Лекции по Матану, Семестр 2

Поэтому тождество

ϕ(x) ≡ Lx − (Lx − ϕ(x))

да¨ет представление ϕ(x) в виде разности двух возрастающих функций, удовлетворяющих, как легко видеть, условию Липшица первого порядка.

Оценим разность верхней и нижней сумм Дарбу–Стилтьеса функции f по ϕ. Если |ϕ(x′) −ϕ(x′′)| ? L|x′ −x′′|, то для каждого разбиения T имеем

ST (f dϕ) − ST (f dϕ) = ∑n (Mk(f) − mk(f))(ϕ(xk) − ϕ(xk−1)) ?

k=1

? L ∑n (Mk(f) − mk(f))∆xk =

k=1

= L(ST (f) − ST (f)).

Таким образом, разность сумм Дарбу–Стилтьеса функции f по ϕ оценена через разность сумм Дарбу–Римана функции f.

Следовательно, для любых точек ξ вместо (10.2.7) получаем оценку

|I*(f dϕ) − σT (f dϕ, ξ)| ? L(ST (f) − ST (f)),

и используя интегрируемость функции f по Риману, приходим к существованию интеграла (10.2.4).

§ 10.3. Свойства интеграла Римана–Стилтьеса

Аддитивность интеграла Римана относительно промежутка интегрирования (теорема 9.3.1) в отличие от свойств линейности на интеграл Римана–Стилтьеса переносится не в полном объ¨еме.

Теорема 10.3.1. Если функция f(x) интегрируема по функции ϕ(x) на отрезке [a, b] и c (a, b), то f(x) интегрируема по

Но в отличие от интеграла Римана из существования интегралов в правой части равенства (10.3.1) не следует существование интеграла в левой части.

Пусть, например,

существуют и оба они равны нулю – первый в силу равенства нулю функции g(x), а второй в силу постоянства функции ψ(x).

Вместе с тем, интеграл

∫ 1

g(x) dψ(x)

−1

не существует. В самом деле, если xk−1 и xk – такие точки разбиения T , что 0 (xk−1, xk), то справедливо равенство

σT (g dψ, ξ) = g(ξk)(ψ(xk) − ψ(xk−1)) = g(ξk).

Значит, для ξk > 0 эта интегральная сумма равна 1, а для ξk < 0

первого рода, даже когда разрыв является устранимым. Привед¨ем теоремы об интегрировании неравенств для инте-

грала Римана–Стилтьеса.

Теорема 10.3.2. Пусть на отрезке [a, b] для функций f(x) и g(x) справедливо неравенство f(x) ? g(x) и эти функции интегрируемы по функции ϕ(x), которая на [a, b] возрастает. Тогда

f(x) dϕ(x) ? g(x) dϕ(x).

aa

a= ξ0 ? ξ1 ? ··· ? ξn ? ξn+1 = b,

аx* – набор точек xk. Если какие-либо две точки ξk совпадают, считаем, что они задают одну точку разбиения T *. При этом xk

[ξk, ξk+1].

Для диаметра разбиения T * справдлива оценка λT * ? 2λT . Поэтому λT * < δ и согласно (10.3.4) для интегральной суммы

σT * (f dϕ, x*) имеем

∫ b

a

Таким образом, из (10.3.5) следует, что для произвольного разбиения T , для которого λT < δ/2, и любого набора точек ξ имеет место оценка

∫ b

a

Это обеспечивает существование интеграла

∫ b

ϕ(x) df(x)

a

и выполнение равенства (10.3.3). Теорема доказана.

Из теорем 10.3.4 и 10.2.2 следует, что функции ограниченной вариации интегрируемы по непрерывным функциям.

В некоторых случаях интеграл Римана–Стилтьеса можно представить как интеграл Римана.

Теорема 10.3.5. Пусть функции f(x) и ϕ(x) интегрируемы по Риману на отрезке [a, b] и

∫ x

Φ(x) := ϕ(t) dt.

a

Тогда функция f(x) интегрируема по Φ(x) и справедливо равен-

aa

98 Гл. 10. Интеграл Римана–Стилтьеса

Зададим произвольное ε > 0. Согласно теореме 9.2.3 существует число δ1 > 0 такое, что для любого разбиения T с λT < δ1

Положив δ := min(δ1, δ2), получаем, пользуясь (10.3.7), что для каждого разбиения T с λT < δ и любом наборе точек ξ выполняется неравенство

откуда следует (10.3.6). Теорема доказана.

Часто используется следующее утверждение, вытекающее из теоремы 10.3.5.

Следствие 10.3.6. Если на отрезке [a, b] функция Φ(x) непрерывно дифференцируема, то каждая интегрируемая по Риману функция f(x) интегрируема по функции Φ(x) и справедливо

Интеграл Римана–Стилтьеса выражается через интеграл Римана не всегда.

Например, пусть c (a, b) и

Легко видеть, что для каждой непрерывной на [a, b] функции f(x)

∫ b

f(x) dg(x) = f(c).

a

a

не может выполняться для всех непрерывных функций f(x) . Покажем, что если бы такая интегрируемая по Риману функ-

ция (x) существовала, то из (10.3.8) следовало бы, что f(c) = 0. Рассмотрим функцию fn(x), график которой изображен на ри-

сунке.

Согласно (10.3.8) для каждого n

∫ b

fn(x) (x) dx = f(c).

a

Таким образом, равенство вида (10.3.8) не может выполняться для всех непрерывных функций f(x).

Продолжим изучение свойств интеграла Римана–Стилтьеса. Пусть функция ψ(x) равна 1 в точке c, являющейся внутренней точкой отрезка [a, b], и равна нулю во всех остальных его точках. Поскольку ψ(x) – функция ограниченной вариации, согласно теореме 10.2.2 для каждой непрерывной функции f(x) существу-

ет интеграл

∫ b

f(x) dψ(x). (10.3.9)

a

а при ∆xm → 0 в силу непрерывности ϕ(x) в точке c предел выражения в правой части этого равенства равен ϕ(b) − ϕ(c).

Если c – точка устранимого разрыва функции f, то вводим

и проводим аналогичные рассуждения с функцией (x) вместо g(x). Тогда в тех же обозначениях имеем

σT ( dϕ, ξ) = (ξm)(ϕ(xm) − ϕ(xm−1)),

а это выражение стремится к нулю при ∆xm → 0.

Итак, теорема доказана, если f(x) имеет одну точку разрыва. В общем случае теорема вытекает из линейности интеграла Римана–Стилтьеса и того, что функцию f(x) можно сделать непрерывной на [a, b], прибавив к ней линейную комбинацию функций g(x + α) и (x + β) при соответствующих сдвигах аргумента

α и β.

§10.4. Задачи и упражнения

10.4.1.Докажите, что если на отрезке функция f(x) имеет ограниченную вариацию и |f(x)| ? d > 0, то функция 1/f(x) также имеет ограниченную вариацию.

10.4.2.Является ли ограниченность функции f(x) необходимым условием существования интеграла Римана–Стилтьеса

∫ b

f(x) dϕ(x)?

a

10.4.3.Докажите, что интеграл Римана–Стилтьеса от непрерывной функции по непрерывной функции может не существовать.

10.4.4.Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и существует интеграл Римана–Стилтьеса

∫ b

f(x) dϕ(x). (10.4.1)

a