Лабораторная работа №2

1. Отделить корни аналитически или графически

2. Уточнить корни методом половинного деления с точностью 10^-6

3. Привести уравнение к сходящейся итерационной форме

4. Уточнить корни методом итераций с точностью 10^-6. Сравнить число итераций с предыдущими результатами

1. а) ; b) .

2. а) ; b) .

3. а) ; b) .

4. а) ; b) .

5. а) ; b) .

6. а) ; b) .

7. а) ; b) ;

8. а) ; b) .

9. а) ; b) .

10. а) ; b) .

11. а) ; b) .

12. а) ; b) .

13. а) ; b) .

14. а) ; b) .

15. а) ; b) .

16. а) ; b) .

17. а) ; b) .

18. а) ; b) .

19. а) ; b) .

20. а) ; b) .

21. а) ; b) .

22. а) ; b) .

23. а) ; b) .

24. а) ; b) .

25. а) ; b) .

26. а) ; b) .

27. а) ; b) .

28. а) ;b) .

29. а) ; b) .

30. а) ;b) .

Лабораторная работа №3

1. Отделить корни аналитически, уточнить один из них методом Ньютона и хорд с точностью до 10^-6.. Сравнить число итераций.

2. Отделить корни графически, уточнить один из них методом Ньютона и хорд с точностью до 10^-6.. Сравнить число итераций.

1. а) ;b) .

2. а) ; b) .

3. а) ; b) .

4. а) ; b) .

5. а) ; b) .

6. а) ; b) .

7. а) ; b) ;

8. а) ; b) .

9. а) ; b) .

10. а) ; b) .

11. а) ; b) .

12. а) ; b) .

13. а) ; b) .

14. а) ; b) .

15. а) ; b) .

16. а) ; b) .

17. а) ; b) .

18. а) ; b) .

19. а) ; b) .

20. а) ; b) .

21. а) ; b) .

22. а) ; b) .

23. а) ; b) .

24. а) ; b) .

25. а) ; b) .

26. а) ; b) .

27. а) ; b) .

28. а) ;b) .

29. а) ; b) .

30. а) ;b) .

Решение системы двух нелинейных уравнений

Дана система из двух нелинейных уравнений: .

Точным решением системы (корнями) является пара чисел: ,.

Отделение корней. Область, в которой находятся корни, можно определить графическим способом.

Если построить графики функции y(x), удовлетворяющих этим уравнениям, в плоскости x,y , то точки пересечения этих функций (т.к. ) будут определять корни системы уравнений. Слева представлен график двух функций (построенный в системеMathCAD), с помощью которого определяются корни системы уравнений:

Уточнение корней методом итераций. При решении системы уравнений методом итераций, она представляется в виде . Если за начальное приближение корней принять пару, то итерационный процесс выглядит, как:

, ….

Если итерационный процесс сходится, т.е. существуют пределы ,,то эти пределы являются решением исходной системы уравнений.

Для метода итераций справедлива следующая теорема:

Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одна (и только одна) пара корней,. Если:

1) функции ,определены и непрерывно дифференцируемы,

2) начальные приближения и все последующие приближения принадлежат окрестностиR,

3) в окрестности R выполняется условие ,,

то процесс итерации сходится.

Уточнение корней методом Ньютона. Для удобства обозначений перепишем систему в виде: . Пусть -приближенные значения корней системы при тогда для точных корней можно записать , . Используя разложение Тейлора для функции многих переменных около и ограничиваясь линейными слагаемыми по и, запишем:

, .

Если рассматривать эти уравнения, как систему линейных уравнений относительно и, то ее определитель

.

По правилу Крамера вычисляем:

,

.

В итоге итерационные формулы принимаю вид:

, ,

где иопределяются предыдущими соотношениями. Итерационный процесс продолжается до выполнения условия: