Математика

к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и кривые по их каноническим уравнениям.

а) 16x2 + 25y2 + 32x − 100y − 284 = 0; б) x2 −10x − 3y + 10 = 0.

Решение.

а) 16x2 + 25y2 + 32x − 100y − 284 = 0 – уравнение вида (2),

B = 0.

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

(16x2 + 32x)+ (25y2 −100y)− 284 = 0; 16(x2 + 2x)+ 25(y2 − 4y)− 284 = 0;

16(x2 + 2x + 1− 1)+ 25(y2 − 4y + 4 − 4)− 284 = 0;

16(x + 1)2 −16 + 25(y − 2)2 − 100 − 284 = 0;

16(x + 1)2 + 25(y − 2)2 = 400;

(x + 1)2 + (y − 2)2 = 1.

25 16

151

Сделаем параллельный перенос осей координат. За новое начало координат примем точку O′(− 1; 2). Воспользуемся формулами (1) § 7:

x′ = x + 1, y′ = y − 2.

Каноническое уравнение принимает вид x′2 + y′2 = 1. 25 16

Таким образом, заданная кривая является эллипсом (рис. 1).

Рис. 1

б) x2 −10x − 3y + 10 = 0.

Решение.

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

(x2 − 10x)− 3y + 10 = 0;

(x2 −10x + 25 − 25)− 3y + 10 = 0;

(x − 5)2 − 25 − 3y + 10 = 0;

(x − 5)2 = 3y + 15;

(x − 5)2 = 3(y + 5).

152

Сделаем параллельный перенос осей координат. За новое начало координат примем точку O′(5; − 5). Формулы параллель-

Каноническое уравнение принимает вид x′2 = 3y′.

Таким образом, заданная кривая является параболой (рис. 2).

Рис. 2

Задача 2. Привести уравнение кривой второго порядка 4xy + 3y2 + 16x + 12y − 36 = 0 к каноническому виду. Построить

соответствующие системы координат и кривую по ее каноническому уравнению.

Решение.

Поскольку B = 4 ≠ 0, вначале выполним поворот системы

153

Следовательно, α = arcsin 2 ; α ≈ 63°.

5

Тогда формулы поворота системы координат дадут:

α ≈ 63°, данное уравнение сводится к уравнению (*), т.е. к уравнению вида (2).

154

На втором этапе выполняем параллельный перенос системы координат.

Для этого сгруппируем члены с одноименными переменными:

(4x′2 + 8 5x′)+ (− y′2 − 4 5y′)− 36 = 0;

4(x′2 + 2 5x′)− (y′2 + 4 5y′)− 36 = 0.

Дополним полученные выражения до полных квадратов:

4(x′2 + 2 5x′ + 5 − 5)− (y′2 + 4 5y′ + 20 − 20)− 36 = 0; 4(x′ + 5)2 − 20 − (y′ + 2 5)2 + 20 − 36 = 0;

4(x′ + 5)2 − (y′ + 2 5)2 = 36;

155

было взаимнооднозначным, обычно считают, что

0 ≤ ρ < ∞ и 0 ≤ ϕ < 2π (или − π < ϕ ≤ π ).

Замечание 3.

На практике пользуются системой полярных координат, в которой радиус ρ может принимать и отрицательные значения.

Следует запомнить, что система полярных координат, в которой полярный радиус ρ может принимать любые значения (положи-

157

158

Задачи

оси OP (положительное направление указано стрелкой) и отложим от полюса в положительном направлении оси ΟΡ1 отрезок

ОМ, равный трем единицам масштаба. Конец М этого отрезка и будет искомой точкой (рис. 4).

Аналогично строятся точки N, Q, R.

Рис. 4

Задача 2. Найти прямоугольные координаты точки А, по-

159

y = 2 sin π = 2 2 = 2 , y = 2 . 4 2

Следовательно, A( 2; 2 ).

Задача 3. Дано уравнение кривой ρ = a(1 + cosϕ) в поляр-

ных координатах. Требуется построить эту кривую по ее полярному уравнению.

Решение.

Построим линию ρ = a(1+ cos ϕ), где a > 0.

Будем давать значения полярному углу ϕ от ϕ = 0 до

ϕ = 2π через промежуток α = π и вычислим соответствующие

8

значения ρ. Найденные значения поместим в таблицу. Примем

произвольный отрезок за единицу масштаба, которой мы будем пользоваться при построении ρ. По значениям ρ и ϕ из табли-

Ввиду четности функций кривая симметрична относительно полярной оси (рис. 5).

160