3.11. Схема независимых испытаний Бернулли

Определение. Испытания образуют относительно исходапоследовательность независимых испытаний по схеме Бернулли, если выполняются два условия:

1. Исходы испытаний независимы в совокупности.

2. Вероятность исхода во всех испытаниях одинакова и равна.

Терминология: — успех,— вероятность успеха,— неудача,— вероятность неудачи.

Пример. Многократные бросания монеты образуют по отношению к исходу , заключающемуся в выпадении герба, последовательность независимых испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха.

Введем обозначение: – вероятность того, что при проведениииспытаний по схеме Бернулли успех будет иметь место ровнораз.

Теорема (о вероятности числа успехов). Справедлива формула:

. (21)

(Здесь – число сочетаний изпо; см. п. 1.5).

Доказательство. Пусть — событие, которое заключается в том, что при проведениииспытаний успех будет иметь место ровнораз, так что. Тогдаявляется суммой попарно несовместных событий, каждое из которых имеет вид произведения (одновременного наступления) событий:

, (22)

причем среди множителей раз встречается успехираз — неудача:

,

и

. (23)

В серии из испытаний можно выбратьномеров успешных испытанийразличными способами. Поэтому число слагаемых в сумме (23) равно(см. последние примеры в п. 1.5 и в п. 3.4).

Вероятность отдельного слагаемого вычисляется по теореме умножения для независимых событий (исходы разных испытаний, по предположению, не влияют друг на друга):

,

поскольку в произведении (22) содержится множителей-успехов, имеющих вероятность, имножителей-неудач, вероятность которых равна.

В результате в (23) имеем одинаковых слагаемых, равных. Поэтому. ▄

Пример. Испытание: из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад извлекается один шар (после чего возвращается обратно). Успех – извлеченный шар оказался белым. Найти вероятность того, что из семи испытаний ровно четыре будут успешными.

Решение. По схеме равновозможных исходов находим вероятность успеха в одном испытании: . Далее,,

. Применяя формулу (21), получаем:

.

3.12. Локальная теорема Лапласа

Последний пример показывает, что даже при относительно небольших значениях вычисление вероятностейпо точной формуле (19) с использованием факториалов и степеней затруднительно. Поэтому имеется потребность в такой приближенной формуле для вероятности, которая не приводила бы к слишком громоздким вычислениям с непомерно большими промежуточными результатами. Такую формулу доставляет локальная теорема Лапласа.

I. Дифференциальная функция Лапласа.

Определение. Дифференциальной функцией Лапласа называется функ-

ция .

График дифференциальной функции Лапласа приведен на рис. 10.

Рис. 10.

Свойства функции .

1. при всех .

2. — четная функция, то есть . График функции симметричен относительно оси ординат.

3. .

Стремление к нулю в последнем пределе достаточно быстрое. Так, с точностью до четырех знаков после запятой .

Для отыскания значений функции имеются таблицы и стандартные компьютерные программы.