Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 34. Правильные многоугольники

Ðèñ. 227 Ðèñ. 228

§34. Правильные многоугольники

292.Основные определения и свойства. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все углы равны. Среди треугольников таким

447

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

условиям удовлетворяет правильный треугольник, среди четырехугольников правильным является только квадрат.

Существуют правильные многоугольники с произвольным числом сторон.

Отметим ряд свойств правильных многоугольников:

10. Два правильных многоугольника с одинаковым числом сторон подобны.

20. Два правильных многоугольника равны, если равны их стороны.

30. Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность.

40. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Очевидно, что эти вписанная и описанная окружности имеют общий центр. Он называется центром правильного многоугольника. Радиус описанной окружности называется радиусом правильного многоугольника, а радиус вписанной окружности — его апофемой. Ясно, что апофема всегда меньше радиуса.

293. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой в правильном многоугольнике. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой правильного многоугольника зависят только от числа его сторон n. Обозначим сторону, радиус и апофему правильного многоугольника соответственно через an, Rn è rn (ðèñ. 229).

проведенными в соседние вершины многоугольника,

448

ГЕОМЕТРИЯ

§ 34. Правильные многоугольники

Ðèñ. 229

равен an = 360° . Справедливы следующие выраже- n

íèÿ rn è àn через Rn:

Выразим, в частности, через радиус R стороны и апофемы правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника. Имеем

Стороны правильного пятиугольника и правильного десятиугольника выражаются через радиус так:

449

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

П р и м е р 1. В окружность радиуса 4 вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Чему равен радиус окружности, вписанной в этот квадрат?

q Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 4, выражается первой из

формул (2): a3 = 4 3. Это длина стороны квадрата, описанного около окружности искомого радиуса r4.

Согласно первой из формул (3), 4 3 = R4 2, откуда

R4 = 4 3 : 2 = 2 6. Наконец, используя вторую из

формул (3), получим r4 = 2 6 × 0,5 2 = 2 3. n

Приведем формулу, связывающую стороны àn è bn вписанного в окружность радиуса R и описанного около нее правильных n-угольников:

П р и м е р 2. Найти сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса R.

q Учитывая, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна радиусу этой окружности, и используя формулу (6), получим

450

ГЕОМЕТРИЯ

§ 34. Правильные многоугольники

Выражения для радиусов вписанной и описанной окружностей через сторону an правильного многоугольника имеют вид

n

Отсюда получаются выражения для радиуса R окружности, описанной около правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, через стороны этих фигур:

Апофемы правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника выражаются через стороны этих фигур так:

Справедлива формула, связывающая длины сторон правильного n-угольника и правильного 2n-уголь- ника, вписанных в одну и ту же окружность радиуса

R (формула удвоения):

451

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Апофему такого 2n-угольника можно выразить через сторону соответствующего n-угольника:

П р и м е р 3. Найти сторону правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса R. q Так как сторона квадрата, вписанного в окруж-

ность радиуса R, равна a4 = R 2, то, используя формулу удвоения, получим

294. Периметр и площадь правильного n-уголь- ника. Пусть Ðn — периметр правильного n-угольни- ка. Тогда справедлива формула

Площадь Sn правильного n-угольника выражается через его сторону an и радиус Rn по формулам

Найдем, например, площадь правильного шестиугольника со стороной à:

452

ГЕОМЕТРИЯ

§ 34. Правильные многоугольники

Кроме того, как и для площади произвольного описанного многоугольника, имеет место формула

Sn = prn,

ãäå ð — полупериметр, а rn — апофема правильного n-угольника.

П р и м е р. Найти отношение площадей правильных восьмиугольников, один из которых вписан в некоторую окружность, а другой описан около нее.

q Пусть R — радиус вписанного восьмиугольника. Он является апофемой описанного восьмиугольника. Обозначив через R1 радиус последнего, заклю-

= 1 + 0,5 2 = 2 + 2 . n

24

453

Раздел X

ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

ÂПРОСТРАНСТВЕ

§35. Понятие вектора

295.Вектор. Длина вектора. Координаты вектора. Вектор — это направленный отрезок. Часто вектор обозначают строчными латинскими буква-

ми со стрелкой или чертой над буквой (вектор a,

вектор b ). На рисунке направление вектора отме- чают стрелкой. Если началом вектора является точ- ка À, а концом — точка Â, то вектор обозначается

AB (рис. 230). Длина отрезка, изображающего вектор, называется длиной (èëè модулем) вектора и

обозначается a èëè AB.

Введем в пространстве (или на плоскости) прямоугольную декартову систему координат (см. п. 22). Пусть известны координаты начала и конца векто-

ðà: A (X1;Y1; Z1) è B (X2;Y2; Z2). Тогда числа

X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1 называются координата-

ми вектора AB. Значит, чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вектора вы- честь координаты его начала. В отличие от координат точки, которые записываются в круглых скобках, координаты вектора будем записывать в фигурных скобках. Полагая X2 – X1 = X, Y2 – Y1 =

= Y, Z2 - Z1 = Z, запишем AB = {X; Y; Z}.

454

ГЕОМЕТРИЯ

§ 35. Понятие вектора

Пусть, например, даны точки À (1; –1; 5) è

 (3; 2; –1); тогда AB = {2; 3; - 6}.

Координаты вектора можно рассматривать как проекции вектора на соответствующие оси координат.

Длина вектора AB = {X; Y; Z} находится по формуле

ò. å. длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Например, длина вектора AB = {-4; 3; - 12} ðàâ-

íà (-4)2 + 32 + (-12)2 = 16 + 9 + 144 = 13.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором (èëè ортом).

Если начало и конец вектора совпадают, то век-

тор называется нулевым (обозначение: 0 ). Длина нулевого вектора равна нулю; направления нулевой вектор не имеет.

455

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Расстояние между двумя точками A (x1;y1;z1) è

B (x2; y2;z2) находится по формуле

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 .

(2)

Так, расстояние между точками À (3; –4; 6)

è Â (1; 2; 3) равно (1 - 3)2 + (2 + 4)2 + (3 - 6)2 =

= 4 + 36 + 9 = 7.

Сопоставляя формулы (1) и (2), заключаем, что

расстояние между точками А и В равно длине век-

òîðà AB.

П р и м е р. Найти геометрическое место то- чек, удаленных от данной точки Ñ (a; b; c) на расстояние R.

q Пусть M (x;y;z) — точка, принадлежащая искомому геометрическому месту. Тогда R =

=(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 , откуда

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

— это уравнение сферы с центром Ñ и радиусом R. n

Используя векторы, можно доказать (см. п. 298), что координаты середины отрезка с концами

A (x1;y1;z1) è B (x2; y2;z2) находятся по формулам

x= 0,5 (x1 + x2), y = 0,5 (y1 + y2), z = 0,5 (z1 + z2), (3)

ò.å. координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

456