§4. Алгебраическая система. Подсистема.

В этом параграфе мы обобщим введённые выше понятия и обозначения. Эти обобщения позволят взглянуть на многие множества с операциями и отношениями (не только на группы, кольца и поля) с единой точки зрения.

Напомним, что n-местным предикатом называется n-местное отношение на некотором множестве А, а n-местной функцией из А в B называется функция f: AⁿB (см. Часть I) Если при этом А=B, то функция f называется функцией на А.

4.1. Алгебраическая система.

4.1.1. Определение. Сигнатурой на множестве А называется совокупность предикатных и функциональных символов с указанием их местности на А.

В общем случае сигнатуру на А будем обозначать через _A или просто через . Если f  функциональный или предикатный символ, то его местность обозначается через (f).

Сигнатура  называется функциональной, если она не содержит предикатных символов. Наоборот, если она не содержит функциональных символов, то она называется предикатной.

Пример. На множестве Z целых чисел можно рассматривать двуместные (бинарные) функции  операции «+» и «», одноместное «» (взятие противоположного элемента, 0-местные 0 и 1. Кроме того, рассматриваются двухместные отношения <, , >, . Поэтому можно рассматривать сигнатуру _Z={+, , , 0, 1, <, , >, }, где (+)=()=(<)=()=(>)=()=2, ()=1, (0)=(1)=0. Если (f)=0, то f называется константой.

4.1.2. Определение. Алгебраической системой относительно  называется пара A, , где А  некоторое непустое множество,   сигнатура на А, причём каждому n-местному предикату и функциональному символу из  соответствует некоторый n-местный предикат или, соответственно операция на А. А называется носителем системы.

Пример 2. Группоид, моноид, группа, кольцо, поле  алгебраические системы, которые можно обозначить соответственно через G, , G, , e, G, , e, , K, +, , 0,  , F, +, , 0, 1, , . (Вообще говоря, указывая  мы должны как множество его элементы заключить в фигурные скобки {, }. Но их принято опускать).

Алгебраические системы будем обозначать через те же буквы, что и их носители, только каллиграфическими: A=A, , B=B,  и т.д. Допуская некоторую вольность в обозначениях, мы иногда алгебраическую систему будем обозначать через обозначение её носителя: A=A,  через А, B=B,  через В и т.д.

Система A называется алгеброй, если её сигнатура функциональна и моделью, если её сигнатура предикатна. Так, группоид, моноид, группа, кольцо, поле  алгебры, а N,   модель.

4.2. Подсистемы.

4.2.1. Определение. Алгебраическая система B=B,  называется подсистемой системы A=A, , если BA, и B сама является системой относительно , аналогичной A.

Определение это корректно, так как предикаты и функции, определённые на А, определены и на некоторых его подмножествах. Например, если рассмотреть R, +,  как поле, то Q, +,  также является полем. Так что Q, +,  является подсистемой системы R, +,  как поля. В свою очередь Z, +,  не является подсистемой системы R, +,  как поля, но является подсистемой системы R, +,  как кольца. Таким образом, если XA и A=A,   алгебраическая система, то это не означает, что X,  является подсистемой системы A.

Тот факт, что B=B,  является подсистемой системы A=B, , будем обозначать через BA или BA.

В случаях, когда A является конкретной системой (например, группой или кольцом), к названию её подсистемы присоединяется приставка «под-». Так, если A  группа, то её подсистема называется подгруппой и т.д.

Таким образом, можно дать следующие, независимые определения подгруппоида, подмоноида и т.д.

4.2.2. Определение. Пусть G,   группоид, HG. Тогда H,   подгруппоид, если она сама является группоидом.

Если G, , e  моноид, HG и H, , e  также моноид, то H, , e называется подмоноидом моноида G, , e.

Если G, , e,   группа, HG и H, , e,  тоже является группой, то H, , e,  называется подгруппой группы G, , e, .

Аналогично можно дать определения подкольца и подполя (что предоставляется читателю в качестве упражнения)

Отметим, что для подгруппы H группы G имеется особое обозначение: HG.

4.2.3. Теорема. Справедливы следующие свойства подсистем:

1) Если BA и A=A,   система, то пара B,  является подсистемой системы A=A,  тогда и только тогда, когда любая функция f⁽ⁿ⁾ является также функцией на B:

 b₁, b₂, …, b_nB  f⁽ⁿ⁾(b₁, b₂, …, b_n)B.

2) Если C B, BA, то C A, то есть отношение «быть подсистемой» на множестве систем транзитивно.

3) Если B_, A, I, то ,A, то есть пересечение любого семейства подсистем системы является её подсистемой.

Для конкретных алгебраических систем теорема 4.2.3 имеет естественные формулировки. Например, для групп:

4.2.3. Теорема. Справедливы следующие свойства подгрупп:

1) Подмножество Н группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда для любых х, у из Н имеет место включение хуН.

2) Если AB, BC, то AC.

3) Пересечение любого семейства подгрупп группы является её подгруппой.

Утверждение пункта 1) теоремы 4.2.3  это так называемый критерий подсистемы. Он позволяет для конкретных подсистем избегать рутинную проверку выполнения всех аксиом данной системы при проверке факта, что пара B,  является её подсистемой. Так, для проверки того, что HG, пришлось бы проверить 4 условия вместо двух, для подкольца кольца  три вместо, как минимум, восьми, для подполей  четырёх вместо одиннадцати. Действительно, для подгрупп это вытекает из утверждения пункта 1) теоремы 4.2.3, а для колец и полей  из следующих соответствующих переформулировок:

4.2.4. Критерий подкольца. Если K₁K и K=K, +,   кольцо, то K₁, +,   подкольцо кольца K тогда и только тогда, когда для любых x, yK₁ имеют место включения x+yK₁, xyK₁, yK₁.

4.2.5. Критерий подполя. Если F₁F и F =F, +, , то F₁, +,   подполе поля F тогда и только тогда, когда для любых x, yF₁ имеют место включения x+yF₁, xyF₁, yF₁, yF₁ (в последнем случае y0_F).

Что касается переформулировок пунктов 2) и 3) теоремы 4.2.3 для подколец и подполей, то они естетсвенны и читатель без труда получит их самостоятельно.