ПрименПроизвИсследФ-й
.pdfОглавление |
|
ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ .............................................................................................................. |
4 |
Вариант 1............................................................................................................... |
4 |
Вариант 2............................................................................................................... |
5 |
Вариант 3............................................................................................................... |
6 |
Вариант 4............................................................................................................... |
7 |
Вариант 5............................................................................................................... |
8 |
Вариант 6............................................................................................................... |
9 |
Вариант 7............................................................................................................. |
10 |
Вариант 8............................................................................................................. |
11 |
Вариант 9............................................................................................................. |
12 |
Вариант 10........................................................................................................... |
13 |
Вариант 11........................................................................................................... |
14 |
Вариант 12........................................................................................................... |
15 |
Вариант 13........................................................................................................... |
16 |
Вариант 14........................................................................................................... |
17 |
Вариант 15........................................................................................................... |
18 |
Вариант 16........................................................................................................... |
19 |
Вариант 17........................................................................................................... |
20 |
Вариант 18........................................................................................................... |
21 |
Вариант 19........................................................................................................... |
22 |
Вариант 20........................................................................................................... |
23 |
Вариант 21........................................................................................................... |
24 |
Вариант 22........................................................................................................... |
25 |
Вариант 23........................................................................................................... |
26 |
Вариант 24........................................................................................................... |
27 |
Вариант 25........................................................................................................... |
28 |
Вариант 26........................................................................................................... |
29 |
Вариант 27........................................................................................................... |
30 |
Вариант 28........................................................................................................... |
31 |
Вариант 29........................................................................................................... |
32 |
Вариант 30........................................................................................................... |
33 |
ПРИМЕРНЫЙ ТИПОВОЙ ВАРИАНТ ........................................................................... |
34 |
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТИПОВОГО ВАРИАНТА ............................................................ |
35 |
Библиографический список................................................................................................ |
50 |
3
ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ
|
Вариант 1 |
|
1. Доказать, что функция |
y = ex sin x |
удовлетворяет уравнению |
y′′ − 2y′ + 2y = 0. |
|
|
2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:
а) |
|
; |
б) ctg 28o ; |
в) lg 9. |
35,94 |
3. Найти n -ю производную функции y = sin3 x.
4.Разложить функцию f (x) = x5 по целым неотрицательным степеням разно-
сти x −1.
5. |
Доказать неравенство arcsin x > x + |
x |
3 при |
0 < x <1. |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||
6. |
Исследовать функции и начертить их графики: |
||||||||||||
|
а) f (x) = |
x4 |
|
|
|
|
|
|
ex |
||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
б) |
f (x) = |
|
; |
||
|
(x + 1)3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x + 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = x + ln(x2 −1) . |
||||||
|
в) f (x) = 2x − 3 3 |
x2 |
; |
|
|
|
|
г) |
|||||
7. |
В соответствии с прогнозами прибыль предприятия описывается функцией |
||||||||||||
|
Π(q)= q2 −10q + 20 , где |
q – величина, характеризующая объем производ- |
|||||||||||
|
ства (в млн. руб.). Найти оптимальный объем выпуска продукции для пред- |
||||||||||||
|
приятия, если его производственные мощности составляют: а) 10 млн. руб.; |
||||||||||||
|
б) 20 млн. руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
Функция спроса q = 10 − p + 2 |
|
и предложения s = 4 p − 6, где q и s – |
||||||||||
p |
|||||||||||||
|
количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на прода- |
||||||||||||
|
жу в единицу времени, |
p – цена единицы товара. Найти: а) равновесную |
цену; б) эластичность спроса и предложения; в) изменение дохода при уве- личении цены на 5 % от равновесной.
4
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
1. Доказать, что |
|
функция |
y = |
x - 3 |
удовлетворяет уравнению |
||
|
x + 4 |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
¢ |
= ( y -1) y |
¢¢ |
. |
|
|
|
|
2(y ) |
|
|
|
|
|
2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:
|
а) 4 |
|
|
; |
|
|
б) |
tg 44o50¢ ; |
|
|
|
|
|
в) arccos 0,07 . |
||
|
15,80 |
|
|
|||||||||||||
3. |
Найти n-ю производную функции y = sin axcos bx . |
|
||||||||||||||
4. |
Составить многочлен Тейлора |
для функции |
f (x) = |
|
в окрестности точ- |
|||||||||||
x |
||||||||||||||||
|
ки xo =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Доказать неравенство |
æ1+ x ö |
|
0 ≤ x <1. |
|
|||||||||||
lnç |
÷ ³ 2x при |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è1 - x ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Исследовать функции и начертить их графики: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) f (x)= |
x2 - 3x + 2 |
|
; |
|
|
б) f (x)= x − 2ln x ; |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
(x +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) f (x)= (x + 4)e2x ; |
|
|
|
г) f |
(x)= 3 |
x2 |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
x +1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Зависимость между издержками предприятия |
C и количеством выпускае- |
||||||||||||||
|
мой продукции x выражается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C(x)= |
ì |
48x, |
x £125, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
í |
2 |
125 < x £150. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
î375 |
+(x - 50) , |
|
Доход от реализации единицы продукции на двух различных рынках соста-
вил p(x)=120 - |
4 |
|
и, соответственно, p(x)=120 + |
x |
. |
|
x |
||||||
3 |
|
|||||
|
6 |
|
Какие рекомендации о количестве выпускаемой продукции можно дать ру- ководителю предприятия? Какой рынок предпочтительней?
8. Функция совокупной полезности U товара x для потребителя имеет вид:
U =10x + 9x2 − x3 , где x – количество потребленного в единицу времени товара. Определите степень насыщения и точку снижения предельной по- лезности функции U ; укажите эти точки на графиках совокупной и пре- дельной полезности.
5
|
|
|
Вариант 3 |
||
1. Доказать, что функция y = ln |
|
|
1 |
удовлетворяет уравнению xy¢ +1= e y . |
|
1 |
+ x |
||||
|
|
2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:
|
а) 5 |
|
1,85 |
|
; |
|
|
|
|
|
б) |
sin 28o ; |
в) arccos 0,05 . |
|
||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
2,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Найти 20-ю производную функции |
y = x2 e−x . |
|
|||||||||||||||
4. |
Составить многочлен Тейлора |
4-го |
порядка для функции f (x) = sin |
p x |
в |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
окрестности точки xo |
=1. |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
Доказать неравенство |
ch x ³1+ |
|
x2 |
|
для |
x R . |
|
||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Исследовать функции и начертить их графики: |
|
||||||||||||||||
|
а) f (x) =1 + |
4x + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
б) f (x) = x3e−3x ; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
г) f (x) = x(ln x − 3). |
|
|
|
в) f (x) =1 - x + 3 + x ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Зависимость объема выпуска продукции |
V от капитальных затрат K |
оп- |
|||||||||||||||
|
ределяется функцией |
V =V ln(4 + K 3 ). |
Найдите интервал изменений |
K , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.
8. Функция потребления некоторой страны имеет вид
C(x) = 53,76 + 0,78x − 0,96 x34 ,
где x – совокупный национальный доход. Найти: а) предельную склон- ность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению; в) эластич- ность потребления по доходу, если национальный доход составляет 256. Склонно ли общество данной страны при существующем потреблении и на- циональном доходе к прогрессу? Почему?
6
|
Вариант 4 |
|
||
1. Доказать, что функция |
y = |
arcsin x |
удовлетворяет уравнению |
|
1 - x2 |
||||
|
|
|
||
(1 - x2 ) y¢ - xy =1. |
|
|
|
2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:
|
а) 3 |
|
; |
|
|
|
б) |
sin 34o ; |
|
|
в) |
arcctg 0,98. |
||||||
|
1,02 |
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
Найти 50-ю производную функции y = |
ax + b |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx + d |
|
|
|
|
||
4. |
Разложить функцию |
f (x) = xe− x |
по формуле Маклорена |
n -го порядка. |
||||||||||||||
5. |
Доказать неравенство |
2 |
|
³ 3 - 1 |
при x ³1. |
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Исследовать функции и начертить их графики: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) f (x) = |
; |
|
|
|
|
|
б) |
f (x) = (x +1) 3 |
x2 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
f (x) = x2e−x ; |
|
|
|
|
|
г) |
f (x) = x2 (ln x -1). |
|||||||||
7. |
Зависимость дохода |
R и издержек С от объема производства х задается |
||||||||||||||||
|
функциями следующего вида: |
R(x) = 30x − 2x2 , |
C(x) = x3 − 35x2 + 150x. |
|||||||||||||||
|
Производственные мощности позволяют производить до |
|
25 единиц про- |
|||||||||||||||
|
дукции. При каком объеме производства прибыль максимальна? |
|||||||||||||||||
8. |
По оценке Tastee Food Сompany |
отношения спроса – дохода на ее продук- |
||||||||||||||||
|
цию описывают уравнением |
q = 500 + 0,1I , |
где |
q – количество ед. про- |
||||||||||||||
|
дукции, а I – средний семейный доход. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
A. |
|
Определить эластичность спроса по доходу при I =15 000 дол., |
I= 20 000 дол., I = 25 000 дол.
B.Результат предыдущих вычислений должен показать, что эластич- ность по доходу увеличивается с ростом дохода. Почему это так? Со- хранилось бы это отношение при q = 0,1I ?
7
|
Вариант 5 |
1. Доказать, что функция |
y = e−x sin x удовлетворяет уравнению |
y′′ + 2y′ + 2y = 0 . |
|
2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:
а) 3125,18 ; б) tg 59o ; в) arccos 0,03.
3. Найти 10-ю производную функции y = xlog2 x .
4.Для функции f (x) = e2x − x 2 написать формулу Маклорена до членов 3-го порядка включительно.
5. |
Доказать неравенство xα −1 ≤ α(x −1) при x > 1, 0 < α < 1. |
6. |
Исследовать функции и начертить их графики: |
а) f (x) = 2x −1 + x 1+ 1;
в) f (x) = (2 + x2 )e-x2 ;
б) f (x) = 1 + ln x ; x
г) f (x) = x − 2 . x2 + 1
7. Производитель реализует свою продукцию по цене 500 рублей за единицу,
а издержки при этом задаются кубической зависимостью C(x) = 50x + 6x3.
Найдите оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соот- ветствующую ему прибыль.
8.Бизнесмен Вася решил основать небольшое предприятие по выпуску изде- лий народного потребления. Ознакомившись со статистикой, он увидел, что зависимость между спросом q и ценой p за единицу изделия выражается формулой q = 60 − 2 p . Найти эластичность спроса. Выяснить, при каких
значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным.
Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать Васе при p = 324 и при p = 484 ден. ед.?
8
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
1. Доказать, что функция |
y = |
2x - x2 |
удовлетворяет уравнению |
y3 + y′′ + 1 = 0. |
|
|
|
2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:
|
а) |
15,92 |
; |
|
|
б) cos28° ; |
|
в) lg 11. |
|||||||
3. |
Найти n -ю производную функции y = xe2x . |
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Составить многочлен Тейлора для функции f (x) = |
|
1 |
|
|
в окрестности |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
2x − x2 |
|||||||||||||||
|
точки |
xo =1 до членов 20-го порядка. |
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
Доказать неравенство |
ex ³ e x при x R . |
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Исследовать функции и начертить их графики: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) f (x) = |
x3 +1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
; |
|
|
б) f (x) = 3 3 |
(x −1)2 |
− 2x; |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) f (x) = x2 e 1 x; |
|
|
г) f (x) = x2 2 + ln x. |
|||||||||||
7. |
Объем добычи строительного песка y (т/ч) зависит от количества вложен- |
||||||||||||||
|
ного труда x (чел./ч): |
y = 4 |
|
. Цена щебня – 100 руб./т, зарплата рабочего |
|||||||||||
|
x |
||||||||||||||
|
– 50 руб./ч. Кроме зарплаты, другие издержки не учитываются. Найдите оп- |
||||||||||||||
|
тимальное количество вложенного труда (рабочих). |
|
|
|
|
|
8.Спрос q на некоторое лекарство зависит от его цены p следующим обра-
зом: q = 20p . Найти эластичность спроса. Какие рекомендации о цене ле-
карства можно дать руководителю фармацевтического предприятия?
9
|
Вариант 7 |
|
1. Доказать, что функция |
y = e4x + 2e−x |
удовлетворяет уравнению |
y′′′ −13y′ −12y = 0. |
|
|
2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:
|
а) e2,003 ; |
|
|
|
|
|
б) |
sin 147o ; |
в) arcctg 1,05. |
|||||
3. |
Найти n-ю производную функции |
y = xln x . |
|
|
|
|||||||||
4. |
Составить многочлен Тейлора |
10-го порядка для функции f (x) = ex2 +2x−1 |
||||||||||||
|
в окрестности точки xo = −1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
Доказать неравенство 1 − 2ln x ≤ |
1 |
при x > 0. |
|||||||||||
x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Исследовать функции и начертить их графики: |
|||||||||||||
|
а) f (x) = − |
|
8 |
|
|
+ x; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
б) |
f (x) = 2x − 33 |
(x − 1)2 |
; |
||||||
|
|
x4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) f (x) = |
|
ex |
|
|
; |
|
|
г) |
f (x) = ln(x2 + 4x). |
||||
|
x − |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Функция издержек имеет вид: C(x)= 200 + 10x + (12)x2. На начальном эта-
пе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние из- держки. В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 50 руб. за единицу. Определить оптимальное для фирмы значение выпускаемой про- дукции (предполагается, что весь выпущенный товар реализуется). На сколько следует увеличить выпуск товара по сравнению с начальным эта- пом? Как изменятся при этом средние и предельные издержки?
8. Функции спроса q |
и предложения |
s от цены p выражаются соответст- |
|
венно уравнениями: |
q = 100(10 − |
|
), s = 2 p + 72. Найти эластичность |
p |
спроса и предложения при равновесной цене, а также изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10 %.
10
Вариант 8
1. Доказать, что функция y = e |
x |
+ e− |
x |
удовлетворяет уравнению |
xy′′ + 12 y′ − 14 y = 0 .
2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:
|
а) |
|
; |
|
б) sin 359o ; |
в) |
arcctg1,08. |
|||||
|
16,08 |
|
||||||||||
3. |
Найти n-ю производную функции |
y = x n−1 e1 x . |
|
|
||||||||
4. |
Составить многочлен Тейлора 15-го порядка для функции |
f (x) = sin(9x 2) |
||||||||||
|
в окрестности точки xo |
= π 6 . |
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Доказать неравенство ln(1+ x) > |
x |
|
|
при условии |
x > 0 . |
|
|||||
x + 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Исследовать функции и построить их графики: |
|
|
|||||||||
|
а) f (x) = |
|
x3 |
; |
|
|
|
|
б) f (x) = x2 3 + (x − 2)2 3; |
|||
|
12(x − 2) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) f (x) = 2x3e−x ; |
|
|
|
|
|
г) f (x) = x2 − 2 ln x. |
7.Зависимость между доходом фермерского хозяйства (ден. ед./день) и коли-
чеством его работников x имеет вид: R(x)= 2500x. Найти оптимальный размер фермерского хозяйства и его прибыль, если дневная зарплата рабо- чего равна 360 (ден. ед.), а прочие расходы хозяйства составляют 510 ln x
(ден. ед.).
8.Пусть производственная функция y = 4x выражает зависимость объема выпускаемой продукции y от численности персонала x . Сейчас на фирме работают 25 человек. Найдите средний и предельный объем выпускаемой продукции, эластичность выпуска по фондам (численности персонала). На сколько нужно увеличить численность персонала, чтобы объем выпускае-
мой продукции увеличился на 5 %?
11
|
Вариант 9 |
1. Доказать, что функция |
y = cos ex + sin ex удовлетворяет уравнению |
y¢¢ - y¢ + ye2x = 0. |
|
2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:
|
а) 6 |
|
; |
|
|
|
|
б) cos151o ; |
|
|
|
в) arcctg(− 0,91). |
|||||||
|
67,84 |
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
Найти n-ю производную функции y = cos4 x + sin4 x. |
||||||||||||||||||
4. |
Функцию |
f (x) = ln(x2 - 7x +12) |
разложить по формуле Тейлора в окрест- |
||||||||||||||||
|
ности точки |
xo =1 |
до членов 20-го порядка. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
é |
pù |
|||||
5. |
Доказать, что sin x ³ x - |
|
при условии |
x Î ê0, |
ú . |
|
|
|
|
||||||||||
6 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
2û |
|
|
|
|
||
6. |
Исследовать функции и построить их графики: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) arcctg(− 0,51); |
|
|
|
|
|
|
|
б) f (x) = |
ln |
x |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
г) f (x) = e 1 x − x . |
||||||||||||||
|
в) f (x) = 3 3 |
(x -1)2 |
- 2x + 2; |
|
|
||||||||||||||
7. |
Расходы x на рекламу влияют на валовой доход |
R(x) по полученному эм- |
|||||||||||||||||
|
пирически закону |
R(x) = R(1 + 3 |
|
), |
где |
R – доход в отсутствие рекламы. |
|||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||
|
При каких значениях R |
оптимальные расходы на рекламу могут превысить |
|||||||||||||||||
|
весь доход в отсутствие рекламы? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8. |
Зависимость спроса q от цены |
p |
за единицу товара задается формулой |
||||||||||||||||
|
q = q0e− p2 |
50. При каких значениях |
p |
спрос является эластичным? Какие |
рекомендации о цене за единицу продукции можно дать при p = 4 и при
p = 6? Как изменится выручка при увеличении цены на 5 % в первом и во втором случае?
12