Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 33. Углы и отрезки в круге

q Äóãè FH è GE в сумме содержат 218°, поэтому дуги HE è FG дают в сумме 142°. Согласно теореме 9.28, угол FKG измеряется половиной этой величи- ны, т. е. он равен 71°. n

Рассмотрим теперь угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне круга (на рис. 218 — это угол A¢MB¢ ).

Ò.9.29. Угол, образованный двумя секущими, проведенными из внешней точки, измеряется полуразностью дуг, лежащих внутри него.

Òàê, óãîë A¢MB¢ измеряется полуразностью дуг A¢B¢ è ÀÂ (ðèñ. 218).

Теорема 9.28 остается верной и в том случае, когда одна из сторон угла или обе являются касательными к окружности.

П р и м е р 2. Из точки Ì, лежащей вне круга (рис. 219), проведены секущие MDA è ÌÅÑ, образующие угол ÀÌÑ, равный 33°. Сколько градусов содержат дуги ÀÑ è DE, если первая из них в 2,5 раза больше второй?

437

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

q Согласно теореме 9.29, угол ÀÌÑ измеряется полуразностью дуг ÀÑ è DE, откуда следует, что разность дуг ÀÑ è DE равна 66°. Пусть дуга DE содержит õ°, значит дуга ÀÑ содержит 2,5õ°, а их разность равна 1,5õ°. Тогда получаем уравнение 1,5õ = = 66, откуда õ = 44, 2,5õ = 110. Èòàê, »AC = 110°,

»DE = 44°.n

288.Четырехугольники, вписанные в окружность и описанные около нее. Как известно, во всякий треугольник можно вписать окружность и около всякого треугольника можно описать окружность. В случае четырехугольников это не так, а именно, для вписанных четырехугольников справедливо утверждение:

Ò.9.30. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.

Отсюда следует, что из всех параллелограммов окружность можно описать только около прямоугольника, а из всех трапеций — только около равнобоч- ной трапеции.

Отметим еще одно свойство вписанного четырехугольника. Пусть в произвольном вписанном четырехугольнике проведены диагонали. Тогда произведения отрезков, на которые диагонали разбиваются точкой их пересечения, равны (см. теорему 9.33 в п. 289). Например, для вписанного четырехугольника ABCD (рис. 220) выполняется равенство

AF × FC = BF × FD.

Наконец, справедливо следующее свойство (теорема Птолемея): во вписанном четырехугольнике

438

ГЕОМЕТРИЯ

§ 33. Углы и отрезки в круге

произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон (ðèñ. 220), ò. å.

AC × BD = AB × CD + BC × AD.

П р и м е р 1. В четырехугольнике ABCD диагональ ÀÑ служит диаметром описанной около него окружности, а диагональ BD — хордой, составляющей с ÀÑ угол 30°. Точка Ð пересечения хорды и диаметра делит ÀÑ на отрезки ÀÐ = 16 ñì, ÐÑ = 6 см. Найти отрезки DP è ÐÂ, если площадь четырехугольника равна 110 см2 (ðèñ. 221).

q Имеем S = 0,5AC × BD sin30° (ñì. ï. 277), èëè 110 = 0,5 × 22 × 0,5BD, откуда BD = 20 (см). Теперь положим DP = õ, ÐÂ = 20 – õ и воспользуемся тем, что во вписанном четырехугольнике AP × PC = = DP × PB. Тогда 16 Ч 6 = x (20 - x), откуда находим DP = 12 ñì, ÐÂ = 8 ñì. n

439

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Для описанного четырехугольника справедливо утверждение:

Ò.9.31. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Отсюда следует, что из всех параллелограммов окружность можно вписать только в ромб, а из всех трапеций — только в такую равнобочную трапецию, у которой сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Например, в равнобочную трапецию с основаниями 2 и 12 и с боковой стороной 7 можно вписать окружность, а в равнобочную трапецию с теми же основаниями и с боковой стороной 5 — нельзя (хотя около нее можно описать окружность).

П р и м е р 2. Около окружности описан четырехугольник ÀÂÑD (рис. 222), в котором РC = 90°,

AD = 14 ñì, BF = 2 ñì è SDOFB = 0,25SOFCG, ãäå OF è OG — радиусы окружности, проведенные в точки касания. Найти SABCD.

q Пусть OF = x; тогда площадь квадрата OFCG равна õ2, что по условию составляет 4SDOFB =

440

ГЕОМЕТРИЯ

§ 33. Углы и отрезки в круге

= 4 × 0,5OF × BF = 2 × 2x, откуда õ = 4 (см). Значит,

ÂÑ = BF + FC = 6 (см). Так как четырехугольник вписан в окружность, то ÀÂ + CD = AD + BC = = 20 см. Искомую площадь находим по формуле

S = pr (ñì. ï. 277), ãäå ð = 20 ñì, r = 4 ñì. Èòàê,

SABCD = 80 ñì2. n

289.Пропорциональные отрезки в круге. Пусть из одной точки, лежащей вне круга, проведены секущая ÀÂ и касательная ÀÒ (рис. 223). Будем называть отрезок между точкой À и ближайшей к ней точкой пересечения с окружностью внешней частью секущей (отрезок ÀÑ на рис. 223). Тогда справедливо такое утверждение:

Ò.9.32. Квадрат касательной равен произведению

секущей на ее внешнюю часть, ò. å. AB × AC = AT2. Отсюда следует, что касательная равна среднему геометрическому между секущей, проведенной из той

же точки, и внешней частью этой секущей. Отметим, что для любой секущей, проходящей че-

рез данную точку, произведение длины секущей на ее внешнюю часть постоянно: AB1 × AC1 = = AB2 × AC2 (ðèñ. 224).

441

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

П р и м е р 1. Из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая. Касательная меньше секущей на m и больше внешней части секущей на n. Найти длину касательной.

q Используя обозначения, приведенные на рис. 223, имеем: AB - AT = m, AT - AC = n. Пусть ÀÒ = = õ; тогда AB = m + x, AC = x - n. Согласно теореме

9.32, ÀB · ÀC = ÀÒ2, ò. å. (m + x) (x - n) = x2, откуда

mn

x = m - n . n

Рассмотрим теперь хорды, пересекающиеся внутри круга. Справедливо следующее утверждение:

Ò.9.33. Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Например, хорды AB è CD (рис. 225) пересекаются в точке Ì и выполняется равенство AM × MB = Другими словами, для данной точки произведение отрезков, на которые она разбивает

любую проходящую через нее хорду, постоянно.

П р и м е р 2. Через точку Ð диаметра данной окружности проведена хорда ÀÂ, образующая с диаметром угол 60°. Найти радиус окружности, если ÀÐ = 6, ÂÐ = 4 (ðèñ. 226).

q Пусть Î — центр окружности, а MN — диаметр, проходящий через точку Ð. Проведем

442

ГЕОМЕТРИЯ

§ 33. Углы и отрезки в круге

290. Длина окружности. Длиной окружности

называется общий предел, к которому стремятся периметры вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон.

Справедлива формула

ãäå Ñ — длина окружности, R — ее радиус, p — иррациональное число, равное отношению длины окружности к ее диаметру: p = 3,14159... .

П р и м е р 1. Найти длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны à è 3à.

q Найдем длину гипотенузы: a2 + 9a2 = a 10. Так как центром окружности, описанной около пря-

443

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

моугольного треугольника, является середина гипо-

тенузы, то R = 0,5a 10. Теперь по формуле (1) полу-

÷èì C = 2p × 0,5a 10 = pa 10. n

Приведем теперь формулу для вычисления длины l произвольной дуги окружности радиуса R. Пусть

Из последней формулы видно, что длина дуги окружности равна произведению ее радиуса на центральный угол, выраженный в радианах.

П р и м е р 2. Найти длину дуги в одну минуту на экваторе Земли, считая экваториальный радиус Земли равным 6300 км.

q Используя формулу (3), находим

291. Площадь круга и его частей. Площадью круга называется общий предел, к которому стремятся площади вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон.

Площадь круга находится по формуле

444

ГЕОМЕТРИЯ

§ 33. Углы и отрезки в круге

ò. å. она равна половине произведения длины его окружности на радиус.

Если вместо радиуса R взять диаметр D = 2R, то для площади круга получим формулу

Ïр и м е р 1. Найти площадь круга, вписанного

âпрямоугольный треугольник, катеты которого равны 20 и 21 см.

qГипотенуза треугольника равна 202 + 212 =

=29 (см), его полупериметр p = 0,5 (20 + 21 + + 29)=35 (см), а площадь треугольника равна

0,5 × 20 × 21 = 210 (ñì2). Теперь по формуле r = S íàé- p

äåì r = 210 = 6 (см). Наконец, согласно формуле (1)

35

Если же угол выражен в радианах, то получим формулу

ò. å. площадь сектора равна половине произведения квадрата радиуса на центральный угол, выраженный в радианах.

445

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

П р и м е р 2. В круге радиуса 36 см найти площадь сектора, соответствующего центральному

p

óãëó: à) 40°; á) 2 .

q а) По формуле (3) находим

б) По формуле (4) имеем

p × 362

Sñåêò = × = 324p (ñì2). n

2 2

Рассмотрим теперь сегмент круга радиуса R, соответствующий центральному углу a, выраженному в радианной мере (рис. 227). Площадь такого сегмента (на рисунке он заштрихован) равна разности площадей сектора ÎÀÂ и треугольника ÀÎÂ и выражается формулой

Эта же формула верна и для сегмента, соответствующего центральному углу a, большему развернутого (сегмента, дополняющего заштрихованный на рис. 227 до полного круга).

П р и м е р 3. Найти площадь части круга радиуса R, расположенной вне вписанного в него правильного треугольника (рис. 228).

q Искомая площадь равна сумме площадей трех сегментов, заштрихованных на рис. 228. Найдем пло-

446