Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»

Факультет (институт) Факультет информационных технологий

Кафедра Системы автоматизированного проектирования наименование кафедры

Отчет защищен с оценкой________________

Преподаватель _____________А.А. Гребеньков

(подпись) (И.О.Фамилия)

“____”___________ 2012 г.

дата

Отчет

по лабораторной работе №3

Моделирование дискретных систем

название лабораторной работы

по дисциплине Основы теории управления

наименование дисциплины

Студентка группы _____________САПР-81________________ ___А.М.Агапов

И.О. Фамилия

Преподаватель _________________________________________А.А. Гребеньков

И.О. Фамилия

БАРНАУЛ 2012

Задача 2

Непрерывная передаточная функция: , где предположим Т_ос=3, k=2, T=4.

.

1) Получение дискретной передаточной функции из непрерывной передаточной функции в программе matlab

Для создания модели, заданной в виде передаточной функции, используется конструктор tf (от Transfer Function). Его входными параметрами являются массивы коэффициентов числителя и знаменателя.

В MATLAB есть функция c2d, отвечающая за преобразование заданной непрерывной системы в дискретную систему. В качестве моделей могут быть указаны TF, SS или ZPK-модели. Команда поддерживает несколько методов дискретизации. Мы используем TF-модель и метод дискретизации по умолчанию.

Sampling time – период дискретизации.

Получение дискретной передаточной функции из непрерывной передаточной функции в программе MATLAB выглядит следующим образом:

Рисунок 1 – Получение дискретной передаточной функции

2) Создание дискретной модели в среде Simulink

Модель в среде Simulink создается в виде блок-диаграммы на основе типовых блоков, имеющихся в библиотеках.

При 2-ном нажатии на блок Discrete Transfer Fcn открывается окно Function Block Parameters Discrete Transfer Fcn, в котором мы задаем нашу дискретную передаточную функцию, как это показано на рисунке 2

Рисунок 2 – Задание параметров дискретной передаточной функции

Структурная схема в Simulink выглядит следующим образом:

Рисунок 3 – Структурная схема

Библиотека Sources — источники сигналов и воздействий. Блок Step – генератор ступенчатого сигнала, формирует ступенчатый сигнал.

Библиотека Discrete – дискретные блоки. Блок дискретной передаточной функции Discrete Transfer Fсn задает дискретную передаточную функцию в виде отношения полиномов:

, где m+1 и n+1 – количество коэффициентов числителя и знаменателя, соответственно.

num – вектор или матрица коэффициентов числителя,

den – вектор коэффициентов знаменателя.

Библиотека Sinks - приемники сигналов. Блок Scope – осциллограф, строит графики исследуемых сигналов в функции времени. Позволяет наблюдать за изменениями сигналов в процессе моделирования.

Поставим на полученной схеме порядок входа и выхода сигнала. Установим блок Input Point на входе и блок Output Point на выходе исследуемой системы, как это показано на рисунке 4.

Рисунок 4 - Исследуемая модель с установленными блоками

2) Построение временных и частотных характеристик с помощью пакета Control System.

Инструмент Simulink LTI-Viewer входит в состав пакета прикладных программ Control System Toolbox и предназначен для анализа линейных стационарных систем. С помощью данного инструмента можно легко построить частотные характеристики исследуемой системы, получить ее отклики на единичные ступенчатое и импульсное воздействия и т.д.

Для открытия Simulink LTI-Viewer нужно выполнить команду Tools-> Control Design-> Linearization task. В появившемся окне нажать кнопку Linearize model, как показано на рисунке 5, после чего откроется окно LTI-Viewer.

Рисунок 5 – Окно Control and Estimation Tools Manager

Для получения временных и чстотных характеристик системы необходимо выполнить команду Edit\Plot Configuration... в окне LTI Viewer. В результате выполнения этой команды откроется окно Plot Configuration, показанное на рисунке 30.

Рисунок 6 – Настройка конфигурации

В открывшемся окне можно выбрать число отображаемых графиков (панель Select a response plot configuration) и вид отображаемых графиков (панель Response type).

Построим следующие графики (диаграммы):

step – Реакция на единичное ступенчатое воздействие.

impulse – Реакция на единичное импульсное воздействие.

bode – Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики.

nyquist – Диаграмма Найквиста.

Получим следующие графики:

Рисунок 7 – Временные и частотные характеристики

3) Исследование устойчивости дискретной системы

Состояние равновесия объектов управления может быть устойчивым, неустойчивым и нейтральным. То же можно сказать и о системах автоматического управления, а также о дискретных системах.

Неустойчивый объект может входить в устойчивую САУ. В этом случае речь идет о системах с искусственной устойчивостью. Однако неустойчивые линейные САУ сами по себе без дополнительных устройств искусственной устойчивости не могут быть применены на практике. Поэтому первым условием работоспособности линейной САУ является устойчивость.

Дискретная система устойчива тогда и только тогда, когда передаточная функция Ф(z) не имеет полюсов вне единичного круга.

Для систем высокого порядка определение полюсов дискретной передаточной функции является затруднительным. Поэтому производят замену переменной z=(1+w)/(1-w) в передаточной функции Ф(z), затем к полученной функции Ф(w) можно применить критерий Рауса-Гурвица. Этот метод освобождает от необходимости вычислять полюса передаточной функции Ф(z).

Критерий Рауса-Гурвица

Для исследования устойчивости дискретной системы с помощью критерия Рауса-Гурвица необходимо:

1. определить характеристический полином дискретной функции;

2. проверить положительность коэффициентов характеристического полинома. Если хотя бы один из коэффициентов меньше или равен нулю, система не может быть устойчивой;

3. если все коэффициенты больше нуля, составить главный детерминант Гурвица и детерминанты и проверить их положительность.

Передаточная функция дискретной системы:

Характеристическое уравнение системы:

=0;

Выполним билинейное преобразование, выполняем подстановку z=(1+w)/(1-w):

,

,

,

a0=3,779, a1=1,2212, a2=-0,0002

Т.к. коэффициент а2 отрицателен, то следовательно система неустойчива.

Найдем корни уравнения:

=0

z₁=1,0009

z₂=0,779

Система устойчива в том случае, если не один из полюсов(корней)системы не выходит за границы единичной окружности. Т.е. корни уравнения должны удовлетворять неравенству -1<z_i<1.

-1<1,0009<1-неравенство не верно

-1<0,779<1-неравенство верно

Так как 1 полюс находятся в границах единичной окружности, а один полюс находится за границей единичной окружности, значит система является не устойчивой.