6. 2. Равномерное распределение

В ряде случаев психологу приходится иметь дело с равномерным распределением, когда варьирующая величина (переменная) приблизительно с равной вероятностью принимает любое значение в определенном фиксированном диапазоне от x_min до x_max . Пример такого распределения приводится на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Графическое выражение теоретического равномерного распределения (пояснения в тексте)

Примером равномерного распределения может служить распределение испытуемых по квантилям, поскольку в каждом интервале квантильной шкалы частоты встречаемости признака одинаковы.

Работа с равномерным распределением достаточно проста. Учитывая, что общая площадь распределения соответствует Р = 1, вероятность события в интересующем нас диапазоне x₁ ¸ x₂ равна отношению ширины этого диапазона (размаха вариаций) x₂ - x₁ к общему (x_max ¸ x_min). Для сравнения экспериментального распределения с теоретическим можно использовать критерий хи-квадрат, а при достаточном количестве эмпирических частот и критерий Колмогорова. Рассмотрим использование этих критериев на двух примерах.

Пример 1

Можно априорно предположить, что число людей, обладающих одним из четырех основных типов темперамента (холерики, сангвиники, флегматики и меланхолики) приблизительно одинаково. Для проверки этой гипотезы проведено тестирование по тесту-опроснику Айзенка 100 взрослых испытуемых. Тип темперамента определялся у них по соотношению показателей экстраверсии и нейротизма.

Было получено следующее распределение испытуемых по типам темперамента: холерики – 22 человека, сангвиники – 36, флегматики – 13 и меланхолики – 29 человек.

Задача состоит в том, чтобы либо принять, либо отвергнуть изначальную гипотезу (нуль-гипотезу) о равномерности распределения людей по типам темперамента.

Для решения задачи можно составить таблицу, аналогичную той, которая использовалась для оценки согласия эмпирического распределения с нормальным по критерию хи-квадрат (см. табл. 6.5).

Таблица 6.5

Тип темперамента	Частота		(fэксп - fтеор)2 fтеор
	fэксп	fтеор
Холерики (экстраверты с высоким уровнем нейротизма) Cангвиники (эмоционально стабильные экстраверты) Флегматики (эмоционально стабильные интроверты) Меланхолики (интроверты с высоким уровнем нейротизма)	22 36 13 29	25 25 25 25	0,36 4,84 5,76 0,64

В данном случае следует пояснить, что теоретические частоты рассчитываются, исходя из гипотезы о том, что распределение по типам темперамента является идеально равномерным.

Вычисление показателя c² (сумма значений в последнем столбце таблицы) дает величину 11,6. При сравнении полученного значения со стандартным (табл. VI Приложений) следует иметь в виду, что для равномерного распределения число степеней свободы вычисляется как число групп (классов) разбиения минус единица: в нашем случае n = N – 1 = 3.

Полученное нами значение (c² = 11,6) больше стандартных (критических) значений как для 1-го (c²_ст = 7,815), так и для 2-го уровня значимости (c²_ст = 11,345). Отсюда следует, что принять гипотезу о равномерности распределения людей по типам темперамента мы не можем. Другими словами, распределение статистически достоверно отличается от равномерного.

Примечания

1. Критерий c² дает надежные результаты на выборках более 30 человек. На малых выборках (n ≤ 30) критерий может «пробуксовывать» и данные могут быть подвергнуты сомнению.

2. Если число градаций признака равно двум, в формулу вычисления c² необходимо вводить соответствующую поправку (так называемую поправку на непрерывность): (f_эксп - f_теор – 0,5)²

f_теор

Пример 2

Условие задачи

В выборке здоровых лиц мужского пола, студентов технических вузов в возрасте от 19 до 22 лет проводился тест М. Люшера в 8-цветном варианте. Установлено, что желтый цвет предпочитается испытуемыми чаще, чем отвергается (см. табл. 6.6).

Таблица 6.6

Разряды	Позиции желтого цвета								Сумма
	1	2	3	4	5	6	7	8
Эмпирические частоты	24	15	13	8	15	10	9	8	102

Вопрос

Можно ли утверждать, что распределение желтого цвета по восьми позициям у здоровых испытуемых отличается от равномерного распределения?

Решение

Для определения соответствия эмпирического распределения теоретическому (равномерному) можно использовать критерий Колмогорова. Для этого вносим экспериментальные данные в таблицу (табл. 6.7) и проводим стандартные вычисления.

Таблица 6.7

Позиции желтого цвета	Частоты		Накопленные частоты		d
	fэксп	fтеор	Fэксп.	Fтеор.
1 2 3 4 5 6 7 8	24 15 13 8 15 10 9 8	12,75 12,75 12,75 12,75 12,75 12,75 12,75 12,75	24 39 52 60 75 85 94 102	12,75 25,50 38,25 51,00 63,75 76,50 89,25 102	11,25 13,50 13,75 9,00 11,25 8,50 4,75 0

Отсюда:

Вывод

Экспериментальное распределение не соответствует теоретическому (равномерному) распределению.