Reshebnik211108_-_kopia_2
.pdf
|
|
|
|
3 0 0 1 |
c1 ¡ 3c4 |
0 |
0 |
|
0 0 ○¡81 |
|
|
1 |
||||||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
c2 |
1 |
|
B |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
C |
» |
|
||||
ОСЛУ: |
0 |
0 |
3 |
3 |
1 |
» |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
|
c1 |
¢ |
8 |
|||||||
|
|
|
B |
0 |
|
B○ |
○ |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
3 |
3 |
0C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
1 0 0 3C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
B○ |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 0 ○11 |
|
|
0 |
0 |
0 0 ○11 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
» B |
0 ○1 1 0 |
Cc3 |
¡»3c1 |
B |
0 ○1 1 0 |
C |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
B |
1 0 0 3 |
C |
|
|
B |
|
1 0 0 0 |
C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
B○ |
|
|
|
C |
|
|
B○ |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
n = 4; r = 3; n ¡ r = 1 св. неизв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Общее решение: |
|
|
|
|
|
ФСР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
> |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 x1 |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
= x3; |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
|
x3 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|||
> x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
> |
– св. неизв.; |
|
|
|
u4 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
> x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
> x4 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим, что векторы u1, u2, u3, u4 – попарно ортогональны:
(u1; u2) = 1 ¢ (¡1) + 1 ¢ 1 = 0; (u1; u3) = 1 ¢ 0 + 0 ¢ 1 + 0 ¢ 1 + 1 ¢ 0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(u1; u4) = 1 ¢ 0 ¡ 1 ¢ 0 + 1 ¢ 0 + 0 ¢ 1 = 0; (u2; u3) = ¡1 ¢ 0 + 0 ¢ 1 + 0 ¢ 1 + 1 ¢ 0 = 0; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(u2; u4) = ¡1 ¢ 0 + 0 ¢ (¡1) + 0 ¢ 1 + 1 ¢ 0 = 0; (u3; u4) = 1 ¢ (¡1) + 1 ¢ 1 = 0: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Осталось пронормировать векторы u1, u2, u3, u4: |
|
0 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0p2 1 |
|
|
|
|
0¡p2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
e10 = |
|
|
|
= B C; e20 = |
|
|
|
= B C; e30 = |
|
|
|
|
= B |
1 |
|
C |
; e40 |
|
|
|
|
|
= B¡1 |
|
|
|
C |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
2 |
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
j |
u1 |
j |
B |
0 |
C |
j |
u2 |
j |
B |
0 |
|
C |
|
j |
u3 |
j |
|
B |
|
C |
|
|
j |
u4 |
j |
B |
|
C |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u1 |
|
B |
0 |
C |
|
u2 |
|
|
B |
0 |
|
C |
|
|
u3 |
|
|
|
B |
p |
C |
|
|
|
u4 |
|
|
B |
p |
C |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Bp |
|
C |
|
|
|
|
B p |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
|
|
C |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
B |
2 C |
|
|
|
|
B |
2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
||||
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
¡1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ePe0 |
= p |
|
B0 0 1 ¡1C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
1 |
|
B0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
1 |
0 |
|
|
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод 2. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью невырожденного преобразования переменных.
Рассмотрим этот метод на примере.
а) f(x1; x2; x3) = x12 + 2x22 + x32 + 2x1x2 ¡ 2x1x3 + 4x2x3.
71
Рассмотрим слагаемые, содержащие какую-нибудь конкретную переменную, например x1, дополним эту группу слагаемых до полного квадрата некоторой алгебраической суммы. Для этого придется добавить и вычесть некоторые слагаемые:
f(x1; x2; x3) = (x12 + 2x1x2 ¡ 2x1x3) + 2x22 + x32 + 4x2x3 =
=(x1 + x2 ¡ x3)2 ¡ x22 ¡ x32 + 2x2x3 + 2x22 + x32 + 4x2x3 =
=(x1 + x2 ¡ x3)2 + 6x2x3 + x22:
Совершим преобразования переменных по формулам:
8y1 = x1 + x2 ¡ x3; |
в матричном виде эти формулы |
||||||
>y |
2 |
= |
|
x |
; |
||
> |
|
|
2 |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
можно записать следующим образом: |
|
> |
|
|
|
|
|
||
< |
|
|
|
|
|
|
|
>y3 = |
|
|
x3; |
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
0y11 = |
01 1 ¡11 0x11: |
|
|
|
|
|
|
By2C B0 1 0 |
C ¢ Bx2C |
|
|
|
|
|
|
By3C B0 0 1 |
C Bx3C |
|
0 |
|
|
|
1 |
@ A |
@ |
A @ A |
1 |
1 |
¡1 |
C |
|
|
|
|
B0 |
0 |
1 |
|
|
|
||
Матрица B0 |
1 |
0 |
C очевидно имеет обратную, преобразование с такими матри- |
||||
цами называют@ |
невырожденнымиA |
преобразованиями переменных. Это же можно |
|||||
интерпретировать как переход к новому базису, в котором квадратичная форма
имеет вид:
f(y1; y2; y3) = y12 + y22 + 6y2y3:
Теперь проделаем ту же процедуру с переменной y2: |
|
|
||||||
|
|
f(y1; y2; y3) = y12 + (y2 + 3y3)2 ¡ 9y32: |
||||||
Рассмотрим еще одно преобразование переменных: |
|
|
||||||
8z1 = y1; |
y + 3y ; |
z1 |
|
1 0 0 |
|
y1 |
|
|
>z = |
z2 |
|
0 1 3 |
¢ |
y2 |
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
B C |
B |
|
C B C |
– невырожденное |
|
|
z3 = |
y3; |
0 1 |
= 0 |
|
1 0 1 |
||
|
Bz3C B0 0 1C By3C |
|
||||||
> |
2 |
2 3 |
@ A |
@ |
|
A @ A |
|
|
> |
|
|
|
|
|
преобразование. |
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(z1; z2; z3) = z12 + z22 ¡ 9z32 – это канонический вид.
Заметим, что канонический вид квадратичной формы определен неоднозначно, однако имеет место, так называемый, закон инерции квадратичных форм:
Число положительных и число отрицательных коэффициентов одинаково в любом каноническом виде, к которому может быть приведена квадратичная форма невырожденным преобразованием переменных.
72
б) f(x1; x2; x3) = x1x2 + x1x3.
Для применения метода Лагранжа нужно чтобы какая-нибудь переменная присутствовала в квадрате. Поэтому сначала совершим вспомогательное невырожденное преобразование переменных, в результате которого появится слагаемое с квадратом какой-нибудь переменной. Например,
> |
2 |
|
2 |
|
> |
|
= y1 |
+ y2; |
|
8x1 |
||||
> |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
>x |
|
= |
y ; |
|
> |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
: |
|
= |
|
y3: |
>x3 |
|
|||
f(y1; y2; y3) = y22 + y1y2 + y1y3 + y2y3 =
=µy2 + 12y1 + 12y3¶2 ¡ 14y12 ¡ 14y32 ¡ 12y1y3 + y1y3 =
=µ12y1 + y2 + 12y3¶2 ¡ 14y12 ¡ 14y32 + 12y1y3:
Совершим невырожденное преобразование переменных: |
|
|
1 0y21 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
>z = 1 y + y + 1 y ; |
|
0z21 = 01 1 |
|
1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
> |
|
|
= y1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 |
|
|
¢ |
|
y1 |
|
|||||||||
8z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
z3 = |
|
|
|
|
|
|
y3; |
|
B C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C B C |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Bz3C B0 0 1C By3C |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
> |
|
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
@ A |
|
@ |
2 |
|
|
|
|
2 |
A @ A |
|
||||||||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f(z1; z2; z3) = ¡ |
|
|
z1 |
+ z2 |
¡ |
|
|
|
z3 |
|
+ |
|
|
z1z3 |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= ¡4z12 + |
µz2 + 4z3 |
¶ |
2 |
¡ 16z32 ¡ 4z32 = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
µz2 + |
1 |
|
|
¶ |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= ¡ |
|
z12 + |
|
|
z3 |
|
|
¡ |
|
z32: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8u1 = z1; |
4 |
|
4 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 0 0 |
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|||||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 0 1; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
u3 |
= |
|
|
|
|
z3; |
|
B C |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C B C |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Bu3C B0 0 1C Bz3C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
>u = |
|
z + z ; |
|
@ |
u2 |
A |
|
|
|
@ |
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
A |
|
||||||||||||||||||
> |
|
2 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
A @ |
|
||||||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– это канонический вид. |
||||||||||||||||||
f(u1; u2; u3) = ¡ |
|
u1 |
+ u2 |
¡ |
|
u3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
16 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.1Примеры для самостоятельного решения
7.1.Ортогональным преобразованием привести квадратичную форму к каноническому виду:
а) f(x1; x2; x3) = ¡3x22 + 4x1x2 + 10x1x3 ¡ 4x2x3; Ответ. f(y1; y2; y3) = ¡y12 ¡ 7y22 + 5y32
73
б) f(x1; x2; x3) = 2x12 + 5x22 + 2x32 ¡ 4x1x2 ¡ 2x1x3 + 4x2x3; Ответ. f(y1; y2; y3) = y12 + 7y22 + y32
в) f(x1; x2; x3) = x12 ¡ x22 ¡ 5x32 + 4x1x3 + 6x2x3; Ответ. 2y12 ¡ 7y22
7.2. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа:
а) f(x1; x2; x3) = x12 + x22 + 3x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3; Ответ. y12 + y22 ¡ y32
б) f(x1; x2; x3) = x12 ¡ 3x32 ¡ 2x1x2 + 2x1x3 ¡ 6x2x3; Ответ. y12 ¡ y22
74
Список литературы
[1]Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры // Москва: Наука, 1987.
[2]Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. // Санкт-Петербург.: Лань, 2002.
[3]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра // Москва: Наука, 1984.
[4]Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре // Москва: Наука, 1984.
[5]Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре // Москва: Наука, 1987.
[6]Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975.
[7]Кряквин В.Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вузовская книга, 2006.
75