§3,3. Вывод общих формул для решения второй и третьей краевых задач.

При решении второй краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца внутри области V с границей

cначала нужно решить аналогичную модельную задачу для функции Грина(источника)

Если подставить уравнения для функций и в формулу Грина и (см. выше) учесть условие то получим

Теперь решение второй краевой задачи запишется в виде

При условии =0 нет потока за поверхность, здесь силовые линии идут по касательным к границе. Для однородногои неоднородногоуравнений Гельмгольца функции Грина одинаковы ( придобавляется соответствующий интеграл).

Таким образом, формула для решения второй краевой задачи отличается от формулы решения задачи первой двумя признаками: в интеграле по поверхности S меняется вид зависимости от функции Грина Решение находится с точностью до произвольной аддитивной постояннойоднако, при решении задач в безграничных областях эта постоянная равна нулю.

Кроме того, задаваемые условия задачи Неймана должны удовлетворять условию разрешимости:

или

Физический смысл этого условия: стационарное (неизменное) состояние поля (вещества, температуры и др.) внутри замкнутой области достигается только при равновесии между работой источников с интенсивностьювнутрии интенсивности оттока вещества (теплоты и др.)за границы области

Для решения третьей (смешанной) краевой задачи для уравнения Гельмгольца:

(ᴂ иполучаем формулу аналогичную формуле для решения второй краевой задачи Неймана (см. выше). Однако, теперь добавкаИ всегда удовлетворяется условие разрешимости. Но функция Гринаостается прежней, ведь она определяется формой граничных условий, а не значениями функцийи

§3,4. Определение функции Грина первой краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца.

Рассмотрим подробно решение модельной задачи для функции Грина задачи Дирихле:

Здесь (где– точка измерения (параметры интегрирования) и– точки источников (переменные интегрирования). Дельта-функция Диракасимметричная и четная, поэтому такжеПри проведении физических опытов точки источника и измерения можно поменять местами. Приполучимкак измерение в точке источника. В области гармоничностибудет

Решение уравнения для функции Грина будем искать в виде суммы где функцияописывает влияние точечного источника из точкиMˈ (действия всех наводящих зарядов и полей), а функция описывает влияние зарядов, наведенных на границеи не имеет особенностей внутри области(может иметь их вне области).

В безграничном пространстве при уравнение для функции Грина будет однородным(здесьпри) и симметричным (не зависит от углов). Если ввести сферическую систему координатгдес центром в точке, то уравнение существенно упростится и для слагаемогополучим:

олучмавнение существенно упростится и для слагаемого здесь при.

Решение этой задачи очевидно общее решениеЕсли зависимость от времени выбрать в виде, то постояннаянет волн сходящихся (приходящих), и постоянную можно принять(решаемое уравнение однородное), тогда решение последнего уравнения получим в видеа функция Грина оказывается равной:

Функция Грина (источника) имеет особенность только при

(когда , а для определения «маленькой» функциииспользуем ниже метод электростатических изображений и поставим такую задачу

Ищем функцию подобной функции‚ так как обе удовлетворяют одинаковому уравнению и симметричные. Нужно просто согласовать знаки в корне для радиусас помощью граничных условий, это сводится к построению заряда-изображения. Здесь эквипотенциальная граница действует как заряд противоположного знака в точке изображения. Таким образом для определения функции Гринанужно решать не сложную задачу о распределении амплитуд поля, созданного зарядами с распределениямии‚ а более простую задачу о распределении амплитуд поля, созданного единичным точечным вибраторомнад заземленной поверхностью. ТогдаM -точка измерения поля (место нахождения пробного заряда), - места источников поля и зарядов, наведенных на граничных поверхностях (металлических границах),место заряда-изображения (находится за границейи имеет противоположный знак).

Для задачи с условиями Неймана нужно взять разность функций в виде ‚ как для двух одноименных зарядов (их силовые линии скользят вдоль границы). Для определения функции Грина для второй и третьей краевых задач (прии ᴂ) рассуждения аналогичны; всегда следует проверять выполнение условия разрешаемости для второй краевой задачи.Вид функции Грина определяется только условиями на граничной поверхности S.

Функция Грина (источника) определяется методом электростатических изображений (методом Томсона-Kельвина) обычно только для некоторых простых областей, ограниченных участками плоскостей, цилиндров и сфер. Это области, вдоль границ которых можно скользить в двух взаимно перпендикулярных направлениях.