МАТЕМАТИКА 1 СЕМЕСТР АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

f (x)

1

непрерывна на интервале (0,1), но является на

x

1

y

нем неограниченной, так как

. Кроме

lim f (x) lim

x 0

x 0

x

y f x

того, эта функция не достигает на интервале (0,1) наи-

большего значения.

f x

a

x0

b

x

Другой пример: функция

имеет разрыв в точ-

o

ке x0

(ее график изображен на рис. 14) и, хотя значения

f a

и f b разных знаков, но ни в какой точке функция

Рис.14

Рассмотрим функцию

y f x . Придадим аргументу x приращение

x .

Тогда функция y f x получит приращение

f x f x x f x , которое

характеризует изменение функции

f x

на отрезке x, x x . Средняя скорость

изменения функции на этом отрезке равна

f x

, а скорость изменения функ-

f x

x

ции f x в точке x есть lim

.

Этот предел, если он существует, называет-

x 0

x

ся производной f x

функции

f x

в точке x . Итак, по определению

f x lim

f x

lim

f x x f x

.

x

x 0

x 0

x

Для функции y f x

приняты и другие обозначения производной: y x ,

yx .

Пример 6.1. Доказать, что

sin x cos x

,

cos x sin x

.

Пример 6.2. Доказать, что

ln x

1

,

loga x

1

.

x

x ln a

x

x

ln 1

1

x

x

ln x lim

lim

.

x

x 0

x 0 x

x

ln x

1

1

1

Так как

log a x

, то log a x

ln x

ln x

.

ln a

ln a

ln a

ln a x

6.2. Геометрический и физический смысл производной

Рассмотрим на кривой

y f x

точки M 0 ,

M и секущую M 0 M (рис.15).

При движении точки M по этой кривой к точке

M0 секущая

M 0 M займет свое

предельное положение M 0T .

Предельное положение M 0T секущей M 0 M при стремлении точки M по кривой

к точке M0 , называется касательной к данной кривой в точке

M0

Найдем угловой коэффициент kсек невертикальной

y

T

секущей и угловой коэффициент kкас

невертикальной

M

касательной:

kсек tg

f x0

,

M0

f x0

x

kкас

lim kсек lim

f x0

f

x0 .

x

x

x

x

M M0

x 0

x 0

Из этого равенства вытекает геометрический смысл

Рис. 15

производной.

Значение производной

f x0 равно угловому коэффициенту касательной, про-

веденной к кривой y f

x

в точке M0

с абсциссой x0 :

f x0 kкас

коэффициентом k1 f x0 0

и левостороннюю касательную l 2 с угловым ко-

эффициентом k2 f x0 0 , при этом k1 k 2 . Тогда

f x0 не существует.

y

T

M

y

l2

M0

M0

l1

o

x0

x

o

x

x

Рис.16

0

Рис.17

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной к

кривой,

называется нормалью к этой кривой.

1

Угловой коэффициент нормали

kнорм.

.

k кас.

Уравнение прямой, если известен ее угловой коэффициент и точка

M 0 x0 , y0 ,

имеет вид:

.

y y0

k x x0

Для записи уравнения

нормали к кривой

y f x

следует по-

касательной или

ложить y0 f x0 и

k k кас

или k k норм

соответственно.

Физический смысл

производной заключается в том, что значение производ-

ной f x есть скорость изменения функции f x

в точке

x . Поэтому

1) если задан закон движения материальной точки по прямой

S S t , то

скорость движения

v S t , а ускорение a есть «скорость изменения скорости»,

то есть a v t ;

2)

если

Q Q t

есть количество электричества, проходящего через попе-

речное сечение проводника за время t , то Q t I есть сила тока ;

3)

если

N N t

есть количество вещества, вступающего в химическую ре-

акцию за время t , то N t есть скорость химической реакции.

6.3. Дифференцируемые функции. Дифференциал

Определение. Функция

f x

называется дифференцируемой в точке x , если

f x

lim

f x

.

x 0

x

Тогда согласно теореме 3.1 о связи функции с ее пределом:

f x

f

x x ,

x

где x

есть функция бесконечно малая при x 0 .

Поэтому приращение

дифференцируемой функции представимо в виде

(6.1)

f x f x x x x .

d f x f x x .

Отметим следующие моменты.

1). Дифференциал функции линеен относительно x

и имеет при x 0 тот же

порядок малости, что и x .

2). Второе слагаемое в равенстве (6.1) является при

x 0 бесконечно малой

o x более высокого порядка, чем x .

3). Приращение дифференцируемой функции f x представимо в виде

f x f x x o x d f x o x .

d f x

df x f

x d x

,

f

x d x

.

6.4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью

Если функция дифференцируема , то она непрерывна.

на при x 0 , так как lim

f x lim

x

0 f 0 . Но функция не

y

x 0

x 0

u

u v

u

,

uv

,

u v u v

.

v

u v uv

v 2

v

u x u x

v x v

x u x v

x u x v x v x u x u x v x .

Тогда

f x

u x

v x

v x

u x

u x

v x

.

(6.2)

x

x

x

x

Функция u x

дифференцируема и, следовательно, непрерывна. Поэтому

u x 0 при x 0 . Переходя в равенстве (6.2)

к пределу при x 0 , полу-

чим: u x v x

f

x 0

x или uv

.

x u x v

x v x u

v

u v uv

Остальные формулы выводятся аналогично.

Следствие 1.

tg x

1

,

ctg x

1

.

cos2

x

sin2 x

sin x

cos x sin x cos x

cos

2

x sin

2

x

1

sin x

tg x

.

cos2 x

cos2 x

cos2

cos x

x

d u v du dv ,

d u v v du u dv ,

u

v du u dv

v 0

.

d

v2

v

а) f (x)

3

5 ;

б)

f (x) x tg x ;

в)

f (x) 5

x

.

cos x

ln x

Ответы:

sin x

;

б)

x

; в)

ln x 1

.

а) f (x) 3

cos2 x

f (x) tg x

f (x)

ln2 x

cos2 x

6.6. Производная сложной функции

Пусть

y f u ,

u x . Тогда

y f x сложная функция с промежу-

точным аргументом u , независимым аргументом x .

Теорема 6.2. Пусть функции y f u ,

u x

дифференцируемы. Тогда

сложная функция

y f

x дифференцируема и для ее производной справед-

лива формула:

yx

yu ux .

Доказательство. Для дифференцируемой функции

y f u

имеем:

y yu u u u ,

(6.3)

где u бесконечно малая функция при u 0 .

Разделив равенство (6.3) на

x , получим:

y

yu

u

u

x

x

x u .

Перейдем в этом равенстве к пределу при

x 0 :

lim

y

y

lim

u

lim

u

lim u .

(6.4)

x

x 0 x

u

x 0 x

x 0

x 0

Функция u x

дифференцируема, а значит, и непрерывна. Поэтому ее при-

ращение u 0 при

x 0 . Тогда u 0 при

x 0

и равенство (6.4)

примет вид: yx yu ux ux

0 yu ux .

Пример 6.3. Найти производную функции

y ln3 sin x .

Решение. Данную сложную функцию можно представить в виде

y u3 , где

u ln v , v sin x .

Поэтому

2

1

cos x 3ln

2

sin x

1

cos x 3ctg x ln

2

sin x.

yx

yu uv vx 3 u

v

sin x

tg2 x3

2 tg x3

1

3 x2 .

cos

2

x

3

Примеры для самостоятельного решения

Найти производные следующих функций:

а)

y ln tg x2 ; б)

y sin3 x5 ;

Ответы: а) y

4 x

; б) y 15 x4 sin2 x5

cos x5 .

2

sin 2x

6.7. Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной функции

y f x удобно ра-

венство y f x

сначала прологарифмировать, а затем продифференцировать.

функций

u x v x . При этом следует учесть,

что функция

ln y сложная, так как

y y x

и поэтому

ln y

ln y

yx

1

yx .

y

x

y

Пример 6.4. Доказать, что

ax a x lna

,

e x e x

.

Решение. Прологарифмируем равенство y ax :

ln y xln a ;

затем продиффе-

ренцируем равенство по x :

1

yx lna и выразим

yx :

yx

y lna a x lna .

y

При a e получим: ex ex .

Пример 6.5. Доказать, что

xa a xa 1

.

Решение. Прологарифмируем равенство

y x a :

ln y a ln x ;

затем продиффе-

ренцируем по x :

1

yx a

1

и выразим

yx :

yx

a

y

a

xa

a xa 1 .

y

x

x

x

3

x 5 2 esin x

Пример 6.6. Найти производную функции y

.

(x 1)4

Решение. Найти y

как производную частного слишком громоздко. Удобнее

применить логарифмическое дифференцирование:

ln y ln

x 5 2 / 3 esin x

ln x 5

2 / 3

ln esin x ln x 1

4

,

ln y

2

ln x 5 sin x 4 ln x 1 .

(x 1)4

3

1

2

1

1

Продифференцируем последнее равенство по x :

y

y

3 x 5 cos x 4 x 1 .

венство: ln y ln xtg x

или ln y tg x ln x . Теперь продифференцируем по x , ис-

Примеры для самостоятельного решения

3

x 2 2

y xx2 1 .

Найти производные следующих функций: а)

y

x 1

; б)

x 5 3

3

x 2 2

x 1

1

2

3

x2 1

x2 1

Ответы: а)

;

б)

x

2x ln x

.

y

x 5 3

3(x 1)

x 2

x 5

y

x

ма и ее производная вычисляется по формуле

xy

1

.

yx

arcsin x

1

, arccos x

1

,

arctg x

1

,

arcctg x

1

.

1 x2

1 x2

1 x2

1 x2

Выведем первую из этих формул. Рассмотрим функцию x sin y,

y

,

.

2

2

Эта функция монотонна, дифференцируема и xy cos y 0

на рассматриваемом

интервале. Поэтому обратная функция

y arcsin x дифференцируема, причем

yx

1

1

1

1

.

xy

cos y

1 sin2 y

1 x2

Перед корнем взят знак плюс, так как cos y 0 при

y

,

.

2

2

arcsin x arccos x

,

arctg x arcctg x

.

2

2

Поэтому arccos x arcsin x ,

arcctg x arctg x .

Примеры для самостоятельного решения

Найти производные следующих функций:

в) ln x

.

а) y arctg e 2x , б)

,

y arccos

1 x2

1 3x

Ответы: а) yx

2 e 2x

3

1

;

б)

y

; в). y

.

1 e 4x

2

3x 9x2

1 x2