Глава 2. Случайные события

2.1. Классификация случайных событий

Исходным понятием технико-экономических приложений теории вероятностей является испытание, под которым понимают воспроизведение неизменного комплекса условий. В результате испытания может наступить или не наступить заранее оговоренный исход. Как уже отмечалось, отсутствие однозначной связи между проведением испытания и наступлением или ненаступлением исхода (события) обусловлено, во-первых, влиянием неконтролируемых условий, а во-вторых, неизбежной погрешностью, с которой воспроизводятся контролируемые условия.

Предполагается (по крайней мере, теоретически), что испытание можно проводить неограниченное количество раз. Однократное испытание и связанные с ним исходы не являются предметом изучения в теории вероятностей.

Определение: Случайным событием (или просто событием) называется заранее оговоренный исход испытания.

Объектом изучения в теории вероятностей являются не любые испытания и связанные с ними случайные события, а только такие, для которых при большом числе испытаний проявляются статистические (количественные) закономерности.

Крайними полюсами неопределенности исхода являются достоверность и невозможность.

Определение. Случайное событие называется достоверным, если оно заведомо наступает при каждой реализации испытания.

Обозначение достоверного события: .

Определение. Случайное событие называется невозможным, если оно заведомо не может наступить ни при какой реализации испытания.

Обозначение невозможного события: .

Удобно геометрически иллюстрировать достоверное событие квадратом со стороной (а значит, и площадью); невозможное событие при этом, в соответствии с обозначением, трактуется как пустое множество, а всякое другое случайное событие, связанное с данным испытанием,изображается фигурой (множеством точек) внутри единичного квадрата (рис. 2).

Определение. Событиевлечет за собой событие , если всякий раз при наступлениинаступает и.

Обозначение: .

Рис.2.

Геометрически это иллюстрируется включением фигуры в фигуру(рис. 3).

Р

ис. 3.

(Иллюстрация, как и обозначение, становятся особенно наглядными, если считать испытанием выстрел по мишени, событиями и— попадание в фигуры исоответственно.)

Любое событие влечет за собой достоверное событие:.

Удобно считать, что невозможное событие влечет за собой любое событие: (аналогично тому, как пустое множество считается содержащемся во всяком множестве).

2.2. Операции над событиями

1. Сложение событий.

Определение. Событие называетсясуммой событий и, если оно заключатся в том, что в результате испытания наступает, по крайней мере, одно из событийили.

Обозначение: .

Геометрически сумма событий иллюстрируется объединением фигур и.

Рис. 4.

Описание суммы событий связано с употреблением союза ИЛИ, причем «нестрогого» или «неальтернативного» ИЛИ, когда допускаются обе возможности.

В примере со стрельбой по мишени наступление суммы событий означает попадание в объединение фигури.

Определение. Событие называетсясуммой бесконечного числа событий:

,

если оно заключается в том, что в результате испытания наступает по крайней мере одно из событий .

Пример. Испытание — стрельба по мишени до первого попадания. Пусть событие означает, что первое попадание происходит при- м выстреле. Тогда событие

означает, что мишень вообще когда-нибудь (после конечного числа выстрелов) будет поражена.