§1. Алгебраические операции. Свойства алгебраических операций.

1.1. Наводящие соображения. Из школьного курса математики известно, что для любых целых чисел a и b определены операции сложения a+b и умножения ab, причём в результате сложения и умножения a и b получаем целые числа: a+bZ, abZ. При этом эти операции удовлетворяют следующим свойствам:

1. Для любых целых чисел a и b имеет место переместительный закон сложения:

a+b=b+a.

2. Для любых целых чисел a, b и c имеет место сочетательный закон сложения:

(a+b)+c=a+(b+c).

3. Для любого целого числа aвыполняется свойствоa+0=0+a=a, где 0нуль.

4. Для любого целого числа a имеет место равенство a+(a)=0, где a  противоположное число к a.

5. Для любых целых чисел a, b и c имеют место распределительный закон:

a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc.

6. Для любых целых чисел a и b имеет место переместительный закон умножения:

ab=ba.

7. Для любых целых чисел a, b и c имеет место сочетательный закон умножения:

(ab)c=a(bc).

8. Для любого целого числа a выполняется свойство a1=1a=a, где 1  единица.

Аналогично, для любых рациональных чисел aиbтакже определены операции сложенияa+bи умноженияab, в результате которых, аналогично, получаются рациональные числаa+bиab, причём выполняются аналогичные свойства 18 сложения и умножения для целых чисел. Но в отличии от операций умножения дляZво множествеQвыполняется также свойство

9. Для любого ненулевого рационального числа aсуществует такое рациональное числоb, чтоab=1. Как известно,b==a.

На первый взгляд кажется, что и во множестве Z выполняется это свойство, ведь для любого целого числа a, не равного нулю, существует a=. Но дело в том, что для целых чисел a таких, что | a | >1, не является целым.

Ясно, что для множества R действительных чисел операции сложения и умножения удовлетворяют свойствам, аналогичным вышеперечисленным для этих операций во множестве рациональных чисел.

1.2. Понятие алгебраической операции. Свойства алгебраических операций.

1.2.1. Определение. Говорят, что на множестве M задана (определена) некоторая алгебраическая операция , если для любой упорядоченной пары элементов a и b из M однозначно поставлен в соответствие некоторый элемент c из M:

(a, b)c.

При этом обозначают ab=c.

Так, на множестве целых чисел Z определены алгебраические операции сложения, вычитания, умножения, которые, как известно, обозначаются соответственно через «+», «», «», так как для любых целых чисел a и b они однозначно ставят в соответствие целые числа a+b, ab и ab. В то же время операция деления «:» на множестве Z не является алгебраической: для целых чисел a и b число a:b не обязательно является целым.

Таким образом, алгебраическая операция на М  это некоторая функция с областью определения ММ и областью значений М.

Тот факт, что на множестве М задана алгебраическая операция , обозначается через М; , сама пара М;  называется алгебраической структурой с носителем М и операцией .

Таким образом, Z; +, Z; , Z;   алгебраические структуры.

Если на М задано сразу несколько алгебраических операций, скажем,  и ο, то обозначаем через М; , ο, перечисляя за М все операции. Например, алгебраической структурой является Z; +, , .

1.2.2. Определение.Пусть на множествеMопределена (алгебраическая) операция «». Тогда

1. Если для любых a и b из M выполняется свойство

ab=ba,

то говорят, что операция «» удовлетворяет свойству коммутативности, или, кратко, операция «» коммутативна.

2. Если для любых a, b и c выполняется свойство

(ab)c=a(bc),

то говорят, что операция «» удовлетворяет свойству ассоциативности, или, кратко, операция «» ассоциативна.

3. Если в M существует такой элемент e, что для любого aM имеет место равенство

ae=ea=a,

то e называется нейтральным относительно «».

4. Если для a из M существует bM такой, что

ab=ba=e,

то b называется обратным к a относительно «», a  обратимым элементом относительно «».

5. Пусть на M кроме операции «» определена также алгебраическая операция «ο». Если для любых a, b и c из M выполнено свойство

a(bοc)=(ab)ο(ac),

то говорят, что операция «» удовлетворяет свойству левой дистрибутивности относительно «ο». Если для любых a, b и c из M выполнено свойство

(aοb)c=(ac)ο(bc),

то говорят, что операция «» удовлетворяет свойству правой дистрибутивности относительно «ο». Если выполнены оба из этих свойств, то говорят просто о дистрибутивности операции «» относительно операции «ο».

1.2.3. Замечание.Заметим, чтоесли операция«»коммутативна,то её левая дистрибутивность относительно«ο»равносильна её правой дистрибутивности относительно этой же операции.

1.2.4. Примеры.1. Операции сложения и умножения на множествахZ,QиRявляются коммутативными и ассоциативными. Как известно, в школьной терминологии эти свойства называются соответственнопереместительнымисочетательнымзаконами. Кроме того, в этих множествах есть нейтральные элементы как относительно операции сложения, так и операции умножения. Это, как нетрудно догадаться, соответственно 0 и 1. Далее, в этих множествах существуют также обратимые элементы: относительно сложения все элементы этих множеств обратимы, так как для любогоaZтакжеaZ, для любого aQтакжеaQ, для любогоaRтакжеaR; относительно умножения вZобратимыми являются 1 и1, так как 11=1 и (1)(1)=1, а вQиRобратимыми являются ненулевые элементы этих множеств, так как для любых ненулевыхaQимеемaa=aa=1 иaQи, аналогично, для любых ненулевыхaRимеемaa=aa=1 иaR.

Наконец, операция умножения является дистрибутивной относительно сложения как слева, так и справа на всех трёх указанных множествах Z, Q и R.

1.2.5. За знаками «+» и «» закреплено обозначение операций сложения и умножения целого ряда математических объектов, и во многих случаях они являются алгебраическими. Например, сумма и произведение многочленов также являются многочленами, то есть эти операции на множестве многочленов являются алгебраическими. Или, сумма и произведение квадратных матриц размерности п также являются квадратными матрицами размерности п, то есть эти операции на множестве квадратных матриц размерности п являются алгебраическими. Поэтому эти знаки имеют особое положение в математике, а сами операции, нейтральные и обратные элементы относительно этих операций также имеют специальные обозначения и названия. Так, если алгебраическая операция обозначается через «+», то она называется сложением (или суммированием) (и наоборот), нейтральный элемент е называется нулём и обозначается через 0, обратный к а называется противоположным и обозначается через а. Если алгебраическая операция обозначается через «», то она называется умножением (или произведением) (и наоборот), нейтральный элемент е обозначается через 1, обратный к а так и называется  обратный и обозначается через .

В общем случае, когда мы имеем дело с абстрактной алгебраической операцией , нейтральный элемент называется единицей, а обратный к а обозначается через . При этом саму структуру обозначают черезМ; ; е, или М; ; ;е в зависимости от того, имеет ли М е или обратимы ли (хотя бы частично) его элементы относительно . Также в обозначение включаются и другие операции и его нейтральные и обратимые элементы, если они имеются. Так, Z; +, ; ; 0, 1  множество целых чисел в совокупности с алгебраическими операциями «+», «», с нейтральными элементами соответственно 0 и 1, и операцией «» взятия противоположного элемента. Или, другой пример: Q; +, ; , ; 0, 1.

1.2.6. Теорема. На множестве Z_m классов вычетов определены алгебраические операции сложения «+» и умножения «» классов по правилам: и . Эти операции обладают свойствами коммутативности, ассоциативности, для обеих операций существуют нейтральные элементы. Кроме того, операция сложения обратима, а операция умножения дистрибутивна относительно сложения. Наконец, класс имеет обратный элемент по умножению тогда и только тогда, когда (, m)=1.

Доказательство. Сначала покажем, что введённые операции являются алгебраическими на множестве классов вычетов. Именно, мы должны показать, что в результате сложения и умножения снова получаем классы. А для этого достаточно показать, что сложение и умножение не зависят от выбора представителей классов. Действительно, если a₁ и b₁, то a₁a(mod m), b₁b(mod m) и по свойствам сравнений получаем, что a₁+b₁a+b(mod m) и a₁b₁ab(mod m), то есть = и =. Это означает, что результаты сложения и умножения классов не зависят от выбора представителей: равенства = и = влекут +=+ и =.

Теперь докажем, что сложение и умножение удовлетворяет вышеперечисленным свойствам.

Для сложения:

1) Для любых классов и

++,

то есть +=+.

2) Для любых классов , и имеем

+(+)++(+)+,

то есть для любых классов , и имеем +(+)=(+)+.

3) Роль «единицы» (то есть нейтрального элемента операции сложения) играет класс, содержащий 0: для любого класса имеем +==, то есть +=.

4) Для любого класса и класса , содержащий противоположное число к a, имеем +==, то есть = .

Для умножения:

1) Для любых классов и

,

то есть =.

2) Для любых классов , и имеем

()(),

то есть для любых классов , и имеем ()=().

3) Роль «единицы» (то есть нейтрального элемента операции умножения) играет класс, содержащий 1: для любого класса имеем ==, то есть =.

Теперь покажем, что умножение классов дистрибутивно относительно сложения:

(+)====+=+,

то есть умножение классов дистрибутивна слева относительно сложения. Так как умножение классов коммутативно, то в силу замечания 1.2.3 сразу получаем её дистрибутивность справа, то есть получаем умножение классов дистрибутивно относительно сложения.

Наконец, докажем, что для любого класса , взаимно простого с m, существует обратный по умножению и, обратно, если для класс имеет обратный по умножению, этот класс взаимно обратен с модулем.

Пусть  класс, взаимно простой с модулем. Это означает, что (a, m)=1. Тогда по свойству 1^о взаимно простых чисел для a и m существуют целые числа u и v такие, что au+mv=1. Тогда au=1mv и au1(modm), что означает ==, откуда=, и класс является обратным к .

Обратно, пусть для Z_m существует . Предположим, (a, m)=d. Покажем, что d=1. Пусть =. Тогда =, что означает=, откудаau1(mod m). Но d делит au и m. Значит, d делит 1 (свойство 5^о сравнений). Следовательно, d=1, и a и m  взаимно просты.

(1), (3), (4) (5), (7), (8)  воспользовались определением сложения классов.

(2) Воспользовались коммутативностью сложения целых чисел.

(6) Воспользовались ассоциативностью сложения целых чисел.

(9), (11), (12), (13), (15), (16)  воспользовались определением умножения классов.

(10) Воспользовались коммутативностью умножения целых чисел.

(14) Воспользовались ассоциативностью умножения целых чисел.

Теорема доказана.

1.2.7. Следствие.Операция умножения на множествеZклассов вычетов,взаимно простых с модулем,является алгебраической.

Доказательство. Согласно предыдущей теореме, операция умножения классов является алгебраической. Поэтому достаточно заметить, что произведение классов, взаимно простых с модулем даёт класс, взаимно простый с модулем. Но известно, если (a,m)=1, (b,m)=1, то (ab,m)=1 (свойство 5^овзаимно простых чисел). Это означает, что если (,m)=1 и (,m)=1, то (,m)=1, то есть операция умножения является алгебраической на множестве классов, взаимно простых с модулем.

Следствие доказано.