2.2. Моноид.

2.2.1. Определение. Полугруппа М;  называется моноидом, если М;  имеет единицу.

Свойство 2^о. Единица моноида единственна.

Пример. Z; +; 0, N; ; 1, Z; ; 1  моноиды (почему?), N; + моноидом не является (нет «единицы» относительно «+»).

2.3. Группа.

2.3.1. Определение. Группой называется моноид G; ; е, в котором каждый элемент обратим.

Таким образом

2.3.1. Определение. Группой называется множество G с заданной на нем алгебраической операцией «», обладающей следующими свойствами (аксиомами групп):

1. Операция ассоциативна

2. В G существует нетральный элемент относительно «».

3) Каждый элемент из G обратим относительно «».

Наконец, можно дать следующее более подробное определение группы:

2.3.1. Определение. Группой называется множество G с заданной на нем алгебраической операцией «», обладающей следующими свойствами (аксиомами групп):

1) Для любых элементов x, y, z из G

(xy)z=x(yz) (ассоциативность умножения).

2) В G существует такой элемент е, что для любого x из G имеет место равенство xe=ex=x.

3. Для любого x из G существует такой элемент y, что xy=yx=e.

Алгебраическую операцию , относительно которой определена группа, называется операцией умножения. Элемент е из условия 2 называется единицей группы. Если мы хотим подчеркнуть, что e  единица группы G, то этот факт будем обозначать через e_G. Элемент y из условия 3 называется обратным к x и обозначается через x.

Если кроме аксиом 1 — 3 выполняется следующая аксиома

4) Для любых х, у из G

ху=ух,

то группа G называется коммутативной. Если эта аксиома не выполняется, то группа называется некоммутативной.

Примеры. 1. Множество R* ненулевых действительных чисел является группой относительно умножения. Действительно, для любых x, yR* их произведение xyR*, при этом выполняются все аксиомы группы:

1) произведение ассоциативно;

2) единицей является обычная единица 1;

3) для любого xR* существует x. Это — : x=1.

Эта группа называется мультипликативной группой действительных чисел. Она является коммутативной группой: для любых х, уR* имеем ху=ух.

Заметим, что все множество R относительно умножения группой не является, так как для нуля обратного элемента не существует. С другой стороны, относительно сложения R является группой, так как очевидным образом имеем, что для любых x, yR x+yR, ассоциативность сложения справедлива, роль единицы играет нуль: для любого xR имеем x+0=0+x=x. Наконец, роль обратного к x играет x: x+(x)=(x)+x=0. Эта группа называется аддитивной группой действительных чисел. Она также коммутативна: для любых x, yR имеет место равенство x+y=y+x.

Аналогично доказывается, что множество ненулевых рациональных чисел Q* образует абелеву группу относительно умножения, а множества всех целых чисел Z и рациональных чисел Q образуют абелевы группы относительно сложения. Соответственно, группа Q*— мультипликативная группа множества рациональных чисел, а группы Z, Q — аддитивные группы множеств целых, рациональных чисел.

2. Множество Z_m классов вычетов по модулю целого числа m2 образует коммутативную группу относительно операции сложения классов.

Это вытекает из теоремы 1.2.6. Действительно, согласно этой теоремы операция сложения на Z_m алгебраическая, а также выполняются все аксиомы коммутативной группы:

1) Для любых классов , и имеет место+(+)=(+)+.

2) Роль «единицы» играет класс, содержащий 0: для любого класса имеет место +=.

3) Для любого класса и класса , содержащего противоположное число к a, имеет место +=, то есть = .

4) Для любых классов и имеет место+=+.

3. Множество Z классов вычетов по модулю целого числа m2, взаимно простых с модулем, образует коммутативную группу относительно операции умножения классов.

Действительно, по 1.2.7 операция умножения является алгебраической на множестве Z классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Кроме того, по 1.2.6 для этой операции выполняются все свойства 1^о  4^о определения коммутативной группы:

1) Для любых классов и имеет место=.

2) Для любых классов , и имеет место()=().

3) Роль «единицы» играет класс, содержащий 1: для любого класса имеет место =.

4) Любой класс , взаимно обратный с m, имеет обратный .

2.3.2. Определение. Группа классов вычетов по модулю числа называется аддитивной группой классов вычетов.

2.3.3. Определение. Группа классов вычетов по модулю числа m, взаимно простых с модулем, называется мультипликативной группой классов вычетов.