2.6. Построение эмпирической функции распределения

Предполагается, что известен закон распределения времени работы элемента до отказа

,

где T₁  случайная наработка до первого отказа; F(t) – функция распределения времени работы до первого отказа.

Если функция F(t) задана в ступенчатом виде (рис. 2.16), то среднее время наработки до отказа определится по формуле:

(2.71)

или также в виде ступенчатой функции (рис. 2.17) по формуле

(2.72)

В интервале t_i ≤ t ≤ t_i+1 для дискретного распределе­ния интен­сивность отказов λ(t) имеет вид:

. (2.73)

Пример 2.20. При испыта­ниях N = 35 элементов после каждого часа фиксиро­валось число произошедших отказов. Результаты этих испытаний и расчетов сведены в табл. 2.7, 2.8.

Таблица 2.7

Результаты испытаний

Момент времени, ti,ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	3	3	5	8	7	6	2	1	0

Таблица 2.8

Определение функции распределения F(t_i)

ti	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F(ti)	0	0,086	0,172	0,314	0,543	0,743	0,914	0,971	1,00	1,00

Решение. 1. Для этого слу­чая эмпирическую фун­кцию распределения можно вычислить по формуле

2.  Вероятность безотказной работы определится как Q = 1 – P(t). Например, для t₀ = 4 ч P(4) = 1– F(4) = 1– 0,314 = 0,686.

3.  Вероятность отказа за время t₀ = 4 ч, Q(4) = F(4) = 0,314.

4. Вероятность безотказной работы в интервале времени от t = 2 ч до t = 6 ч при условии, что элемент проработал безотказно 2 ч:

.

5. Вероятность отказа в интервале времени от t = 2 ч до t = 6 ч при условии, что элемент проработал безотказно 2 ч,

Q(2;6) = 1 – P(2,6) = 1– 0,28 = 0,72.

6. Среднее время до отказа находим по формулам (2.71) и (2.72) соответственно:

7. Интенсивность отказов (как функцию времени) удобнее всего вычислять в этом случае из данных испытаний по формуле

,

в которой t₀ = 0. Результаты вычислений сведены в табл. 2.9.

Таблица 2.9

Результаты вычислений

ti	1	2	3	4	5	6	7	8	9
, 1/ч	0	3/35= 0,086	3/32= 0,095	5/29= 0,172	8/24= 0,333	7/16= 0,437	6/9= 0,667	2/3= 0,667	1,00

2.7. Метод равномерного распределения

При использовании равномерного распределения для обеспечения требуемого уровня надежности системы задается одинаковая надежность всех подсистем. Предполагается, что система состоит из n последовательно соединенных подсистем элементов. Основным недостатком этого метода является то, что заданный уровень надежности подсистем устанавливается без учета степени трудности его достижения.

Пусть Р_тр(t)  требуемая вероятность безотказной работы системы, а Р_i – вероятность безотказной работы i-й подсистемы. Тогда

, или ,i = 1, 2, …, n. (2.74)

Пример 2.21. Рассмотрим систему связи, состоящую из трех подсистем (передатчик, приемник и кодирующее устройство). Чтобы система работала, должна работать каждая из этих подсистем. Какие требования к надежности каждой подсистемы должны быть заданы, чтобы получить вероятность безотказной работы, равную 0,8573?

Решение. С помощью уравнения (2.74) получаем

Р_i(t) = (Р_тр(t))^1/3 = (0,8573)^1/3= 0,95.

Таким образом, для каждой подсистемы этой системы связи должна быть задана вероятность безотказной работы, равная 0,95.

Пример 2.22. Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна P_тр(t) = 0,95. Система состоит из n = 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение. Вероятность безотказной работы элемента в этом случае определится, следуя формуле (2.74). Так как вероятность P_тр(t) близка к единице, то удобнее вычислить вероятность отказа системы по формуле (2.8). Тогда вероятность отказа каждого элемента системы Q_тр = 1–P_тр(t) = 1 – 0,95 = 0,05. Тогда .