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

1.x ↔ y≡ (x → y)& (y → x)

2.x → y ≡ x v y

3.x & y ≡ x v y

4.x v y ≡ x & y

5.x & y ≡ х v y

6.x v y ≡ x & y

Замечание. Из равносильностей этой группы следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

3.Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:

1.x & y ≡ y & x - коммутативность конъюнкции

2.x v y ≡ y v x - коммутативность дизъюнкции

сительно конъюнкции.

Используя равносильности I, II, III групп можно часть формулы или формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными.

Формула А считается проще равносильной В, если она содержит меньше букв, меньше логических операций.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1.Упростить формулу (x v y → x v y)& y . Решение. Запишем цепочку равносильных формул:

14

Пример 2. Доказать равносильность x ~ y ≡ x & y v x & y.

Решение.

1. Доказать, что формула A ≡ x → (y → x) тождественно истинная.

1.7 Функции алгебры логики

Как уже отмечалось, значение формулы алгебры логики полностью зависит от значений входящих в эту формулу высказываний. Поэтому формула алгебры логики является функцией входящих в нее элементарных высказываний.

Например, формула (х & у) → z является функцией трех переменных

f(x,y,z). Особенностью этой функции является то обстоятельство, что ее аргументы принимают одно из двух значений: ноль или единицу, и при этом функция также принимает одно из двух значений: ноль или единицу.

Определение. Функцией алгебры логики п переменных (или функцией Буля)

называется функция п переменных, где каждая переменная принимает два значения: 0 и 1, и при этом функция может принимать только одно из двух значений: 0 или 1.

Ясно, что тождественно истинные и тождественно ложные формулы алгебры логики представляют собой постоянные функции, а две равносильные формулы выражают одну и ту же функцию.

15

Выясним, каково число функций и переменных. Очевидно, каждую функцию алгебры логики (как и формулу алгебры логики) можно задать с

помощью таблицы истинности, которая будет содержать 2 n строк. Следова-

тельно, каждая функция п переменных принимает 2 n значений, состоящих из нулей и единиц. Таким образом, функция п переменных полностью определяется набором значений из нулей и единиц длины 2". Общее же число

наборов, состоящих из нулей и единиц, длины 2 n равно22n . Значит, число

различных функций алгебры логикиn переменных равно 22n .

В частности, различных функций одной переменной четыре, а различных функций двух переменных шестнадцать. Выпишем все функции алгебры логики одной и двух переменных.

Рассмотрим таблицу истинности для различных функций одной пере-

Ясно, что аналитические выражения этих функций могут быть записаны следующим образом:

16

1.8Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики

Пусть F x1 ,x 2 ,...,x n - произвольная функция алгебры логики п

переменных. Рассмотрим формулу

F (1,1,...,1)&x1 &x 2 &...&x n

которая составлена следующим образом: каждое слагаемое этой логической суммы представляет собой конъюнкцию, в которой первый член является значением функции F при некоторых определенных значениях переменных x1, x2 ,..., xn , остальные же члены конъюнкции представляют собой перемен-

ные или их отрицания. При этом под знаком отрицания находятся те, и только те переменные, которые в первом члене конъюнкции имеют значение 0.

Вместе с тем формула (1.1) содержит в виде логических слагаемых всевозможные конъюнкции указанного вида.

Ясно, что формула (1.1) полностью определяет функцию

F (x1, x2 ,..., xn ). Иначе говоря, значения функции F и формулы (1.1) совпадают на всех наборах значений переменных x1 ,x 2 ,...,x n .

Например, если х1 принимает значение 0, а остальные переменные принимают значение 1, то функция Fпринимает значение F(0,1,1,...l). При

этом логическое слагаемое F (0 ,1,...,1)&x 1 &x 2 &...&x n , входящее в фор-

мулу (1.1), принимает также значение F(0,l,...l), все остальные логические слагаемые формулы (1.1) имеют значение 0. Действительно, в них знаки отрицания над переменными распределяются иначе, чем в рассмотренном слагаемом, но тогда при замене переменных теми же значениями в конъюнкцию войдет символ 0 без знака отрицания, символ 1 под знаком отрицания. В таком случае один из членов конъюнкции имеет значение 0, а поэтому вся конъюнкция имеет значение 0. В связи с этим , на основании равносильности x 0 ≡ 0, значением формулы (1.1) является F(0,1,... 1).

Ясно, что вид формулы (1.1) может быть значительно упрощен, если в ней отбросить те логические слагаемые, в которых первый член конъюнкции имеет значение 0 (и, следовательно, вся конъюнкция имеет значение 0). Если же в логическом слагаемом первый член конъюнкции имеет значение 1, то, пользуясь равносильностью 1&x ≡ x , этот член конъюнкции можно не выписывать.

17

Таким образом, в результате получается формула (1.1), которая содержит только элементарные переменные высказывания и обладает следующими свойствами:

1)Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F (x1, x2 ,..., xn ).

2)Все логические слагаемые формулы различны.

3)Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание.

4)Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же

переменную дважды.

Перечисленные свойства будем называть свойствами совершенства или, коротко, свойствами (С).

Из приведенных рассуждений видно, что каждой не тождественно ложной функции соответствует единственная формула указанного вида.

Если функция F (x1, x2 ,..., xn )задана таблицей истинности, то соот-

ветствующая ей формула алгебры логики может быть получена просто. Действительно, для каждого набора значений переменных, на котором функция F (x1, x2 ,..., xn )принимает значение 1, запишем конъюнкцию элемен-

тарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции хk , если значение хk на указанном наборе значений переменных есть 1 и отрицание хk , если значение хk есть 0. Дизъюнкция всех записанных конъюнкций и будет

искомой формулой.

Пусть, например, функция F (x1, x2 ,..., xn )имеет следующую таблицу истинности:

Для наборов значений переменных (1,1,0), (1,0,1), (0,l,0), (0,0,0), на которых функция принимает значение 1, запишем конъюнкции

x1 &x 2 &x 3, x1 &x 2 &x 3, x1 &x 2 &x 3, x 1 &x 2 &x 3 , а искомая формула, обладающая свойствами (С) , имеет вид:

x1 &x 2 &x 3 x1 &x 2 &x 3 x 1 &x 2 &x 3 x 1 &x 2 &x 3.

18

1.9 Закон двойственности

Пусть формула А содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Будем называть операцию конъюнкции двойственной операции дизъюнкции, а операцию дизъюнкции двойственной операции конъюнкции. Определение. Формулы Аи А* называются двойственными, если формула

А* получается из формулы А путем замены в ней каждой операции на двойственную.

Например, для формулы A≡ (x y )&z двойственной формулой будет формула A* ≡ (x& y ) z .

Теорема. Если формулы А и В равносильны, то равносильны и им двойственные формулы, то есть

А*≡В*.

Предварительно докажем лемму.

Пусть теперь утверждение леммы справедливо для всяких формул, содержащих не более k операций. Докажем, что при этом предположении утверждение справедливо и для формулы, содержащей k+1 операцию.

Пусть формула A(x1 ,x 2 ,...,x n )содержит k + 1операцию. Тогда ее можно представить в одном из трех видов: