Лекции по Матану, Семестр 2

Эти утверждения вытекают из оценок для собственных инте-

Разумеется, если говорить только о сходимости интегралов и не сравнивать их значения, то справедливость неравенств 0 ? f(x) ? g(x) можно требовать не при всех x [a, d), а только при x, близких к d.

Теорема 9.10.4. Пусть функции f(x) и g(x) положительны на [a, d) и интегрируемы на каждом отрезке [a, b], b < d. Если существуют такие положительные числа c1 и c2 , что при всех x [a, d) справедливы оценки

то для произвольной неотрицательной функции ϕ(x), интегрируемой на каждом отрезке [a, b] [a, d), интегралы

сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Согласно формуле интегрирования по частям для собственных интегралов при каждом b < d справедливо равенство

∫ b ϕ(x) ψ(x) dx = Φ(x) ψ(x) b − ∫ b Φ(x) ψ′(x) dx,

переходя в котором к пределу при b → d−0, приходим к (9.10.11). Теорема доказана.

В теореме 9.10.6 можно было предполагать, что существуют какие-либо два из выражений (9.10.8)–(9.10.10), и утверждать существование третьего выражения и справедливость равенства

(9.10.11).

На теореме 9.10.6 основываются признаки сходимости несобственных интегралов от произведения двух функций.

Теорема 9.10.7. Пусть на промежутке [a, d) функция ϕ(x) непрерывна, е¨е первообразная Φ(x) ограничена, а функция ψ(x) имеет непрерывную производную. Если ψ(x) → 0 при x → d − 0

и сходится интеграл

∫ d

|ψ′(x)| dx,

a

то сходится интеграл

∫ d

ϕ(x) ψ(x) dx. (9.10.12)

a

выполнены условия признака Дирихле, согласно которому схо-

дится интеграл

∫ d

ϕ(x)[ψ(x) − α] dx.

a

Интеграл от функции αϕ(x) сходится в силу существования предела функции Φ(x), поэтому утверждение теоремы справедливо.

Отметим, что из существования предела первообразной Φ(x) следует е¨е ограниченность. Таким образом, в признаке Абеля требования на функцию ϕ(x) немного усилены по сравнению с условиями из признака Дирихле. В то же время условия на функцию ψ(x) ослаблены: там предполагалось е¨е монотонное стремление к нулю, а теперь – монотонное стремление к пределу, который не обязательно равен нулю.

На несобственные интегралы переносятся неравенства Г¨ельдера и Минковского, прич¨ем в этом случае они дают и признаки сходимости несобственных интегралов.

Теорема 9.10.10 (Неравенство Г¨ельдера). Пусть p > 1 и 1/p + 1/q = 1. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на каждом отрезке [a, b] [a, d) и сходятся несобственные интегралы

(9.10.14)

Теорема 9.10.11 (Неравенство Минковского). Пусть p > 1

и функции f(x) и g(x) интегрируемы на каждом отрезке [a, b]

Для доказательства этих теорем записываем неравенства вида (9.10.14) и (9.10.15) для произвольного отрезка [a, b] [a, d) и, пользуясь неотрицательностью подынтегральных функций, переходим к пределу при b → d − 0.

До сих пор рассматривались несобственные интегралы, когда особенность была в одном из пределов интегрирования, обычно это был верхний предел.

Рассмотрим теперь интегралы, имеющие особенность и в верхнем и в нижнем пределах интегрирования. Пусть для определ¨енности это интегралы по промежутку (−∞, +∞).

Говорят, что интеграл

сходится, если для некоторого числа c сходятся оба интеграла

Из аддитивности собственных интегралов относительно промежутка интегрирования следует, что сходимость интеграла (9.10.16) и его значение не зависят от того, какое число c было взято в этих определениях.

Если хотя бы один из интегралов (9.10.17) расходится, то интеграл (9.10.16) называют расходящимся.

Рассмотрим интеграл по конечному отрезку [a, b], когда подынтегральная функция имеет особенность в окрестности некоторой внутренней точки c [a, b]. Тогда несобственный интеграл

∫ b

a

называют сходящимся, если сходятся оба интеграла

ac

А если хотя бы один из интегралов (9.10.19) расходится, то интеграл (9.10.18) называют расходящимся.

Обсудим это определение подробнее. Если интеграл (9.10.18) сходится, то равенство (9.10.20) означает, что

Здесь ε1 и ε2 стремятся к +0 независимо друг от друга.

Но в некоторых естественно возникающих задачах (одна из них встретится в главе 19) нужно более слабое свойство, когда такие пределы рассматриваются при ε1 = ε2, т.е. когда существует предел

Если предел (9.10.21) существует, то говорят, что интеграл

(9.10.18) сходится в смысле главного значения или по Коши.

как несобственный расходится, а как интеграл в смысле главного значения он сходится и равен нулю.

Интеграл в смысле главного значения вводят и для случая, когда интегрирование вед¨ется по всей оси (−∞, +∞): по определению полагают

Наконец, функция f(x) может иметь на промежутке [a, b] конечное число особенностей, которые могут быть в концевых точках a и b и в некоторых внутренних точках из (a, b).

Тогда (a, b) разбивают на конечное число таких промежутков, что функция f(x) имеет на каждом из них единственную особенность в каком-либо из концов промежутка. Если сходятся несобственные интегралы по каждому из этих промежутков, то говорят, что сходится несобственный интеграл по промежутку [a, b]. В противном случае интеграл по промежутку [a, b] называют расходящимся. Если несобственный интеграл

∫ b

f(x) dx

a

сходится, то в качестве его значения берут сумму всех интегралов по построенным промежуткам.

§9.11. Задачи и упражнения

9.11.1.Докажите, что если функция f(x) непрерывна на [−1, 1]

идля каждой непрерывной на [−1, 1] ч¨етной функции g(x)

∫ 1

f(x)g(x) dx = 0,

−1

то функция f(x) неч¨етна.

интегрируема на [0, 1].

9.11.3.Докажите, что если на отрезке функции f(x) и g(x) интегрируемы, то интегрируемы также функции max(f(x), g(x))

иmin(f(x), g(x)).

9.11.4.Докажите, что если функция f(x) интегрируема, то

∫ x(∫ y ) ∫ x

f(t) dt dy = f(t)(x − t) dt.

0 0 0

9.11.5. Докажите, что если функция f(x) непрерывна на от-

9.11.6. Докажите, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [−1, 1], то

9.11.7.Докажите, что если на [a, b] функция f(x) непрерывна

инеотрицательна, то

9.11.8. Докажите, что если функция f(x) интегрируема и

∫ x

f(x) = f(t) dt,

0

то f(x) ≡ 0.