Arifm_ustr

определения его дополнения BN(1) , мы непременно получим то же двоичное число, которое составляется путем инверсии всех разрядов ВN. Получение до-

полнения BN(2) несколько сложнее, так как после инвертирования всех разря-

дов ВN к полученному результату следует еще прибавить 1.

Рассмотрим операцию вычитания в случае поразрядного дополнения. При C 2N 1 получим

Таким образом, вычитание можно осуществить, инвертируя число ВN, прибав-

ляя еще одну единицу и вычитая 2N . Вычитание 2N достигается весьма про-

сто – путем инверсии разряда переноса. Для добавления 1 на свободный вход сигнала переноса с0 можно подать единицу. Поэтому здесь не требуется допол-

нительных суммирующих цепей. При этом получается схема, представленная на рис. 1.

Рассмотрим теперь случай точного двоичного дополнения (C 2N ). Для него можно записать

Если вычитаемое число ВN уже задано в форме двоичного дополнения, то чис-

ла АN и BN(2) можно складывать с помощью обычной суммирующей схемы,

инвертируя при этом разряд переноса. Однако, если ВN является обычным по-

ложительным числом, необходимо предварительно вычислить его двоичное

3

DN 2N ZN . При изменении порядка вычитания отсюда следует

Таблица 1 Пример представления разности при положительном и отрицатель-

ном результатах вычитания

Таким образом, введенное число ZN представляет собой точное двоичное до-

полнение модуля разности. При продолжении арифметических операций такое представление является весьма удобным. Однако для оценки результата часто необходимо иметь его величину в обычном двоичном (прямом) коде и его знак.

Представление результата вычитания в виде модуля числа и знака

Для разделения разности на модуль и знак при появлении единицы в разряде переноса v следует вычислить двоичное дополнение числа DN , что достига-

ется с помощью N управляемых инверторов, которые можно реализовать с по-

мощью элементов ―ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ‖. Но из-за необходимости при-

бавления 1 требуется еще одна дополнительная суммирующая схема, показан-

ная на рис. 2. В зависимости от знака разности проводятся преобразования

При выполнении операций с поразрядным дополнением можно исключить вто-

рую суммирующую схему. Для доказательства этого вернемся еще раз к урав-

нению (1) и запишем в общем виде модуль отрицательной разности DN :

5

| D | D [C D] C при D 0. С учетом (1) отсюда получим

| D | C [ A (C B) C] C ,

(8)

| D | C [ A (C B)].

Рис. 2 Формирование двоичного дополнения числа в зависимости от его знака

В отличие от ранее рассмотренного случая положительной разности здесь два корректирующих члена C 2N или C 2N 1 взаимно уничтожаются. Та-

ким образом, если оперировать поразрядным дополнением, то 1 два раза не прибавляется. При этом можно записать | D | [ A B(1) ](1) .

Чтобы результат автоматически разделить на знак и модуль, необходимо снача-

ла подать числа A и B(1) на суммирующую схему и проанализировать полу-

ченный при этом неинвертированный сигнал c4 . Если он равен единице, то разность положительна. В этом случае, как уже было показано, необходимо прибавить 1, для чего следует положить с0 = 1. Это очень просто осуществить,

6

подключая старший сигнал переноса к с0. Такая схема называется схемой цик-

лического переноса.

Если старший сигнал переноса равен нулю, то полученная разность отрица-

тельна. В этом случае прибавление 1 автоматически блокируется. При этом нужно еще проинвертировать результат, что дает модуль разности.

Теперь остановимся на особом случае, когда А = В . Тогда на входы всех разрядов сумматора подается комбинация сигналов 01, т. е. функция распро-

странения переноса рассматриваемой секции Р равна 1. Поэтому с4 = с0 и в схеме образуется положительная обратная связь, т.е. нельзя заранее предуга-

дать, получится в результате плюс ноль (+ 0) или минус ноль ( – 0).

Эти трудности легко обойти, если использовать суммирующую схему с параллельным переносом. Как показано на рис. 3, цепь циклического перено-

са можно подключить не к выходу переноса с4, а к выходу функции генерации переноса G. Как следует из выражения (2.3), величина функции совпадает с

с4 , если не принимать во внимание величину с0. Таким образом устраняется причина образования положительной обратной связи. С другой стороны, сигнал

G достаточен для определения знака, поскольку сигнал с4 при прибавлении единицы не изменяется. Незначительный недостаток этого способа состоит в том, что нуль выдается как отрицательное число. Это, вообще говоря, не явля-

ется ошибкой, но не всегда приемлемо. Для устранения этого эффекта при

A = В следует организовать еще один дополнительный циклический перенос и запретить образование дополнения на выходе. С этой целью сигнал распро-

странения переноса Р с помощью элемента ―ИЛИ‖ также подключен к цепи циклического переноса. Выполняются следующие операции:

Принципиальная схема устройства приведена на рис. 3.

7

сдвигом двоичного представления. Такое представление используется преиму-

щественно при выполнении операций со знакопеременными числами (пред-

ставление чисел в форме двоичного дополнения).

Схема вычитания, представленная на рис. 1, в случае отрицательной раз-

ности выдает ее значение в форме двоичного дополнения. Старший разряд пе-

реноса v можно рассматривать при этом непосредственно как знак: v = 0

означает положительный результат, v = 1 – отрицательный. Таким образом,

схема вычитания формирует значение отрицательной разности в двоично-

дополнительном коде. Для 8-разрядного числа имеется область определения от минус 128 до плюс 127, как показано в таблице 2.

Таблица 2 Область определения 8-разрядных двоичных чисел

Такое представление чисел объясняется тем, что знаковый разряд с можно рас-

сматривать как обычный двоичный разряд определенного веса, взятый, однако,

с отрицательным знаком. В случае 8-разрядного положительного числа В8

9

т. е. представляет собой точное двоичное дополнение В7 .

Рассмотрим теперь, как должна работать суммирующая схема, чтобы правильно оперировать с положительными и отрицательными числами, пред-

ставленными в форме двоичного дополнения. В соответствии с приведенным выше примером рассмотрим суммирование двух чисел А и В , разрядность ко-

торых составляет; 7 бит плюс знаковый разряд v. Суммирующая схема реали-

зует выражение S7 A7 B7 .

Рассмотрим сначала случай А >0, В > 0 . Эти числа складываются со-

вершенно правильно. В отличие от сумматора, предназначенного только для положительных чисел, имеется одно ограничение: так как теперь восьмой дво-

ичный разряд рассматривается как знак, его уже нельзя использовать как разряд переноса. Поэтому сумма не должна выходить за пределы 7-разрядного числа.

Следовательно, она не может быть более 27 — 1 = 127, так как в противном случае результат будет ошибочно рассматриваться, как отрицательное число.

Случай, когда одно из двух чисел (А7 или В7) задано в форме двоичного до-

полнения, уже рассматривался выше, поскольку там вычитание было заменено на сложение с. двоичным дополнением вычитаемого. Чтобы получить правиль-

ное значение знака разности, разряд переноса инвертировался. Так как числа А и В равноправны, сигнал переноса необходимо инвертировать всегда, когда либо А, либо В отрицательно.

Кроме того, может встретиться случай, когда и А, и В – отрицательны.

Сумма двоичных дополнений составит

S7 A7(2) B7(2) 27 A7 27 B7

28 A7 B7 .

Очевидно, что вследствие сложения двух членов дополнений, равных 27,

разряд переноса (восьмой двоичный разряд) b7 не изменится; следовательно, в

нем непосредственно появится знак. Все рассмотренные комбинации представ-

10