07. Прямая на плоскости

Взаимноерасположениедвухпрямых(2)

Рассмотрим три случая.

Случай 1: A1 6= B1 . Это неравенство равносильно тому, что

A2 B2

В силу теоремы Крамера для систем второго порядка (см. теорему 1 в лекции 1), система (10) имеет единственное решение, т. е. прямые пересекаются.

Лекция 7: Прямая на плоскости

Взаимноерасположениедвухпрямых(3)

C1 = tC2, и первое уравнение системы (10) можно записать в виде t(A2 x + B2 y + C2) = 0, причем t =6 0 (так как в противном случае

A1 = B1 = 0). Таким образом, первое уравнение системы (10) равносильно второму. Следовательно, они определяют одну и ту же прямую.

Таким образом, для каждого из трех случаев взаимного расположения прямых мы получили достаточное условие. Убедимся на примере случая пересечения прямых, что эти же условия являются и необходимыми. Пусть прямые пересекаются. Тогда условия случаев 2) и 3) из формулировки теоремы не выполняются, поскольку в противном случае прямые были бы либо параллельными, либо совпадающими. Следовательно, выполнено

случаях параллельности и совпадения прямых. Теорема доказана.

Лекция 7: Прямая на плоскости

Пучокпрямых(1)

4◦. Пучок прямых.

Определение

Пучком прямых на плоскости называется совокупность всех прямых, проходящих через некоторую фиксированную точку плоскости.

Ясно, что любые две пересекающиеся прямые на плоскости ℓ1 и ℓ2 определяют некоторый пучок прямых (состоящий из всех прямых, проходящих через точку пересечения прямых ℓ1 и ℓ2). Следующая теорема показывает, как по уравнениям прямых ℓ1 и ℓ2 можно найти уравнение произвольной прямой из пучка прямых, определяемых этими двумя прямыми.

Теорема 3

Прямая ℓ принадлежит пучку прямых, определяемому пересекающимися прямыми ℓ1 и ℓ2 с уравнениями A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2y + C2 = 0 соответственно тогда и только тогда, когда ℓ задается уравнением вида

Пучокпрямых(2)

Доказательство. Необходимость. Пусть ℓ прямая из пучка прямых, определяемого прямыми ℓ1 и ℓ2, а Ax + By + C = 0 общее уравнение прямой ℓ. Положим ~n = (A, B), ~n1 = (A1, B1 ) и ~n2 = (A2, B2 ). Поскольку

прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются, из теоремы 2 вытекает, что A1 =6 B1 . С

A2 B2

учетом критерия коллинеарности векторов (см. лекцию 2), это означает, что векторы ~n1 и ~n2 не коллинеарны. Следовательно, они образуют базис той плоскости, в которой расположены все рассматриваемые прямые. В силу теоремы о разложении вектора по базису на плоскости (см. теорему 1 в лекции 2), получаем, что ~n = α~n1 + β~n2 для некоторых чисел α и β. При этом по крайней мере одно из чисел α и β отлично от нуля, так как в

~ ~

противном случае n = 0 вопреки определению общего уравнения прямой. Расписав равенство ~n = α~n1 + β~n2 в координатах, получаем, что

A = αA1 + βA2 и B = αB1 + βB2 . Это позволяет переписать уравнение прямой ℓ в виде (αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2)y + C = 0 или

Лекция 7: Прямая на плоскости

Пучокпрямых(3)

С другой стороны, точка M0 принадлежит прямым ℓ1 и ℓ2, откуда A1 x0 + B1y0 + C1 = 0 и A2 x0 + B2y0 + C2 = 0. Следовательно,

C1 = −A1x0 − B1 y0 и C2 = −A2x0 − B2y0 . Отсюда и из (13) вытекает, что −αC1 − βC2 + C = 0, т. е. C = αC1 + βC2. Подставляя последнее выражение для C в (12), получаем, что уравнение прямой ℓ можно записать в виде

α(A1 x + B1 y) + β(A2 x + B2 y) + αC1 + βC2 = 0.

Очевидно, что это уравнение равносильно уравнению (11).

Достаточность. Прежде всего докажем, что уравнение (11) задает прямую. В силу теоремы 1 для этого достаточно установить, что по крайней мере одно из чисел αA1 + βA2 и αB1 + βB2 отлично от нуля. Предположим,

тогда из теоремы 2 вытекает, что прямые ℓ1 и ℓ2 либо параллельны, либо совпадают, что противоречит условию. Осталось доказать, что прямая, заданная уравнением (11), проходит через точку пересечения прямых ℓ1 и ℓ2. В самом деле, обозначим координаты этой точки через (x0, y0 ). Тогда

A1 x0 + B1y0 + C1 = 0 и A2 x0 + B2y0 + C2 = 0, откуда

α(A1 x0 + B1y0 + C1) + β(A2 x0 + B2y0 + C2) = 0. Теорема доказана.

Лекция 7: Прямая на плоскости

Главныйвекторпрямой

5◦. Полуплоскости, определяемые прямой.

Наша следующая цель состоит в том, чтобы выяснить, как по уравнению прямой и координатам двух точек, не лежащих на этой прямой, определить, лежат ли они по одну сторону или по разные стороны от прямой. Для этого нам понадобятся некоторые новые понятия и результаты.

Определение

Пусть прямая ℓ задана общим уравнением Ax + By + C = 0. Тогда вектор

~n = (A, B) называется главным вектором прямой ℓ.

Сравнивая это определение с замечанием 5, мы видим, что

если система координат является прямоугольной декартовой, то главный вектор прямой является ее нормальным вектором.

Отметим, что главный вектор прямой определен неоднозначно. В самом деле, ясно, что если t ненулевое число, то уравнения Ax + By + C = 0 и tAx + tBy + tC = 0 определяют одну и ту же прямую, главными векторами которой будут как (A, B), так и (tA, tB). В то же время из указанного в теореме 2 критерия совпадения двух прямых вытекает, что

любые два главных вектора прямой коллинеарны.

Лекция 7: Прямая на плоскости

Полуплоскости,определяемыепрямой(1)

Пусть ℓ прямая, заданная уравнением Ax + By + C = 0. Вся плоскость делится этой прямой на три непересекающиеся части: саму прямую ℓ и две полуплоскости (в каждую из этих полуплоскостей входят те и только те точки, которые расположены по какую-либо одну сторону от ℓ). Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 4.

Обозначим главный вектор прямой ℓ через ~n. Возьмем на ℓ произвольную точку M0 и отложим от нее вектор ~n. Конец получившегося направленного отрезка обозначим через M1 . Из замечания 4 вытекает, что точка M1 не принадлежит прямой ℓ. Обозначим ту полуплоскость, в которой лежит точка M1 , через λ, а другую через µ.

Лекция 7: Прямая на плоскости

Полуплоскости,определяемыепрямой(2)

Теорема 4

Пусть M(x′, y′) точка плоскости. Если M λ, то Ax′ + By′ + C > 0, а если M µ, то Ax′ + By′ + C < 0.

Доказательство. Пусть M λ. Через точку M проведем прямую, коллинеарную вектору ~n. Поскольку, в силу замечания 4, ~n ℓ, проведенная нами прямая пересечет прямую ℓ. Обозначим точку пересечения через N, а ее координаты через (x′′, y′′). Ясно, что

Ax′ + By′ + C = A(x′′ + tA) + B(y′′ + tB) + C =

= Ax′′ + By′′ + C + t(A2 + B2 ) = t(A2 + B2 ) > 0.

Первое утверждение теоремы доказано. Второе доказывается вполне

−−→

аналогично. Надо только учесть, что если M µ, то векторы NM и ~n

−−→

антинаправленны и потому NM = t~n для некоторого t < 0. Теорема доказана.

Лекция 7: Прямая на плоскости

Полуплоскости,определяемыепрямой(3)

Из теоремы 4 вытекает следующий ответ на поставленный выше вопрос.

Следствие 1

Точки P(x1 , y1 ) и Q(x2, y2 ) расположены по одну сторону от прямой Ax + By + C = 0 тогда и только тогда, когда числа Ax1 + By1 + C и Ax2 + By2 + C имеют одинаковый знак, и по разные стороны от этой прямой тогда и только тогда, когда эти числа имеют разные знаки.

Лекция 7: Прямая на плоскости

Расстояниеотточкидопрямой(1)

6◦. Расстояние от точки до прямой.

До конца данной лекции будем предполагать, что система координат, заданная на плоскости, прямоугольная декартова. Наша ближайшая цель вывести формулу для расстояния от точки до прямой на плоскости.

Пусть прямая ℓ задана общим уравнением Ax + By + C = 0, а M(x′, y′) некоторая точка плоскости. Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 5.

M(x′, y′)