Задача 9

Передаточная функция: где предположим Т=2, k=1.

.

1) Получение дискретной передаточной функции из непрерывной передаточной функции в программе matlab

Рисунок 1 – Получение дискретной передаточной функции

2) Создание дискретной модели в среде Simulink

Рисунок 4 - Исследуемая модель с установленными блоками

2) Построение временных и частотных характеристик с помощью пакета Control System.

Рисунок 7 – Временные и частотные характеристики

3) Исследование устойчивости дискретной системы

Критерий Рауса-Гурвица

Для исследования устойчивости дискретной системы с помощью критерия Рауса-Гурвица необходимо:

1. определить характеристический полином дискретной функции;

2. проверить положительность коэффициентов характеристического полинома. Если хотя бы один из коэффициентов меньше или равен нулю, система не может быть устойчивой;

3. если все коэффициенты больше нуля, составить главный детерминант Гурвица и детерминанты и проверить их положительность.

Передаточная функция дискретной системы:

Характеристическое уравнение системы:

=0;

Выполним билинейное преобразование, выполняем подстановку z=(1+w)/(1-w):

,

,

,

a0=3,2135, a1=1,3935, a2=-0,0005

Т.к. коэффициент а2 отрицателен, то следовательно система неустойчива.

Найдем корни уравнения:

=0

z₁=1,001

z₂=0,6055

Система устойчива в том случае, если не один из полюсов(корней)системы не выходит за границы единичной окружности. Т.е. корни уравнения должны удовлетворять неравенству -1<z_i<1.

-1<1,001<1-неравенство не верно

-1<0,6065<1-неравенство верно

Так как 1 полюс находятся в границах единичной окружности, а один полюс находится за границей единичной окружности, значит система является не устойчивой.

Задача 51

Передаточная функция: , где Т=2.

1) Получение дискретной передаточной функции из непрерывной передаточной функции в программе matlab

Рисунок 1 – Получение дискретной передаточной функции

2) Создание дискретной модели в среде Simulink

Рисунок 4 - Исследуемая модель с установленными блоками

2) Построение временных и частотных характеристик с помощью пакета Control System.

Рисунок 7 – Временные и частотные характеристики

3) Исследование устойчивости дискретной системы

Критерий Рауса-Гурвица

Для исследования устойчивости дискретной системы с помощью критерия Рауса-Гурвица необходимо:

1. определить характеристический полином дискретной функции;

2. проверить положительность коэффициентов характеристического полинома. Если хотя бы один из коэффициентов меньше или равен нулю, система не может быть устойчивой;

3. если все коэффициенты больше нуля, составить главный детерминант Гурвица и детерминанты и проверить их положительность.

Передаточная функция дискретной системы:

Характеристическое уравнение системы:

=0;

Выполним билинейное преобразование, выполняем подстановку z=(1+w)/(1-w):

,

,

,

a0=1,6065, a1=0,3935

Т.к. коэффициенты а0, а1 положительны, то следовательно система устойчива.

Найдем корни уравнения

=0;

z=0,6055

Система устойчива в том случае, если не один из полюсов(корней)системы не выходит за границы единичной окружности. Т.е. корни уравнения должны удовлетворять неравенству -1<z_i<1.

-1<0,6065<1-неравенство верно

Так как полюс находятся в границах единичной окружности, значит система является устойчивой.