II. Предельное равенство.

Введем для испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успехаобозначения:

, где – количество успехов (),.

Теорема. Пусть вероятность успеха в серии независимых испытаний по схеме Бернулли удовлетворяет условию. Тогда

. (24)

Замечания. 1. Предельное равенство (24) означает, что при больших имеет место приближенное равенство:

.

2. Точность приближенного равенства повышается с ростом .

Примеp. Вероятность успеха в отдельном испытании . Найти приближенное значение вероятностиуспехов виспытаниях.

Решение. Имеем . Далее вычисляем:

. По таблице для дифференциальной функции Лапласа находим: . Окончательно. Таким образом, следует ожидать, что при большом числе серий, поиспытаний в каждой, относительная частота тех серий, при которых успех имел место ровнораз, составит около пяти процентов.

3.13. Интегральная теорема Лапласа

I. Интегральная функция Лапласа.

Определение. Интегральной функцией Лапласа называется интеграл с переменным верхним пределом:

.

Для отыскания значений функции имеются таблицы и стандартные компьютерные программы.

График интегральной функции Лапласа приведен на рис. 11. Геометрически выражает приплощадь заштрихованной части криволинейной трапеции на рис. 12.

Свойства функции .

1. при всех .

2. – нечетная функция, то есть . График

функции симметричен относительно начала координат.

Рис. 11.

3. ;.

Значения достаточно быстро приближаются к своим предельным значениям. Так, с точностью до шести знаков после запятой.

4. является производной для: .

Это следует из теоремы о производной интеграла с переменным верхним пределом.

Следовательно, —одна из первообразных функции .

5. Функция строго возрастает.

Действительно, ее производная положительна при всех.

II. Предельное равенство.

Введем обозначение: – вероятность того, что в серии изиспытаний по схеме Бернулли число успеховлежит в пределах:.

Пусть, как и в п. 3.12: — количество испытаний по схеме Бернулли,— вероятность успеха,.

Теорема. Пусть для вероятности успеха в серии независимых испытаний по схеме Бернулли выполняется условие. Тогда для вероятности:

, (25)

или, учитывая определение функции :

. (26)

Замечания. 1. Поскольку является первообразной для, то интеграл в формулах (25) и (26), согласно формуле Ньютона-Лейбница, равен разности значений первообразной:

.

2. Предельное равенство (25) означает, что при больших имеет место приближенное равенство:

.

3. Точность приближенного равенства повышается с ростом .

Пример. Пусть вероятность успеха , число испытаний, границы для числа успехов,. Найти.

Решение. Имеем: ,,,. Поэтому

.

Таким образом, следует ожидать, что при большом числе серий, из испытаний каждая, относительная частота тех серий, в которых число успеховокажется в пределах, составит около 89%.

Список литературы

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2001. — 575 с..

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002. — 478 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1979. — 400 с.

4. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М.: УРСС, 2003. — 205 с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: УРСС, 2001. — 318 с.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть II. М.: Высшая школа, 1997. — 416 с.

7. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1982. — 256 с.

8. Шкадова А.Р., Нырков А.П. Теория вероятностей. СПб.: СПГУВК, 2003. — 198 с.

9. Ястребов М.Ю. Схема равновозможных исходов. СПб.: СПГУВК. 1994. — 13 с.

10. Ястребов М.Ю. Производная и исследование функций. СПб.: СПГУВК. 2003. — 45 с.

11. Ястребов М.Ю. Введение в математическую логику. СПб.: СПГУВК, 2003. — 71 с.

12. Ястребов М.Ю. Математика. Неопределенный и определенный интегралы. СПб.: СПГУВК. 2004. — 55 с.