Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 35. Понятие вектора

Например, если дан отрезок ÀÂ, ãäå À (3; –2; 5),

Â(–1; 2; 3), то координаты его середины таковы: x = 0,5 (3 - 1) = 1, y = 0,5 (-2 + 2) = 0,z = 0,5 (5 + 3) = 4.

296.Равенство векторов. Угол между векторами. Два вектора называются равными, если их можно совместить параллельным переносом (рис. 231), т. е. равные векторы равны по длине и одинаково направлены.

Так, векторы AB è CD, направленные вдоль сторон параллелограмма ÀÂÑD (рис. 232), равны, а век-

òîðû BC è AD не равны (хотя они равны по длине, но имеют противоположные направления).

Ò.10.1. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

Ïр и м е р. Даны точки À (1; 1; 1), Â (2; 0; –1),

Ñ(0; 2; 6), D (1; 1; 4). Требуется: а) проверить, что

AB = CD; б) найти такую точку Å, ÷òî BC = ED.

q а) Имеем AB = {1;-1;-2}, CD = {1;-1;-2}, ò. å.

AB = CD.

457

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

б) Пусть Å (õ; ó; z) — искомая точка. Тогда

ED = {1 - x; 1 - y; 4 - z}, à BC = {-2;2;7}. Приравняв друг другу соответствующие координаты этих векторов, получим 1 – õ = –2, 1 – ó = 2, 4 – z = 7, откуда õ = 3, ó = –1, z = –3. Èòàê, Å (3; –1; –3). n

Для векторов определено только отношение равенства. Отношения «больше» и «меньше» для них не определены.

Углом между двумя векторами называется угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало (рис. 233). Угол между векторами a è b будем обозначать так: (a, b) = j. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы называют

перпендикулярными (èëè ортогональными) и пишут a^b.

Рассмотрим, например, вектор AB = {1;-1;-2}. Здесь Õ = 1, Y = –1, Z = –2. Это означает, что вектор

AB образует с осью Îõ острый угол, а с осями Îó è Îz — тупые углы.

§36. Операции над векторами

297.Сложение векторов. Суммой äâóõ векторов a = {X1;Y1; Z1} è b = {X2;Y2; Z2} называется век-

òîð c = a + b = {X1 + X2; Y1 + Y2; Z1 + Z2}. Векторы можно складывать, используя правило параллелог-

рамма. Пусть надо сложить векторы AB = a è

458

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

Ðèñ. 234

AD = b; тогда c = a + b — диагональ AC параллелограмма ABCD (ðèñ. 234, à). Если в качестве век-

òîðà b взять вектор BC, то мы получим правило треугольника для сложения векторов, а именно, строим вектор a и совмещаем с его концом начало век-

òîðà b. Тогда c = a + b — это вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b (ðèñ. 234, á).

Сложение произвольного количества векторов осуществляют последовательно. Например, пусть надо

(очевидно, что это построение можно было провести сразу, совмещая начало следующего слагаемого с концом предыдущего). Для простоты мы расположили все векторы-слагаемые в одной плоскости, но это несущественно, поскольку два вектора (или равные им)

459

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Ðèñ. 235

всегда лежат в одной плоскости, а в каждой операции сложения участвуют только два слагаемых.

Заметим, что при сложении ненулевых векторов их сумма может оказаться равной нулевому вектору (рис. 236).

Операция сложения векторов обладает следующи-

ми свойствами ( a, b, c — любые векторы):

10. a + b = b + a (переместительный закон).

20. (a + b ) + c = a + (b + c) (сочетательный закон).

298. Умножение вектора на число. Произведением вектора a = {X;Y; Z} на число l называется

вектор b = {lX;lY;lZ} (обозначение: b = la èëè b = al ). При этом выполняется равенство b = la ,

460

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

Ðèñ. 236

вектор b коллинеарен вектору a (ñì. ï. 299), à íà-

правление вектора b совпадает с направлением вектора a, если l > 0, и противоположно ему, если l < 0. Заметим, что 0 × a = 0 для любого вектора a .

На рис. 237 изображены векторы a, 2a è - 0,5a.

Ðèñ. 237

П р и м е р 1. Найти разность векторов a - b.

q Òàê êàê - b = (-1) × b, òî a - b = a + (-b). Отсюда, применяя правило треугольника к векто-

461

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Ðèñ. 238

ðàì a è - b, находим искомую разность a - b (ðèñ. 238, à). Заметим, что в параллелограмме, по-

строенном на векторах a è b, диагональ, выходящая из их общего начала, равна a + b, а вторая диа-

гональ равна a - b, причем вектор-разность направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого (рис. 238, á). n

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами ( l, m — любые числа; a, b — любые векторы):

10. (lm) a = l (ma) (сочетательный закон).

20. (l + m) a = l a + ma (распределительный закон по отношению к числовому множителю).

30. l ( a + b) = l a + l b (распределительный закон по отношению к векторному множителю).

Ïр и м е р 2. Вывести формулы (3) из п. 295,

ò.е. найти координаты середины отрезка ÀÂ, åñëè

462

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

известны координаты его концов A (x1;y1;z1) è B (x2;y2;z2).

q Пусть точка M (x;y;z) — середина отрезка ÀÂ. Тогда AM = 0,5AB (рис. 239). Соединим точки À è Ì с началом координат Î. Имеем OA = {x1;y1;z1},

OM = {x;y;z} è AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1}. Òàê

êàê AM = OM - OA = {x - x1; y - y1; z - z1} è AM =

= 0,5 AB = {0,5 (x2 - x1); 0,5 (y2 - y1); 0,5 (z2 - z1)}, то, приравняв друг другу соответствующие координаты,

имеем x - x1 = 0,5 (x2 - x1), y - y1 = 0,5 (y2 - y1), z - z1 = 0,5 (z2 - z1). Отсюда получаем известные формулы для координат середины отрезка:

õ = 0,5 (õ1 + õ2), y = 0,5 (y1 + y2), z = 0,5 (z1 + z2). n

463

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

299. Коллинеарность и компланарность векторов. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой (или параллельны одной и той же прямой). Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы a, b è c, изображенные на рис. 240,

коллинеарны, причем a è b направлены одинако-

âî, à b è c (èëè a è c ) — противоположно. Если a ¹ 0 и вектор b коллинеарен a, òî

b = l a. Отсюда вытекает следующее утверждение:

Ò.10.2. Два вектора a = {X1;Y1; Z1} è b = {X2;Y2; Z2} коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, ò. å.

(признак коллинеарности векторов).

Так, векторы a = {1;2;3} è b = {-2; - 4; - 6} коллинеарны и противоположно направлены, поскольку

b= -2a.

Ïр и м е р 1. При каких значениях m è n

векторы {m; - 2;5} è {1; n; - 4} коллинеарны?

q Чтобы данные векторы были коллинеарны, дол-

B (4; 5; 6) è C (2; 3; 4) на одной прямой?

464

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

q Если точки À, Â è Ñ лежат на одной прямой, то

векторы AC è BC коллинеарны. Имеем AC =

={1; 1; 1}, BC = {-2; - 2; - 2}. Следовательно, (–2) : 1 =

=(–2) : 1 = (–2) : 1, т. е. точки À, Â, Ñ лежат на одной прямой. n

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости (или параллельны одной и той же плоскости). Нулевой вектор компланарен любым векторам.

Справедливо следующее утверждение:

Ò.10.3. Три вектора a = {X1; Y1; Z1}, b = {X2;Y2; Z2}

è c = {X3;Y3; Z3} и компланарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

X1 Y1 Z1

X2 Y2 Z2 = 0 X3 Y3 Z3

(признак компланарности векторов).

Это означает, что смешанное произведение векто-

ðîâ (ñì. ï. 302) a, b è c равно нулю.

П р и м е р 3. Проверить компланарность векто-

ðîâ a = {3;2;1}, b = {1; - 1;0} è c = {5;0;1}. q Имеем

32 1

т. е. векторы компланарны (здесь определитель разложен по элементам третьего столбца). n

465