Свойства относительной частоты

1. Относительная частота случайного события неотрицательна: .

Действительно, в формуле (4) .

2. Для достоверного события .

Действительно, достоверное событие наступает при каждой реализации испытания, так что .

3. Для невозможного события .

Действительно, невозможное событие не наступает ни при одной реализации испытания, так что .

4. Если события инесовместны, то .

Действительно, в случае несовместности и событие наступает либо только если наступает, либо только если наступает. Поэтому

, так что

Глава 3. Свойства вероятности

3.1. Аксиоматическое введение вероятностей

Исходными объектами при аксиоматическом введении вероятностей являются случайные события, связанные с определенным испытанием. Основанием для введения аксиом в приводимом ниже виде являются соответствующие свойства относительной частоты.

Предполагается, что на совокупности случайных событий задана числовая функция, выражающая вероятность событияи удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. —вероятность случайного события неотрицательна.

2. —вероятность достоверного события равна единице.

3. Для конечной или бесконечной совокупности попарно несовместных событий справедливо равенство:

—вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Замечание. Если в аксиоме 3 число событий-слагаемых бесконечно, то сумма в правой части понимается как сумма сходящегося ряда.

При геометрической интерпретации случайных событий (см. п. 2.1) в качестве их вероятностей выступают площади соответствующих фигур. При этом площадь объемлющего квадрата, представляющего достоверное событие, равна единице.

3.2. Непосредственные следствия из аксиом

Теорема 1. Вероятность невозможного события равна нулю: .

Доказательство. По свойству операции сложения событий (п. 2.3) имеем: . Поскольку событияинесовместны, то по аксиоме 3:. ▄

Теорема 2. Если событие влечет за собой событие, то :

.

Доказательство. По свойствам операций над событиями имеем:

. Поскольку события инесовместны, то, так как. ▄

Теорема 3. Вероятность случайного события не превосходит единицы:

.

Доказательство. Поскольку , то по предыдущей теореме. ▄

Теорема 4. Для вероятности противоположного события

.

Доказательство. По свойствам операций над событиями (п. 2.3):

. ▄

Теорема 5 (теорема сложения). Для любых двух событий и:

. (5)

Замечание. Геометрически это означает (рис. 8), что для вычисления площади объединения фигур инужно из суммы их площадей вычесть площадь общей (заштрихованной) части, поскольку при сложении она учтена дважды.

Доказательство. По свойствам операций над событиями имеем:

–сумма попарно несовместных событий. (Геометрически это означает, что объединение фигур исостоит из трех частей: их общей части, той части, которая не пересекается с, и той части, которая не пересекается с). Поэтому (аксиома 3):

. (6)

Далее, – сумма несовместных событий, так что, и

. (7)

Аналогично

. (8)

Подставляя (7) и (8) в (6), получаем:

. ▄

Замечание. Формула (5) вместе с третьей аксиомой дают две формы теоремы сложения:

1. Для произвольных событий:

.

2. Для несовместных событий:

.