Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекції з курсу фізики «Механіка та молекулярна фізика»

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
3.12 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

dWV = f (V )dV = dWε = n( ε )dε

 

 

 

 

 

 

 

 

m 3 / 2

 

- mV

2

 

 

ε 2

m

3 / 2

 

 

− ε

= 4πV

2

exp

 

dV = 4π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2kTπ

 

 

 

2kT

 

 

 

 

m

2πkT

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4ε exp(- ε / kT )

 

 

 

 

 

 

 

exp(- ε / kT )

dε .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

ε

 

 

 

 

 

=

d

 

ε

 

(2.5.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π ( kT )

2

 

 

 

 

 

 

π ( kT ) 2

 

 

 

 

 

Отже, функція розподілу за кінетичною енергією має вигляд:

 

 

2 exp(- ε / kT )

 

 

 

 

 

 

dW

=

 

 

ε

 

dε .

(2.5.22)

 

 

ε

π

 

 

 

( kT )3 / 2

 

Якщо знайти похідну від густини імовірності n(ε) за кінетичною енергією, потім прирівняти її до нуля, тоді знайдемо найімовірніше значення цієї енергії:

 

 

 

dn( ε )

µ exp( -ε / kT )

d

ε

 

-

 

 

ε

 

 

= 0 .

 

 

 

(2.5.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значить, ε iм = kT / 2 . Цікаво, що ε (Viм ) =

mViм2

= kT ¹ ε iм . Тепер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

знайдемо середнє значення кінетичної енергії:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mV 2

 

2 exp( -ε / kT )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

ε =

∫ εn( ε )dε =

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dε

 

 

 

2

 

 

 

 

 

( kT )3 / 2

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

∫ ε 3 / 2d (− exp( −ε / kT ))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πkT 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3kT

 

 

 

 

 

(- exp( -ε / kT ))

 

 

3kT

 

 

 

2

 

 

 

3kT

 

=

 

 

3d

=

 

 

e y

dy

=

. (2.5.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πkT 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

240

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки ε = 3 kT , то значить, між середнім значенням кінетичної

2

енергії та її найімовірнішим значенням виконується наступне співвідношення: ε = 3ε iм . При цьому: ε iм = ε x = ε y = ε z .

Тепер можна обчислити середнє значення квадрата кінетичної енергії частинки ідеального газу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 exp( -ε / kT )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

ε

dε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

=

 

∫ ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( kT )3 / 2

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− ε

 

 

 

 

 

 

−ε kT

3

 

 

 

 

 

 

2

 

5 / 2

 

 

 

 

 

 

 

5 kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

d exp(

 

 

)

=

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

ε dε

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

πkT 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15( kT )3 / 2

 

 

 

 

−ε

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε d - e

 

 

 

 

 

=

 

 

k T

 

.

 

(2.5.25)

 

 

 

 

 

 

2

 

π

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином, тепер можна знайти співвідношення між величинами характерних енергій:

ε кв =

kT

 

 

>

ε =

3kT

> ε iм .

 

15

(2.5.26)

 

 

2

 

 

 

2

 

 

Воно є аналогічним до співвідношення між характерними швидкостями руху частинок ідеального газу, що наведено у попередньому підрозділі.

2.5.6. Досліди, які підтверджують характер розподілу частинок термодинамічних систем за швидкостями

Дослід Штерна 1920 р. був першим з вимірювання теплових швидкостей. Прилад, що використовувався для цієї мети, складався з платинової нитки, яку вкрито сріблом, та двох коаксіальних циліндрів, що розташовані навколо цієї нитки. По нитці пропускали електрострум, що призводив до випаровування частинок срібла. Срібло через аксіальну щілину у внутрішньому екрані протікає та осідає на зовнішньому екрані. Газове середовище у приладі було у

241

стані технічного вакууму, щоб не було зіткнень між частинками газового середовища та срібла, бо це призводило б до хаотичної зміни напрямку руху частинок срібла. Зовнішній екран, радіус якого R, обертали з кутовою швидкістю ω. Слід від частинок срібла, які осідали на зовнішньому екрані, зміщується, якщо цей екран обертається, на

S = ωR t , час руху частинок до нього t » R / VT , значить, теплова

швидкість V » ω R 2

/ S .

Цей дослід дав приблизну оцінку V та

T

 

T

дуже приблизний характер

f (V ) .

Наступним в цьому напрямку був дослід Ламмерта 1929 р. В камері готували пучок, який через отвір потрапляв до вакуумного приладу. Вдовж осі системи на вал було посаджено послідовно два диски з радіальними щілинами, які було зміщено одна від одної на кут ϕ. Аби частинки пучка могли проходити крізь такого роду сепаратор,

час прольоту між дисками t1 = l / V

має дорівнювати часу t2 = ϕ / ω

повороту дисків на кут ϕ. Значить,

V = lω / ϕ . Змінюючи ω та ϕ, з

пучка можна було виділити частинки з різними швидкостями V. Результат, що був здобутий в такий експериментальний спосіб, узгоджується з теоретичним розподілом Максвелла для частинок ідеального газу. Хоча слід зазначити, що ця теоретично доведена функція розподілу є справедливою для необмеженого об’єму, а в експериментальній камері Vmax визначається її розмірами.

2.5.7. Теоретичне виведення функції розподілу Максвелла

Знайдемо таку функцію розподілу, що дозволить визначити імовірність того, що частинка ідеального газу має швидкість, кінець вектора якої у фазовому просторі швидкостей міститься всередині

елементарного паралелепіпеда dV на кінцівці вектора V . Нехай ідеальний газ перебуває в стані термодинамічної рівноваги: пружні зіткнення не змінюють макропараметри термодинамічної системи, виконуються закони збереження імпульсу та енергії. Також має місце принцип детальної рівноваги, який стверджує: в ідеальному газі через хаотичність руху його частинок мають компенсувати один одного ті

242

процеси, які є взаємно протилежними. До того ж швидкості цих процесів є однаковими.

Принцип детальної рівноваги є вірним для будь-яких систем у стані хаосу. Розглянемо дві частинки газу. Кількість їхніх прямих

переходів dN прям , коли ці частинки із початковими швидкостями V1

та V2 внаслідок пружного зіткнення набувають швидкостей V3 та V4 , визначається так:

dN прям = W1,23,4 [ n(V1 )dV1 ][ n(V2 )dV2 ]dV3 dV4 .

(2.5.27)

Кількість прямих переходів dN прям є

тим більшою, чим

більша

кількість молекул, які мають швидкості V1

та V2 , та чим більші фазові

об’єми dV3 та dV4 , до яких мають перейти внаслідок

зіткнень

швидкісні точки цих двох досліджуваних молекул. Кількість зворотних переходів визначається в аналогічний спосіб:

dN звоp = W3,41,2 [ n(V3 )dV3 ][ n(V4 )dV4 ]dV1dV2 . (2.5.28)

Оскільки закони руху Ньютона є інваріантними відносно заміни знаку часу: + t → −t , що означає оборотність часу у класичній механіці, для ймовірностей зазначених переходів справедливим є співвідношення: W1,23,4 = W3,41,2 . В силу принципу детальної рівноваги можна

записати: dNпрям = dN звор . А це означає, що n(V1 )n(V2 )

= n(V3 )n(V4 ) .

Врахування законів збереження імпульсу та кінетичної енергії для частинок ідеального газу вимагає, щоб n(V ) = Aexp[-αV 2 + β ×V ],

бо саме тоді при перемноженні n(V 1 ) × n(V 2 ) їхні аргументи додаватимуться. Оскільки усі напрямки руху в досліджуваній системі

є рівноправними, то n(V ) = n( -V ) , а тому

β = 0 . Через обмеженість

швидкостей

руху

частинок

коефіцієнт

α > 0 .

Тому

n(V ) = A exp( -αV 2 ) .

Для знаходження

констант

α та

A слід

 

 

 

 

 

 

243

скористатися умовами нормування функції

n(V ) ( n(V )dV = 1 )

та

 

 

3kT

r

 

r

визначенням температури частинок газу (

V 2 =

= ∫ n(V )V

2dV ).

m

 

 

 

 

 

Тоді для частинок масою m маємо наступні вирази для констант α та

A: α = m ; A = [ m /( 2πkT )] 3 / 2 . 2kT

2.5.8. Здобуття рівняння стану ідеального газу

Скористаємося функцією розподілу за компонентою швидкості та законами Ньютона для підрахунку тиску ідеального газу. Молекули ідеального газу, які взаємодіють із стінкою камери, в якій цей газ міститься, можна розглядати як потік частинок, що характеризується максвеллівською функцією розподілу. Маса газу у камері дорівнює m = m0 N , де m0 – це маса однієї частинки, кількість частинок N=nSL

визначається через їхню концентрацію n та геометричні розміри камери: площу перерізу S та довжину L. Вважаємо, що молекул газу настільки багато, що вони безперервно б’ються в стінку, передаючи їй свій імпульс і створюючи тиск на неї. Розіб’ємо потік, який падає на стінку S, на окремі пучки за наступною ознакою. До j-го пучка належать молекули, які рухаються зі швидкостями, чиї проекції на вісь x , яку зорієнтовано перпендикулярно до площі S, лежать в інтервалах [Vxj;Vxj+dVxj]. Внаслідок стаціонарності функції розподілу частинок газу кількість частинок газу, які за одиницю часу взаємодіють зі стінкою камери площею S внаслідок хаотичного теплового руху, дорівнює: νj=njVxjS. Тут nj – це концентрація молекул в j-му пучку. Її можна визначити, знаючи концентрацію n молекул в камері та функцію розподілу за компонентою швидкості ϕ(Vx): nj=nϕ(Vx)dVxj. Молекули газу, стикаючись із стінкою камери, передають їй імпульс, створюючи через це тиск газу. Знаючи зміну імпульсу однієї частинки з j-го пучка внаслідок зіткнення pxj=2m0Vxj, визначимо тиск, що його створює j-й пучок:

Pj=dFj/dS=j pxj}/dS={njVxjS 2m0Vxj}/S=(n ϕ(Vx)dVxj)2m0Vxj2, (2.5.29)

244

(щось подібне вже зустрічалося у даному курсі фізики, порівняйте з формулою (2.1.4)). Якщо проінтегрувати цей вираз по всіх можливих значеннях компоненти швидкості у напрямку до стінки, то ми здобудемо тиск, що його створює весь газ у камері:

 

P =

+∞

2V

 

2 m nϕ(V

 

)dV

 

=

2m

0

n

V

2

 

 

x

x

 

 

 

 

 

ім

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m n

 

 

z 2 ez

2

 

2m n

 

 

 

 

π

=

 

 

 

0

 

 

V 2

 

dz =

 

0

 

V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

ім

 

 

 

 

 

 

π

 

 

ім

4

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞ V 2 x 0 Vім2

= m0 n 2

 

 

 

V 2

 

 

V

x

exp

 

x

 

d

 

 

2

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vім

 

 

ім

V

2

= nkT . (2.5.30)

 

ім

 

 

 

 

 

 

 

Як і слід було очікувати, вираз для тиску, що створюється частинками газу, який характеризується розподілом Максвелла, P = n0 kT ,

збігається з тим, який визначається рівнянням Клапейрона (2.1.8). Досить часто в теорії ідеального газу використовується

результат розв’язання задачі про частоту зіткнень ν частинок газу зі стінкою камери одиничної площі. Нехай n – це концентрація частинок у камері. Усі частинки, що рухаються до стінки, представляємо як набір пучків, кожний зі своєю швидкістю руху в напрямку стінки [Vxi; Vxi+dVx], концентрація частинок у кожному з пучків ni=dNi/V (V – об’єм камери). Для кожного пучка частота зіткнень його частинок із стінкою, що має одиничну площу, дорівнює: dvi=VxidNi/V, отже:

dN(Vx )

 

 

 

 

 

 

 

 

mVx2

 

N

 

 

m

v= d v= Vx

 

 

= Vx

 

 

 

 

 

 

 

 

exp[

 

 

]dVx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

V

 

0

V

 

 

2πkT

 

2kT

 

=n

 

8kT

 

 

=

1

 

n V .

(2.5.31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

16πm

 

 

 

 

 

 

 

2.5.9. Межі застосування функції розподілу Максвелла

Функцією розподілу Максвелла користуються в класичній фізиці. Вказуючи на істотну відмінність законів класичної та квантової механіки, Карл Вернер Гайзенберг, нобелівський лауреат у галузі фізики, говорив: «У квантовій фізиці не існує поняття траєкторії

245

частинки». Якщо в класичній механіці для координати та імпульсу вздовж цієї координати виконується нерівність xpx >> h , де стала

Планка h = 1,0546 × 10 34 Дж × сек , то в квантовій

механіці для

точності визначення координати та імпульсу має місце:

p x ×

x ~ h .

За теорією іншого нобелівського лауреата у галузі фізики Луї

Де-Бройля квантовим об’єктам на додачу до корпускулярних

можна

приписувати також і хвильові властивості. А саме, квантовій частинці відповідає хвиля Де-Бройля з довжиною λ = 2πh / p . Нехай V – це об’єм, що припадає на одну частинку, тоді в класичній механіці:

Vp 3 >> h3 . Підставивши сюди співвідношення Де-Бройля,

отримаємо: V >> 2π )3 , тобто, аби бути класичним, газ має бути

достатньо розрідженим: в об’ємі V для частинки з розмірами (λ / 2π) 3 повно місця. Далі, використовуючи зв’язок між концентрацією n частинок та об’ємом, що припадає на них (в нашому випадку – це n = 1 / V ), здобуваємо умову класичності досліджуваного газу:

nλ3 << (2π )3 . Якщо імпульс класичної частинки оцінювати в такий спосіб: p ~ m0VT , тоді, користуючись виразом для швидкості

хаотичного теплового руху (2.5.20), умова класичності дослідження набуває наступного вигляду:

 

 

 

h3n

 

 

 

 

 

<< 1.

(2.5.32)

 

 

 

(3kTm0 )3 / 2

Введемо

термін

 

температура

виродження:

T = n 2 / 3h2

/( 3km ) .

Тоді з нерівності (2.5.22)

можна здобути

0

0

 

 

 

 

умову для величини температури термодинамічної системи, яка визначає, чи можна користуватися класичною фізикою, в нашому випадку – розподілом Максвелла. Ця умова має вигляд T>>T0. Тобто газ можна вважати класичним, якщо він є достатньо гарячим.

Зробимо оцінки класичності двох різних газів. В якості

першого прикладу візьмемо Н2, маса його частинок m ~ 10 24 г , число Лошмідта визначає концентрацію частинок ідеального газу за

246

нормальних

умов

nΛ ~ 1019 см3 ,

константа

Больцмана

k ~ 1016 ерг / °K . За цих

умов величина

температури

виродження

водню виявляється дуже малою:

 

 

 

 

 

T ~ ( 1019 )2 / 3

 

1054

»

1038 / 31030

 

 

10243 ×1019

 

 

0

 

 

 

3 ×1016

 

 

 

 

 

 

310 ×101214 » 0,01 °K . 3

Отже, можна зробити висновок: водень швидше затвердіє, ніж стане квантовим газом.

Другий приклад – це «газ електронів» у металах. Маса та концентрація цих частинок me ~ 10 27 г та n ~ 10 24 см3 , відповідно. Оцінимо температуру виродження цього газу:

T 0~ 1016

10 54

=

 

10 22

»

10 5

°K .

3 × 10 27 × 10 16

 

× 10 27

 

 

3

3

 

Ця температура є дуже високою, тому висновок щодо класичності цього газу є протилежним до попереднього: електрони в металах слід розглядати як квантовий газ аж до температури розтоплення металу.

2.5.10. Розподіл Больцмана

Розподіл Людвіга Больцмана описує стан термодинамічної системи, яка перебуває під дією постійної консервативної сили (наприклад, під дією однорідної сили тяжіння). В неконсервативних полях рівновага термодинамічної системи є неможливою.

Коли немає зовнішніх сил, тоді у стані термодинамічної рівноваги величини температури та концентрації усюди в системі є

однаковими. Якщо існує зовнішня сила Fзовн ¹ 0 , тоді концентрація частинок системи є неоднорідною, n = n( r ) . Але припустимо, що при цьому T=const, бо інакше б виникли потоки тепла і стан

247

термодинамічної системи не був би рівноважним. Для механічної рівноваги потрібно, щоб концентрація частинок зменшувалася з висотою. Тоді сила тяжіння елементарного циліндра газу площею S та

висотою dz дорівнює: m0 gnSdz . Оскільки частинки газу (який будемо

уявляти собі як суцільне середовище) в обраному об’ємі нікуди не прискорюються, то за першим законом Ньютона, сила тяжіння має врівноважуватися якоюсь іншою силою, в даному випадку – зміною

тиску, який створюється цим середовищем:

P=dP=P(z+dz)P(z).

Звідси

маємо

диференційне

рівняння:

m0 g n S dz = SP( z ) SP( z + dz ) ,

яке

можна

спростити,

скориставшись визначенням диференціала тиску та скоротивши на площу S. В результаті цього дістаємо:

dP

= nm0 g .

(2.5.33)

 

 

dz

 

У рівнянні (2.5.33) є дві невідомі: тиск P(z) і концентрація n(z). Виключимо тиск, здобувши вираз для градієнта тиску з рівняння стану

ідеального газу за умови однорідності температури:

 

dP

= kT

dn

.

(2.5.34)

 

 

 

 

dz

 

dz

 

У випадку однорідного поля

тяжіння m0 gdz = dε пот

це зміна

потенціальної енергії частинки маси m0 у силовому полі. Звертаємо увагу, що у подальших викладках вже не має значення, яку фізичну природу має дане силове поле. Тоді з (2.5.33) та (2.5.34) маємо:

d ln( n ) = −dε пот / kT .

(2.5.35)

Введемо позначку: n0 n( ε пот = 0 ) . Тоді після інтегрування (2.5.35)

знайдемо розподіл Больцмана:

n = n0 exp( −ε пот / kT ) .

(2.5.36)

248

Аналіз аргументу експоненти у формулі (2.5.36) показує, що розподіл Больцмана утворюється внаслідок конкуренції двох чинників. З одного боку, силове поле намагається зібрати частинки термодинамічної системи на дні потенціальної ями цієї системи. А з іншого боку, зіткнення частинок через хаотичний тепловий рух намагаються вирівняти значення концентрації частинок по всій висоті термодинамічної системи.

Якщо повна енергія частинки набуває дискретних значень, тоді

розподіл Больцмана (2.5.36) набуває вигляду Ni=A e Ei /( kT ) , де Ni – кількість частинок, які перебувають у квантовому стані з енергією Еі. Нехай N – це повна кількість частинок у розглянутій системі, тоді

Ni =N, отже, A=

 

N

 

.

 

Ei

 

 

e

/( kT )

 

 

 

 

Розподіл Больцмана для класичного газу має аналог в квантовій фізиці – це канонічний розподіл Гіббса. Розділимо велику ізольовану макросистему на однакові малі макропідсистеми, які слабко взаємодіють між собою. Завдяки цій взаємодії підсистеми можуть обмінюватися енергією і знаходитися в різних квантових станах з енергіями Еi. Рівноважний стан підсистеми не залежить від того, яким середовищем її оточено, а залежить тільки від температури цього середовища. Тоді формула Больцмана (2.5.26) дає імовірність W того, що система за термодинамічної рівноваги перебуває в і– му квантовому стані: W=const×exp[ Ei/kT]. Формулу Больцмана, що її розуміють в такому сенсі, називають канонічним розподілом Гіббса.

Якщо повернутися до випадку однорідного поля тяжіння Землі, тоді у випадку T=const маємо з розподілу Больцмана барометричну формулу:

 

− μgz

(2.5.37)

P = P0 exp

.

 

RT

 

Даний спосіб виведення розподілу Больцмана є гідростатичним (ми не зважали на структуру газу, вважаючи його суцільним середовищем). Це є прийнятним для густих газів з великою частотою зіткнень. Про недолік гідростатичного виведення розподілу Больцмана

свідчить таке: густина газу в цій моделі ρ = nm0 . Тобто, якщо маємо

249

рівномірну суміш газів на малій висоті, то такою вона має лишатися і на великих висотах, а в рівнянні (2.5.37) під µ слід розуміти усереднену ефективну молярну масу. Реально ж, поведінка ідеального газу не залежить від присутності або відсутності в тому самому об’ємі ще й інших ідеальних газів. Тому концентрація важких газів у тих шарах атмосфери, де гравітаційне поле ще може вважатися однорідним, а температура є доволі сталою величиною, зменшується з висотою швидше, ніж концентрація легких газів.

Але при значній зміні висоти над рівнем моря умова сталості значення температури атмосферних газів не виконується. Зазвичай в тропосфері дме дуже сильний вітер, газові потоки активно перемішуються, тому слід розуміти обмеженість поля застосування барометричної формули. Разом із тим, слід зазначити, що розподіл Больцмана можна вивести і в інший спосіб, який позбавлений недоліків гідростатичної моделі. Та головне полягає у тому, що розподіл Больцмана (2.5.36) має значно ширше застосування у фізиці, ніж барометрична формула.

2.5.11. Виведення розподілу Максвелла з принципів молекулярно-кінетичної теорії

Розглянемо пучок молекул ідеального газу зі швидкістю, що належить інтервалу [Vz, Vz+dVz], які летять у момент часу t в елементарному об’ємі одиничної площі перерізу на висоті [z; z+dz]. Кількість таких частинок у пучку дорівнює n(z)dzϕ (Vz)dVz (тут n(z)dz – це повна кількість частинок у досліджуваному об’ємі, ϕ(vz)dvz – імовірність молекулі мати проекцію швидкості на вертикальний напрямок у зазначеному інтервалі швидкостей: [Vz, Vz+dVz]). Знехтуємо зіткненнями між молекулами (коли зіткнення врахувати, то виявиться, що це ні на що не впливає, бо внаслідок зіткнень одні частинки вибувають з пучка, а інші внаслідок зіткнень і принципу детальної рівноваги до пучка надходять). Через якийсь проміжок часу пучок опиниться на висоті z1 зі швидкістю [Vz1 ,Vz1 + dVz1 ], але кількість частинок у пучку не зміниться:

n(z)ϕ(Vz)dzdVz= n( z1 )ϕ(Vz1 ) d( z1 ) dVz1 .

(2.5.38)

250

Залучимо до виведення розподілу Максвелла ще кілька фізичних міркувань.

а) За законом збереження повної механічної енергії для частинок газу: 0.5mVz2+mgz=0.5m(Vz1 ) 2 +gm z1 . Обчислимо диференціал від цього

виразу, вважаючи змінною тільки швидкість, а координату – незмінною величиною (фізично це означає, що ми перебираємо пучки на незмінних висотах):

VzdVz=Vz1dVz1 . (2.5.39)

б) Частинки газу полишають початковий об’єм dz за час dz/Vz , переходячи на місце, яке за такий саме час інші частинки звільнили їм на висоті z1 . Отже, маємо рівність:

dz/Vz= d( z1 ) / Vz1 .

(2.5.40)

Перемножуючи співвідношення (2.5.39) та (2.5.40), дістаємо:

dzdVz=d(z1)d Vz1 .

(2.5.41)

Врахувавши співвідношення (2.5.41) у рівнянні (2.5.38), дістаємо:

n(z)ϕ(Vz)=n(z1)ϕ(Vz1 ). (2.5.42)

Підставивши до (2.5.42) розподіл Больцмана n(z)=n(0)exp[-mgz/(kT)], маємо:

exp[

mgz

]ϕ (Vz)=exp[

mg( z1 )

]ϕ (Vz1 );

(2.5.43)

kT

 

 

 

kT

 

або, що те ж саме:

ϕ (Vz1 )/ϕ (Vz)=exp[

mg(z z1)

]. Застосуємо

kT

 

 

 

 

 

 

тепер закон збереження енергії в аргументі експоненти:

ϕ (Vz1 )/ϕ (Vz)=exp[

mg(z z1)

 

m(Vz2 V

2

)

 

 

 

] =exp

 

z1

 

,

(2.5.44)

kT

2kT

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто

251

ϕ (Vz1 )еxp

mVz12

=ϕ (Vz)еxp

mVz

2

.

(2.5.45)

2kT

 

 

 

 

2kT

 

Ліва та права частини рівняння (2.5.45) являють собою однакові (хоча формально поки що невідомі) функції від різних аргументів: ліворуч – від Vz1 , праворуч – від Vz. Це означає, що ці вирази не залежать від

 

 

аргументу:

ϕ (Vz)еxp

mVz 2

 

значення

цього

 

 

=соnst,

тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

2kT

 

ϕ (Vz)=соnst

еxp[

mVz2

]. До результату не

входить прискорення

2kT

 

 

 

 

 

 

 

 

вільного падіння g, і взагалі, воно грало допоміжну роль. Константу,

що невизначеною лишилась у визначенні ϕ (Vz), можна знайти з умови

+∞

нормування: ∫ ϕ (Vz)dVz=1. З урахуванням цього дістаємо (порівняйте

−∞

з (2.5.5)):

 

m

1

2

mVz 2

 

 

ϕ (Vz)=

 

 

еxp[

 

].

 

(2.5.46)

 

 

 

 

2 π kT

 

 

2kT

 

 

Коли треба порахувати кількість d N r r

частинок ідеального

 

 

 

 

V ,r

 

 

газу, які, з одного боку, перебувають у заданій точці r

реального

простору (тобто містяться в елементарному об’ємі d r =dxdydz на

кінцівці радіус-вектора r і мають відповідну потенціальну енергію r

εp), а з іншого боку, мають певну швидкість V (тобто їхні швидкісні точки у фазовому просторі швидкостей належать до елементарного

r

r

фазового об’єму d V =dVxdVydVz на кінцівці вектора

V і мають

відповідну кінетичну енергію mV2/2), тоді слід спиратися на відомі розподіли Максвелла та Больцмана:

r

 

d N r r =Aexp[(εp+mV2/2)/(kТ)] d V d r ,

(2.5.47)

V ,r

 

252

тут нормувальний множник: A = n0 [ m /( 2πkT )] 3 / 2 . Такий

розподіл частинок газу одночасно в координатному і фазовому просторах називають розподілом Максвелла–Больцмана.

Як ми показали, можна вивести розподіл Максвелла, вважаючи відомим розподіл Больцмана. Таким чином, розподіли Максвелла та Больцмана пов’язані між собою, обидва обумовлені хаотичністю термодинамічної системи внаслідок зіткнень між частинками.

2.5.12. Дослід Перрена з обчислення числа Авогадро

Розподіл Больцмана частинок в полі тяжіння було майстерно використано Перреном для визначення числа Авогадро. Ідея його досліду полягала в наступному. Якби можна було порахувати концентрацію частинок відомої маси в полі тяжіння на різних висотах, n = n( z ) , тоді можна було б з розподілу Больцмана знайти k, а потім

обчислити число Авогадро N A = R / k .

Зважити масу молекули газу, так само, як і побачити її, аби порахувати, – важко. Тому Перрен вирішив замість спостережень за частинками газу провести досліди з мікрочастинками твердого тіла однакового розміру та форми, які були б зважені у рідині. Мікрочастинки повинні мати густину трохи вище за густину рідини, щоби дія сили Архімеда змушувала їх плавати всередині об’єму рідини, щоби вони ані спливали на поверхню рідини, ані лежали на дні. Найбільш поширена на Землі рідина – це вода, тому Перрен природно обрав її для свого досліду. Для здобуття мікрочастинок було обрано гумігут: згущений рослинний сік, який одержують при підсіканні кори деяких дерев сімейства клюзієвих (Південна Азія). Перевищення густини гумігуту ρ =1,2×10 3 кг/м3 над густиною води є незначним. Гумігут на той час не був якоюсь рідкістю в Парижі: його привозили з колоній і застосовували для виготовлення лаків та жовтої акварельної фарби.

Аби отримати мікрочастинки одного розміру, Перрен розтер гумігут у спирті. Після багаторазової сепарації на центрифузі протягом кількох місяців з 1 кг гумігуту було отримано приблизно 10 г кулькоподібних частинок з радіусом 10−3 мм. В кюветі Цейса висотою h≈10−4 м за допомогою мікроскопа з малою глибиною фокуса можна

253

було бачити частинки гумігуту в прошарках товщиною, яка складала величину ~10−6 м. Тоді, вираховуючи їхню кількість на різних висотах z, можна записати розподіл Больцмана для їхньої концентрації: n ( z ) = n0 exp[ gz( m m рід ) /( kT )] , тут mрід – це маса води, що її витіснила частинка гумігуту. Для того, аби цю масу визначити, потрібно було точно виміряти розміри частинок гумігуту. Ці розміри не можна визначити прямо, оскільки розміри частинок були надто малими – одного порядку з довжиною світлової хвилі. Внаслідок дифракції (зміни прямолінійного поширення світлового потоку при огинанні непрозорої перешкоди) розміри однієї частинки, коли її розглядати в мікроскоп, помітно збільшувалися. Аби розв’язати цю проблему, Перрен брав краплю емульсії та чекав, коли випаровування води майже закінчувалося. Тоді частинки під дією сил поверхневого натягу місцями збирались у досить рівні ланцюжки. Порахувавши кількість частинок на рівній лінії відомої довжини, можна розрахувати діаметр частинки. Оскільки ця кількість була великою, то похибка вимірювання її діаметра внаслідок дифракції світла значно зменшувалась.

Ми не наводимо перелік усіх експериментальних труднощів, що їх здолав Перрен, але з уже наведених видно усю складність проведення навіть такого класичного досліду.

Спираючись на виміряний розподіл частинок по висоті та справедливість формули Больцмана, було пораховано константу Больцмана:

k = ( m m рід )( z2 z1 )g /[ T ln( n1 / n2 )] ,

(2.5.48)

де n j = n( z j ) – концентрація частинок на відповідній висоті. Після цього вже неважко було обчислити і число Авогадро NA=R/k.

Питання для самоконтролю до розділу

§2.5. Вступ до статистичної фізики

1.Схематично зобразити графік функції розподілу молекул ідеального газу за компонентою швидкості для двох температур.

2.Схематично зобразити графік функції розподілу молекул ідеального газу за модулем швидкості для двох температур.

3.Схематично зобразити графік функції розподілу молекул ідеального газу за кінетичними енергіями для двох температур.

4. Який фізичний сенс того, що f (V )dV = 1 та

0

+∞

ϕ(Vx )dVx = 1?

5.Чому функція розподілу Максвелла за модулем швидкості дорівнює нулю при V=0?

6.Як за допомогою функцій розподілу Максвелла визначається середнє значення довільної функції F(V)?

7.Як за допомогою функцій розподілу Максвелла визначається середнє значення певної функції G(Vx )?

8.Дайте визначення теплової швидкості, використовуючи функцію розподілу Максвелла.

9.Визначте середнє значення модуля швидкості, користуючись функцією розподілу Максвелла.

10.З якої умови визначається Viм − найімовірніше значення модуля швидкості?

11.Що підтвердили досліди Штерна та Ламерта?

12.Запишіть функцію розподілу Больцмана молекул ідеального газу за їхньою потенціальною енергією.

13.Запишіть барометричну формулу.

14.Що визначається в дослідах Перрена?

15.На що вказує температура виродження?

254

255

§ 2.6. Основні формули молекулярної фізики

Концентрація газу n, тобто кількість частинок в одиниці об’єму, залежить від загальної кількості молекул газу та об’єму, в якому цей газ міститься:

n = N / V .

(2.6.1)

Тиском P називають силу F, з якою газ діє на одиницю поверхні S об’єму, в якому він міститься, ця сила спрямована перпендикулярно до поверхні:

P =

dF

.

(2.6.2)

 

 

dS

 

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу пов’язує тиск газу P із концентрацією n та середньою кінетичною енергією поступального руху молекули газу W:

P=(2/3)nW,

(2.6.3)

що надає ще одного фізичного змісту тиску, а саме: тиск є мірою густини енергії.

Кількість речовини ν визначається за кількістю N частинок в системі або за масою m однокомпонентної речовини:

ν =

N

=

m

,

(2.6.4)

 

 

 

N A μ

 

 

тут NA=6,028×1023 моль−1 – це число Авогадро.

Молярна маса μ хімічно чистої речовини визначається за

масою однієї молекули m0 та числом Авогадро NA:

 

μ=m0NA.

(2.6.5)

На практиці, для визначення μ зручно використовувати періодичну таблицю хімічних елементів: число під символом хімічного елемента вказує середнє значення молярної маси речовини цього

елемента в одиницях г/моль, якщо вона побудована з одноатомних молекул. Йдеться саме про середнє значення, бо при укладанні таблиці враховано наявність у природі різних ізотопів кожного елемента. У випадку складних хімічних сполук, коли молекула речовини складається з кількох атомів різних елементів, значення μ вираховується як сума молярних мас усіх складових.

Абсолютна температура T вимірюється в градусах Кельвіна °K. Вона пов’язана із температурою t, що вимірюється в градусах Цельсія °С, наступним співвідношенням:

T=(t+273). (2.6.6)

Рівняння стану ідеального газу (рівняння Клапейрона) пов’язує тиск P, об’єм V, масу газу m, молярну масу μ, температуру газу T за допомогою універсальної газової сталої R=8,31 Дж/(°К моль):

PV =

m

RT .

(2.6.7)

 

 

μ

 

Його можна переписати у вигляді, що пов’язує тиск і температуру з концентрацією газу n за допомогою коефіцієнта Больцмана k=1,38×10−23 Дж/°К:

P=nkT.

(2.6.8)

Температура відома як фізична величина, що характеризує ступінь нагрітості тіла. Температура газів у числовий спосіб визначається як міра середньої кінетичної енергії W поступального руху молекули газу:

T=2W/(3k). (2.6.9)

Молярна теплоємність ідеального газу за сталого об’єму CV пов’язана із кількістю ступенів вільності молекули i:

C

=

 

δQ

 

 

=

i

R .

(2.6.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

ν dT

 

V

2

 

 

 

 

 

256

257

Молярна теплоємність ідеального газу за сталого тиску CP є більшою за молярну теплоємність за сталого об’єму CV, за законом Майєра:

C

 

=

 

δQ

 

 

= C + R .

(2.6.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

ν dT

 

P

V

 

 

 

 

 

Показник адіабати (коефіцієнт Пуассона) дорівнює:

γ =CP/CV=(i+2)/i.

(2.6.12)

Тут i – це кількість ступенів вільності молекули газу. За допомогою формул (2.6.10) - (2.6.12) дістаємо зв’язок молярних теплоємностей з показником адіабати:

CP=γ R /(γ−1), CV=R /(γ−1).

(2.6.13)

Перший закон термодинаміки встановлює зв’язок між кількістю теплоти δQ , що надійшла до термодинамічної системи, зміною внутрішньої енергії dU термодинамічної системи та роботою δA , що її виконала термодинамічна система над зовнішніми тілами:

δQ = dU + δA .

(2.6.14)

Кількість молекул ідеального газу N з загальної кількості N молекул газу, який перебуває у стані термодинамічної рівноваги, що характеризується температурою T, чий модуль швидкості належить до інтервалу [υ; υ+ υ], визначається за допомогою

функції розподілу Максвелла:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N =

 

4

 

N eu 2 u 2

u ;

(2.6.15)

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тут u = υ/ υім , u = υ / υім

,

 

υім

=

 

2RT

– це

найімовірніша

 

 

 

 

μ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

швидкість, тобто модуль швидкості, що відповідає максимуму функції розподілу Максвелла за модулем швидкості. Ця формула є справедливою за умови, що ширина інтервалу модуля швидкості

υє набагато меншою за характерний масштаб, на якому

змінюється функція розподілу Максвелла, тобто u <<1.

Середня квадратична швидкість, або, що те ж саме, теплова швидкість хаотичного руху частинок

υТ ≡υкв

3kT

3RT

 

 

 

=

 

.

(2.6.16)

 

μ

 

m

 

 

Середній модуль швидкості υср можна визначити як момент функції розподілу Максвелла за модулем швидкості:

+∞

 

 

 

 

 

 

8RT

 

 

 

υср = ∫υ f (υ )× dυ =

.

(2.6.17)

 

πμ

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Робота δA, що її виконує газ в елементарному квазірівноважному процесі, залежить від тиску газу P (як функції об’єму у даному процесу) та зміни dV його об’єму:

δA=PdV. (2.6.18)

Довжина вільного пробігу λ, тобто відстань, яку в середньому молекули пролітають між двома послідовними зіткненнями, залежить від площі ефективного перерізу молекули σ та концентрації частинок газу n,

λ = 1 /(

 

 

 

2nσ ) .

(2.6.19)

Частота f зіткнень молекул газу визначається середньоквадратичною швидкістю υТ та довжиною вільного пробігу λ:

f =υT / λ .

(2.6.20)

Коефіцієнт самодифузії ідеального газу D записується через теплову швидкість υТ та довжину вільного пробігу λ:

D = λυT / 3 .

(2.6.21)

Вираз для коефіцієнта внутрішнього тертя ідеального газу є добутком густини газу ρ та коефіцієнта дифузії:

258

259