Элементы модели

Переменные решения	Целевая функция
X1 –  количество шкафов Х2 – количество тумб, производимых ежедневно	Р=200Х1+100Х2 Ежедневная прибыль цеха
Ограничения
3,5 X1 + 1 X2  350 1 X1+2 Х2 240 1  X1 + lX2 150 X1, X2 0

Глядя на выражение для целевой функции (типичное для моделей линейного программирования), можно легко увидеть, что, чем больше будут значения переменных X₁ и Х₂, тем больше будет и прибыль Р. Если бы было возможно беспредельно увеличивать ежедневный выпуск шкафов и тумб, прибыль росла бы беспредельно. Ясно, однако, что это невозможно, поскольку доступные ежедневно ресурсы цеха ограниченны. Это приводит к ограниче­ниям на значения переменных X₁ и Х₂.

Займемся теперь этими ограничениями. Проще начать с ограничения, которое вытекает из ограниченности трудовых ресурсов. Поскольку каждый рабочий за 1 день может сделать либо 1 шкаф, либо 1 тумбу, ясно, что общее количество выпущенных изделий (шкафов и тумб) не должно превышать числа рабочих в цехе. Иначе можно сказать, что поскольку расход трудового ресурса равен 1 человеко-дню на 1 шкаф и 1 человеко-дню на 1 тумбу, то общий расход труда на Х₁ шкафов и Х₂ тумб будет, очевидно,

1 X₁+ 1 X₂,

что не должно превышать ежедневного «запаса труда» в цехе, т.е. 150 человеко-дней. Это отражено последним неравенством, написанным в таблице элементов модели.

Аналогично записывается неравенство, отражающее ограниченность ежедневных запасов ДСП. Поскольку на 1 шкаф расхо­дуется 3,5 м ДСП, а на 1 тумбу –  1 м, то суммарный расход ДСП на X₁ шкафов и Х₂ тумб будет, очевидно,

3,5 X₁ + 1 X₂,

что не должно превышать ежедневного запаса ДСП в цехе, т.е. 350м ДСП. Это отражено первым неравенством, записанным в табл. 2.

Точно так же получается и второе неравенство, отражающее ограниченность ежедневных запасов стекла.

Определение переменных решения, целевой функции и ограничений –  это почти все, что должен сделать менеджер, чтобы воспользоваться результатами оптимизации и анализа линейной модели. Далее необходимо только правильно организовать данные для компьютера, а все остальное сделает компьютерный алгоритм оптимизации.

Решение задачи об оптимальном плане выпуска продукции с помощью Excel.

1. Организуйте данные на листе Excel так, как это показано на рис. 15.1.

а) В ячейку В16 введена целевая функция Р = 200X₁ 100 X₂, представляющая собой прибыль от продажи Х₁ шкафов и Х₂ тумб.

б) В ячейки F12, F13, F14 –  формулы, отражающие расход ресурсов при изготовлении Х₁ шкафов и Х₂ тумб:

ДСП	3,5 X1 + 1 X2
Стекло	1 X1+2 Х2
Труд	1  X1 + lX2

	А	В		С	D	E	F	G
1	Оптимальный план производства мебельного цеха
2
3		Параметры
4	Ресурсы	Запасы	Продукты
5			Ш		Т
6	ДСП	350	3,5		1
7	Стекло	240	1		2
8	Труд	150	1		1
9	Прибыль		200		100
10
11		Х1	Х2			Расход
12	Переменные	80	70			ДСП	=$В$12*С6+$С$12*D6
13						Стекло	=$В$12*С7+$С$12*D7
14						Труд	=$В$12*С8+$С$12*D8
15		Целевая функция
16	Р =	=B12*C9+C12*D9

Рис. 15.1. Организация данных на листе MS-Excel для примера «Оптимальный план выпуска продукции мебельного цеха»

2. Выберите пункт меню «Данные» ® Анализ ®«Поиск решения» (Если компонент не установлен установите его в меню «Надстройки»). Появится окно, озаглавленное «Поиск решения» - рис. 15.2.

Рис. 15.2. Общий вид и работа с окном «Поиск решения»

а) В поле окна «Установить целевую ячейку» отметьте ячейку В16 (щелкните сначала по полю окна, а затем по ячейке В16).

б) Установите переключатель на отметке «Равной максимальному значению».

в) В поле окна «Изменяя ячейки» отметьте ячейки В12:С12 (аналогично пункту а).

Добавьте ограничения, щелкая по кнопке «Добавить»

В появившемся окне, озаглавленном «Добавление ограничения» (рис. 15.3), щелкните по полю «Ссылка на ячейку», а затем отметьте ячейки В12:С12, выберите знак ограничения, щелкните по правому полю «Ограничение» и введите в него значение 0. Таким образом, вы ввели ограничение X₁, X₂ 0. Вновь щелкните по кнопке «Добавить».

Рис. 15.3. Общий вид и работа с окном «Добавление ограничения»

г) В появившемся окне «Добавление ограничения» щелкните в поле «Ссылка на ячейку», а затем отметьте ячейку F12, выберите знак ограничения ( щелкните по правому полю «Ограничение») и отметьте в нем ячейку В6, содержащую ограничение на ресурс «ДСП». Таким образом, вы ввели ограничение 3,5 X₁ + X₂  350.

д) Продолжайте процесс, пока не введете остальные два ограничения.

3. Щелкните по кнопке «Параметры».

Появится окно «Параметры поиска решения» (рис. 2.4),

Рис. 15.4. «Параметры поиска решения» в Excel

в котором можно (но не нужно) менять многочисленные параметры оптимизации. Вас интересует только, установлен ли флажок «Линейная модель». Если нет, установите его, щелкните по кнопке Ok и вернитесь к окну «Поиск решения».

Установка параметров оптимизации в окне «Поиск решения» должна выглядеть так, как показано на рис. 15.5.

Рис. 15.5. Ввод данных для примера «Оптимальный план выпуска продукции мебельного цеха» в окно «Поиск решения»

4. Щелкните по кнопке «Выполнить».

Оптимизационная программа MS-Excel выполнит поиск решения, после чего появится окно «Результаты поиска решения» (рис. 15.6). Прочтите сообщение программы в этом окне. Если вы все сделали правильно, программа сообщит: «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены».

Рис. 15.6. Вид окна «Результаты поиска решения»

Вид листа Excel, соответствующий оптимальному решению, показан на рис. 15.7.

Оптимальный план производства мебели
	Параметры
Ресурсы	Запасы	Продукты
		Ш	Т
ДСП	350	3,5	1
Стекло	240	1	2
Труд	150	1	1
Прибыль		200	100
	Х1	Х2		Расход
Переменные	80	70		ДСП	350
				Стекло	220
				Труд	150
	Целевая функция
Р =	23000

Рис. 15.7. Результаты решения примера «Оптимальный план выпуска продукции мебельного цеха» на листе MS-Excel

5. Для того чтобы убедитесь, что переключатель в окне «Результаты поиска решения» находится в положении «Сохранить найденное решение», щелкните по кнопке Ok и прочтите ответ в ячейках В12:С12.

В ячейках F12:F14 содержатся значения ресурсов, которые не­обходимы для полученного оптимального плана.

В случае, если вы неверно задали знак ограничений, ввели не­верные формулы для целевой функции или для ограничений и оптимизационная программа не может найти решения, в окне появятся сообщения:

«Значения целевой ячейки не сходятся» или:

«Поиск не может найти решения», или:

«Условия линейной модели не выполняются».

В этом случае следует переставить переключатель в окне «Ре­зультаты поиска решения» в положение «Восстановить исходные данные», щелкнуть по кнопке Ok и проверить организацию данных на листе Excel и в установках окна «Поиск решения».

Рассмотрим теперь более сложный пример, включающий боль­шее количество переменных решения. Этот пример позволит про­демонстрировать дополнительные технические приемы, полезные при исследовании средних по размеру моделей линейного про­граммирования с помощью Excel.

Задание 1

Необходимо выполнить расчеты, сохранить электронную таблицу с ними.

Требуется расфасовать 1400 кг сыпучего материала по контейнерам (каждый вмещает по 270 кг), бочкам (каждая вмещает по 130 кг) и канистрам (каждая вмещает по 90 кг). Вам надо определить, сколько контейнеров, бочек и канистр потребуется для расфасовки всего сыпучего материала.

Задание 2

Перед вами стоит задача расселения постояльцев в гостинице. На этот раз прибыло 125 человек. В гостинице имеются одно-, двух- и трехместные номера. Койко-мест в гостинице достаточно для всех прибывших. Вам надо опре­делить, какое количество одно-, двух- и трехместных номеров потребуется для полного расселения постояльцев.

Задание 3

Перед вами стоит задача распределения ресурсов. Предприятие про­изводит два типа изделий: изделие А и изделие Б. На производство изделия А рас­ходуется 4 единицы условного сырья, на изделие Б расходуется 7 единиц условно­го сырья. На одну рабочую смену предприятие снабжается 22 единицами условно­го сырья.

Для изготовления изделия А требуется 8 рабочих, а для изготовления изделия Б требуется 5 рабочих. Общее количество рабочих на предприятии составляет 30 че­ловек.

Задание 4

Транспортные расходы на перевозку изделия А составляют 3 условные едини­цы, на перевозку изделия Б – 4 условные единицы. Общие транспорт­ные расходы в течение рабочего дня не должны превышать 20 условных единиц. Прибыль от реализации одного экземпляра продукта А составляет 7 денежных единиц, прибыль от реализации одного экземпляра продукта Б составляет 6 де­нежных единиц.

С учетом заданных ограничений на ресурсы вам надо рассчитать оптимальное количество изделия А и изделия Б, производимых за одну рабочую смену, для по­лучения предприятием максимальной прибыли.