dist_8

= 0,5310−19 Дж = 0,33 эВ.

Ответ: Е = 0,33 эВ.

8.2.7. Алгоритм решения задач в разделе «Квантовая теория теплоёмкости»

Выяснить, в каком приближении следует решить задачу: теория Эйнштейна или теория Дебая.

Выписать соответствующие формулы: для внутренней энергии, теплоемкости теплоты и т.д.

В большинстве случаев решение предполагает интегрирование, следовательно, необходимо перейти к одной переменной и установить пределы интегрирования.

Вычислить определенный интеграл, получив тем самым решение в общем виде.

Если указана температура относительно температуры Дебая, достаточно воспользоваться готовыми формулами.

Провести вычисления. Записать ответ.

8.2.8. Примеры решения задач в разделе «Квантовая теория теплоёмкости»

Пример 8.2.4. Определить теплотуQ , необходимую для нагревания

кристалла меди массой m =50 г от T1 =15 К до T2 =25 К. Характеристическая

3. Подставляя (2) в (1), получим

T2

∫CdT . (3)

µT1

4.Если условие T2 << TD выполняется, молярную теплоемкость в теорииm

Дебая можно определить по предельному закону

6.Выражение (5) − решение в общем виде.

7.Произведем вычисления:

Ответ: Q = 0,015 Дж.

8.2.9. Задачи для самостоятельного решения

Пример 8.2.5. Вычислить интервал (в электрон-вольтах) между соседними уровнями Е свободных электронов в металле при Т = 0 К вблизи уровня Ферми, если концентрация свободных электронов п =2,0 1022 см-3 и объем металла V =1,0 см3.

Ответ: Е =2,0 10-22 эВ.

Пример 8.2.6. При очень низких температурах красная граница фотопроводимости чистого беспримесного германия λК =1,7 мкм. Найти температурный коэффициент сопротивления α данного германия при комнатной температуре.

Ответ: α = −0,05 К−1.

Пример 8.2.7. Можно ли считать температуры Т1 =20 К и Т2 =30 К низкими для железа, теплоемкость которого при этих температурах равна

(С)1 =0,226 Дж/(моль К) и (С)2 =0,760 Дж/(моль К)?

Ответ: Да.

Пример 8.2.8. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди, дебаевская температура которой ΘD =330 К.

Ответ: U0=48,6 Дж/г.

Пример 8.2.9. Удельная проводимость γ кремния с примесями равна

112 См/м. Определить подвижность bp дырок и их концентрацию np , если

постоянная Холла RH = 3,65 10-4 м3/Кл. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью.

Ответ: bp = 3,5 10-2 м2/(В с); np = 2 1022 м-3.

Пример 8.2.10. Период d решетки одномерного кристалла (кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом) равен 0,3 нм. Определить максимальную энергию εМАК фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Усредненная скорость звука в кристалле равна V=5 км/с.

Ответ: εМАК =1,1 10−21 Дж.

8.3.Элементы физики атомного ядра

8.3.1.Основные понятия, формулы и законы

Полная энергия, энергия связи, удельная энергия связи

•Полная энергия релятивистской частицы

•Согласно закону сохранения полной релятивистской энергии,

где ∑m0c2 и ∑m0′c2 − сумма энергий покоя частиц соответственно до и после реакции, а ∑T и ∑T′ − сумма их кинетических энергий до и после реакции.

•Энергия связи нуклонов в ядре

где с – скорость света в вакууме; тр − масса протона; тп − масса нейтрона;

Z − порядковый номер элемента; A – массовое число; nЯ − масса ядра.

•Энергия связи нуклонов в ядре

где тН − масса атома водорода; тА − масса атома. Эта формула удобнее, чем (8.3.1), так как в таблицах обычно даются массы атомов.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна

EСВ = 931,5 m ,

где m– дефект массы в «а.е.м.»; 931,4 – коэффициент пропорциональности

(1 а.е.м = 931,5 МэВ).

•Удельная энергия связи:

Кинетический закон радиоактивного распада

•Основной закон радиоактивного распада:

где N − число ядер, не распавшихся к моменту времени t ; N0 − число

ядер в начальный момент ( t = 0); λ − постоянная радиоактивного распада.

•Число ядер, распавшихся за время t :

•Число ядер N2 (t) дочернего изотопа изменяется с течением времени по закону

где λ1 и λ2 – соответственно постоянная радиоактивного распада (материнского) исходного и (дочернего) конечного радиоактивного препарата; N1 (0) – число ядер материнского изотопа в момент времени t = 0.

•Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада:

• Среднее время жизни τ радиоактивного ядра, т.е. промежуток времени, за который число не распавшихся ядер уменьшается в e раз:

•Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе:

где m – масса изотопа; µ – молярная масса; N A – число Авогадро.

Активность радиоактивного препарата

•Активность A радиоактивного изотопа:

где dN − число ядер, распадающихся за интервал времени dt ;

N - число радиоактивных атомов в момент времени t, N0 - число радиоактивных атомов в начальный момент времени (t=0), A0 − активность изотопа в начальный момент времени.

•Удельная активность изотопа:

m - масса препарата.

•Интенсивность I узкого пучка монохроматических γ –лучей, прошедших сквозь слой вещества толщиной х , уменьшается по закону

где I0 − интенсивность излучения, падающего на слой; µ − линейный коэффициент ослабления вещества.

Энергия ядерной реакции

где m1 и m2 − массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы;

(m3 + m4 ) − сумма масс покоя ядер продуктов реакции.

•При числовом подсчете энергии атомной реакции массы ядер удобно заменить массами нейтральных атомов, выраженных в атомных единицах массы (а.е.м.), а энергию ядерной реакции вычислять во внесистемных единицах (МэВ). При этом коэффициент пропорциональности определяется по формуле, с2 = 931,5 МэВ/(а.е.м.) где с – скорость света в вакууме.

8.3.2.Общие методические указания

Ядерные реакции

Решение задач на ядерные реакции основано на применении законов сохранения: 1) электрического заряда, 2) суммарного числа нуклонов, 3) энергии, 4) импульса.

Первые два закона позволяют правильно записывать ядерные реакции даже в тех случаях, когда одна из частиц − участников реакции или ее продуктов − не дана. Записав реакцию, мы тем самым определяем неизвестную частицу.

С помощью вторых двух законов находят кинетические энергии частиц − продуктов реакции, а также направления их разлета.

Процесс столкновения бомбардирующей частицы с ядром − мишенью, при котором частица поглощается ядром, рассматривают как неупругий удар и применяют при этом закон сохранения импульса, как и в соответствующих задачах механики.

В законе сохранения энергии, записанном для ядерных реакций, под полной энергией подразумевается полная релятивистская энергия,

определяемая формулой E = mc2 .

Эта энергия mc2 равна сумме энергии покоя частицы m0c2 и ее

кинетической энергии T .

Согласно закону сохранения полной релятивистской энергии,

∑m0c2 + ∑T = ∑m0′c2 + ∑T ′,

где ∑m0c2 и ∑m0′c2 − сумма энергий покоя частиц соответственно до и после реакции, а ∑T и ∑T′ − сумма их кинетических энергий до и после

реакции.

Поскольку в справочных таблицах приводятся значения масс атомов, а не ядер, то удобнее вычислять энергию связи ядра через массу атома водорода и массу данного атома.

При вычислении энергии реакции Q также заменяют массы покоя ядер

массами атомов. Эта замена не влияет на величину разности, стоящей в скобках, так как уменьшаемое и вычитаемое при этом возрастают на одну и ту же величину.

Обычно при ядерных реакциях энергия Q измеряется величинами порядка 10 МэВ, а энергия покоя даже самого легкого ядра − ядра водорода

11 Н (т. е. протона) - равна 938 МэВ. Отсюда следует, что, вычисляя

скорости частиц − ядер или отдельных нуклонов, их можно заведомо считать классическими в следующих случаях:

•если данные частицы являются продуктами ядерной реакции, вызванной столкновением медленных частиц;

•если речь идет об определении порога реакции.

Энергия ядерной реакции, как правило, превышает энергию покоя легких частиц − электронов и позитронов, равную 0,511 МэВ. Поэтому,

находя скорости или импульсы этих частиц (если они являются продуктами реакции), следует пользоваться релятивистскими формулами.

Радиоактивность

Решая задачи на явление радиоактивности, следует различать два случая:

•Радиоактивный распад изолированного вещества.

Вэтом случае используют закон радиоактивного распада в форме

•Радиоактивный распад одного радиоактивного вещества (дочернего), взятого в смеси с другим радиоактивным веществом (материнским), из которого оно возникает.

•В этом случае пользуются соотношением, выражающим закон изменения со временем числа ядер дочернего вещества.

N2 (t) = N1 (0) λ2 λ−1 λ1 (e−λ1t − e−λ2t ) .

•Обратим внимание на особый случай: если период полураспада (T1 2 )1

материнского вещества существенно превышает период полураспада

(T1 2 )2 дочернего вещества, т.е. (T1 2 )1 >> (T1 2 )2 , то по истечении

некоторого промежутка времени устанавливается радиоактивное равновесие между этими веществами. При этом число ежесекундно распадающихся ядер дочернего вещества равно числу вновь образующихся ядер этого же вещества в результате распада ядер материнского вещества. Поскольку активности обоих веществ становятся одинаковыми, имеет место соотношение

N1 = λ2 = (T12 )1 .

N2 λ1 (T12 )2

•В некоторых задачах требуется найти число атомов N , содержащихся в

данной массе m некоторого радиоизотопа ZA X (здесь X − химический символ данного элемента; Z − атомный номер, равный числу протонов в ядре; A − массовое число, равное суммарному числу протонов и

нейтронов, т. е. числу нуклонов в ядре). Для этого пользуются соотношением

N = NA ν = NA (m/µ) ,

где NA − постоянная Авогадро; ν − число молей, содержащихся в данном препарате; µ − молярная масса изотопа. Напомним, что между молярной массой µ изотопа и его относительной атомной массой M

существует соотношение µ = M 10−3 кг/моль.

•Следует иметь в виду, что для любого изотопа величина M , выражается числом, весьма близким к его массовому числу A , т. е.

µ≈ А 10−3 кг/моль.

8.3.3. Алгоритм решения задач по разделам «Энергия связи ядра», «Удельная энергия связи»

1.Выписать соответствующую формулу для расчёта энергии связи или удельной энергии связи ядра.

2.Взять из таблицы массы: протона, нейтрона и атомов химических элементов, участвующих в реакции.

3.Табличные значения подставить в соответствующую формулу или формулы.

4.Произвести расчёт.

5.Написать ответ.

8.3.4. Примеры решения задач по разделам «Энергия связи ядра», «Удельная энергия связи»

Пример 8.3.1. Сравнить удельную энергию связи трития 31 Н и легкого изотопа гелия 23 Не.

Дано:

31 Н ,

23 Не.

Определить:

Решение

1.Энергия связи ядра рассчитывается по формуле

2.Удельная энергия связи ядра рассчитывается на один нуклон в ядре:

3. Напишем формулы для расчета удельной энергии связи трития и легкого изотопа гелия. Эти формулы будут являться решением данной задачи в общем виде.

4.Табличные значения масс нуклонов и атомов:

mp =1,00727647 а.е.м., mn = 1,008665012 а.е.м.,

тН = 3,01605 а.е.м.,

тНе = 3,01603 а.е.м..

5.Подставим табличные значения в формулы (3) и (4) и произведем расчет: