Часть третья

Решение стационарных задач математической физики методом функции Грина (источника)

§3,1. Постановка и основные типы задач

В предыдущих разделах решения задач находились в виде бесконечных рядов, что не всегда удобно при их использовании. Однако, в некоторых случаях (особенно при решении уравнений эллиптического типа для стационарных задач) решение можно получить в конечной замкнутой форме, использовав соответствующую разрешающую формулу. Нужно только суметь отдельно определить функцию Грина (источника) задачи в замкнутой форме (в виде единой формулы, а не в виде ряда). Это часто удается сделать, используя известный метод электростатического изображения заряда в граничной поверхности (метод В. Томсона-Кельвина).

Поставим задачу для уравнения эллиптического типа внутри пространственной области V, ограниченной замкнутой поверхностью .

Здесь – искомая функция;– точка измерения и

∪–точка источника; – оператор Лапласа в трехмерной системе координатOxyz.

Коэффициенты = 0 или 1 – постоянные; ≥0 – волновое число; при ≠0 в системе имеются потери. При ᴂ=0 получаем уравнение Пуассона, а при ᴂ==0 – уравнение Лапласа. При=0 и=1 получаем граничное условие первого рода=(условие Дирихле), а при=1 и=0 – условие второго рода=(условие Неймана); здесь– внешняя нормаль к граничной поверхности

.

Введем также радиус-векторы точек и , обозначим=,=и=˃ 0.

Рассматриваемые задачи называются по названию граничного условия, затем указывается для какого уравнения.

Для всех трех вариантов, поставленных выше краевых задач, можно доказать существование и единственность функции Грина; вид этой функции зависит только от формы граничных условий.

§3,2. Решение краевых задач для уравнения Гельмгольца с использованием функции Грина (источника)

Из формулы Гаусса-Остроградского:

легко получить формулу Грина. Пусть вектор гдеискомая функция инекоторая вспомогательная функция. Так как вектор(– орт нормали к поверхности), то проекция(здесь- производная по направлению нормали). Дивергенцию вектора

Если ввести новый оператор , то получим и запишем формулу ( не функцию!) Грина

Если область неограниченна, то принесобственные интегралы сходятся.

В частном случае формула Грина принимает вид

Все приведенные формулы можно использовать и для решения плоских или одномерных задач.

Поставим первую краевую задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца вида

–искомая функция.

Для решения задачи используем аналогичную модельную краевую задачу для вспомогательных функций =– функции Грина– точка измерения, параметры интегрирования;– точки источников, переменные интегрирования), для которой

Здесь - дельта-функция Дирака, равная приипри. Интеграл от произведения сходящийся и равен

Подставим уравнения для функции ив формулу Грина и получим

Теперь формула для решения первой краевой задачи Дирихле примет окончательный вид

Если функция Грина известна, то решение краевой задачи Дирихле сводится просто к квадратурам.

Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа , называется гармонической, из свойств этих функций следует, что функция Гринаположительна в области гармоничностиV; она в особых точках (точках зарядов) и(достигаетmin) только на границе S области V.Решение краевой задачи Дирихле иможно записать

откуда получим , где– площадь поверхностиS.