Свойства эластичности функции

Пусть функция имеет конечную или бесконечную производную на промежутке. Вспомним, что производная есть отношение дифференциалов и.

1. Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х:

.

Доказательство очевидно: .

2. Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины:

.

Действительно, .

3. Эластичность произведения двух функций и, зависящих от одного и того же аргументах, равна сумме эластичностей:

. .

4. Эластичность частного двух функций и, зависящих от одного и того же аргументах, равна разности эластичностей:

.

Доказательство аналогично.

5. Эластичность суммы двух функций может быть найдена по формуле:

.

Доказательство. .

Эластичность элементарных функций

Вычислим эластичности некоторых элементарных функций.

1. Степенная функция . Ее эластичность

.

2. Показательная функция . Ее эластичность

.

3. Логарифмическая функция . Ее эластичность

.

4. Линейная функция . Ее эластичность

.

Функция в зависимости от величины своей эластичности может быть

совершенно эластичная ;

эластичная ;

неэластичная ;

совершенно неэластичная .

13.4 Применение эластичности в экономическом анализе Виды эластичностей в экономике

• Эластичность спроса по цене , показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса (объема потребления) на какое-либо благо при изменении ценыр этого блага на 1%. Производная функции спроса отрицательна (функция убывает) и эластичность спроса имеет также отрицательный знак.

Различают три вида спроса в зависимости от величины :

1. Если , то спрос считаетсяэластичным. В этом случае повышению цены на 1% соответствует понижение спроса более чем на один процент, и наоборот, понижение цены на один процент приводит к росту покупок более чем на 1%.

2. Если , то спроснеэластичный. В этом случае повышение цены на 1% влечет за собой понижение спроса менее чем на 1%, и наоборот, уменьшение цены на 1% приводит к росту покупок более чем на 1%.

3. Если , то спроснейтрален.

Пример 13.1. Пусть .

.

Важно отметить, что при всех значениях р , т.е. кривая спроса , имеет постоянную эластичность, равнуюb.

Пример 13.2. В экономике цена обычно откладывается по вертикальной оси, а величина спроса по горизонтальной оси, уравнение спроса обычно записывается так, что цена р является функцией спроса , а не– функциейр. Рассмотрим уравнение спроса: . Какова эластичность спроса по цене при продаже 10 единиц продукции?

При q = 10, р = 940 – 480 +100= $560. Найдем . Приполучим. Поэтому. Таким образом, изменение цены на 1% от текущей цены $560 изменит величину спроса в обратном направлении на 2%. Мы приходим к выводу, что при цене $560 спрос эластичен.

• Эластичность спроса по доходу характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спросаq на какое-либо благо при изменении дохода потребителей этого блага на 1% .

Положительная эластичность спроса по доходу характеризует качественные товары, а отрицательная величина – некачественные товары.

Так, высокий положительный коэффициент спроса по доходу в отрасли указывает, что ее вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли по доходу имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то ее может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

• Эластичность предложения по цене , показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины предложениякакого-либо товара при изменении цены этого товара на 1%. Производная функции предложения положительна и эластичность предложения также положительна; приимеем неэластичное предложение, при– эластичное.