Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Задача_1ИКТ_kushnarev.docx
Скачиваний:
9
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
127.01 Кб
Скачать

Другие распространённые системы координат

  • Аффинная (косоугольная) система координат — прямолинейная система координат в аффинном пространстве. На плоскости задается точкой начала координат О и двумя упорядоченными неколлинеарными векторами, которые представляют собой аффинный базис. Осями координат в данном случае называются прямые, проходящие через точку начала координат параллельно векторам базиса, которые, в свою очередь, задают положительное направление осей. В трехмерном пространстве, соответственно, аффинная система координат задается тройкой линейно независимых векторов и точкой начала координат. Для определения координат некоторой точки М вычисляются коэффициенты разложения вектора ОМ по векторам базиса

  • Барицентрические координаты были впервые введены в 1827 году А. Мебиусом, решавшим вопрос о центре тяжести масс, расположенных на вершинах треугольника. Они аффинно инвариантны, представляют собой частный случай общих однородных координат. Точка с барицентрическими координатами расположена в n-мерном векторном пространстве En, а собственно координаты при этом относятся к фиксированной системе точек, которые не лежат в (n−1)-мерном подпространстве. Барицентрические координаты используются также и в алгебраической топологии применительно к точкам симплекса

  • Биангулярные координаты — частный случай бицентрических координат, система координат на плоскости, задаваемая двумя фиксированными точками С1 и С2, через которые проводится прямая, выступающая в качестве оси абсцисс. Позиция некоторой точки P, которая не лежит на этой прямой, определяется угламиPC1C2 и PC2C1.

  • Биполярные координаты характеризуются тем, что в качестве координатных линий на плоскости в этом случае выступают два семейства окружностей с полюсами A и B, а также семейство окружностей, ортогональных к ним. Преобразование биполярных координат в декартовы прямоугольные осуществляется посредством специальных формул. Биполярные координаты в пространстве называются бисферическими; в этом случае координатными поверхностями являются сферы, поверхности, образуемые вращением дуг окружностей, а также полуплоскости, проходящие через ось Oz

  • Бицентрические координаты — всякая система координат, которая основана на двух фиксированных точках и в рамках которой положение некоторой другой точки определяется, как правило, степенью ее удаления или вообще позицией относительно этих двух основных точек. Системы подобного рода могут быть довольно полезны в определённых сферах научных исследований

  • Бицилиндрические координаты — система координат, которая образуется в том случае, если система биполярных координат на плоскости Oxy параллельно переносится вдоль оси Oz. В качестве координатных поверхностей в этом случае выступают семейство пар круговых цилиндров, оси которых параллельны, семейство ортогональных к ним круговых цилиндров, а также плоскость. Для перевода бицилиндрических координат в декартовы прямоугольные для трехмерного пространства также применяются специальные формулы

  • Конические координаты — трехмерная ортогональная система координат, состоящая из концентрических сфер, которые описываются посредством их радиуса, и двух семейств перпендикулярных конусов, расположенных вдоль осей x и z

  • Координаты Риндлера используются преимущественно в рамках теории относительности и описывают ту часть плоского пространства-времени, которая обыкновенно называется пространством Минковского. В специальной теории относительности равномерно ускоряющаяся частица находится в гиперболическом движении, и для каждой такой частицы в координатах Риндлера может быть выбрана такая точка отсчёта, относительно которой она покоится.

  • Параболические координаты — это двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями является совокупность конфокальных парабол. Трехмерная модификация параболических координат строится путем вращения двумерной системы вокруг оси симметрии этих парабол. У параболических координат также имеется определенный спектр потенциальных практических приложений: в частности, они могут использоваться применительно к эффекту Штарка. Параболические координаты связаны определенным отношением с прямоугольными декартовыми

  • Проективные координаты существуют, согласно наименованию, в проективном пространстве Пn (К) и представляют собой взаимно однозначное соответствие между его элементами и классами конечных подмножеств элементов тела К, характеризующихся свойствами эквивалентности и упорядоченности. Для определения проективных координат проективных подпространств достаточно определить соответствующие координаты точек проективного пространства. В общем случае относительно некоторого базиса проективные координаты вводятся чисто проективными средствами.

  • Тороидальная система координат — трехмерная ортогональная система координат, получаемая в результате вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два ее фокуса. Фокусы биполярной системы, соответственно, превращаются в кольцо с радиусом а, лежащее на плоскости xyтороидальной системы координат, в то время как ось z становится осью вращения системы. Фокальное кольцо также называют иногда базовой окружностью

  • Трилинейные координаты являются одним из образцов однородных координат и имеют своей основой заданный треугольник, так что положение некоторой точки определяется относительно сторон этого треугольника — главным образом степенью удаленности от них, хотя возможны и другие вариации. Трилинейные координаты могут быть относительно просто преобразованы в барицентрические; кроме того, они также конвертируемы в двумерные прямоугольные координаты, для чего используются соответствующие формулы.

  • Цилиндрические параболические координаты — трехмерная ортогональная система координат, получаемая в результате пространственного преобразования двумерной параболической системы координат. Координатными поверхностями, соответственно, служат конфокальные параболические цилиндры. Цилиндрические параболические координаты связаны определенным отношением с прямоугольными, могут быть применены в ряде сфер научных исследований.

  • Эллипсоидальные координаты — эллиптические координаты в пространстве. Координатными поверхностями в данном случае являются эллипсоиды, однополостные гиперболоиды, а также двуполостные гиперболоиды, центры которых расположены в начале координат. Система ортогональна. Каждой тройке чисел, являющихся эллипсоидальными координатами, соответствуют восемь точек, которые относительно плоскостей системы Oxyz симметричны друг другу.

Форма Земли и её геометрические модели. В нулевом приближении можно считать, что Земля имеет форму шара со средним радиусом 6371,3 км. Такое представление нашей планеты хорошо подходит для задач, точность вычислений в которых не превышает 0,5 %. В действительности Земля не является идеальным шаром. Из-за суточного вращения она сплюснута с полюсов; высоты материков различны; форму поверхности искажают и приливные деформации. В геодезии и космонавтике для описания фигуры Земли обычно выбирают эллипсоид вращения или геоид. С геоидом связана система астрономических координат, с эллипсоидом вращения — система геодезических координат.

По определению, геоид — это поверхность, всюду нормальная силе тяжести.

Если бы Земля была целиком покрыта океаном и не подвергалась приливному воздействию других небесных тел и прочим подобным возмущениям, она имела бы форму геоида. В действительности в различных местах поверхность Земли может значительно отличаться от геоида. Для лучшей аппроксимации поверхности вводят понятие референц-эллипсоида, который хорошо совпадает с геоидом только на каком-то участке поверхности. Геометрические параметры референц-эллипсоидов отличаются от параметров среднего земного эллипсоида, который описывает земную поверхность в целом.

На практике используется несколько различных средних земных эллипсоидов и связанных с ними систем земных координат.

Для решения навигационных задач в околоземном пространстве существенное значение имеет используемое математическое описание формы Земли.

Решение навигационных задач возможно на поверхности некоторых геометрических фигур, имеющих аналитическое описание.

Реальная поверхность Земли, ограниченная водной поверхностью и рельефом суши, является весьма сложной и не имеет математического описания.

Первым по точности приближением к форме Земли является геоид (рис.1.). 

Геоид – это геометрическая фигура, ограниченная так называемой основной уровнённой поверхностью Земли, то есть поверхностью, совпадающей с поверхностью мирового океана в состоянии полного покоя водных масс и продолженной под материками.

Основная уровневая поверхность перпендикулярна силе тяжести, представляющей сумму гравитационной и центробежной сил, и аналитического описания не имеет.

Рис.1. Геоид

Более грубым приближением является эллипсоид вращения, который в данном случае при совпадении малой оси с осью вращения Земли называется земным эллипсоидом (эллипсоидом Клеро). Земной эллипсоид (рис.2.) полностью описывается большой или экваториальной полуосью a и малой полярной полуосью b.

Его также характеризует полярное сжатие c, квадрат первого эксцентриситета e2, квадрат второго эксцентриситета e’2. Эллипсоид, ориентированный в теле Земли из условия минимума погрешностей аппроксимации основной уровнённой поверхности на некоторой её части, называется референц-эллипсоидом.

Рис.2. Земной эллипсоид (эллипсоид Клеро)

По американским данным 1966 – 1967 гг. параметры земного эллипсоида составляют: a = 6378142 + 6 м, c = 1: 298, 255 + 0,005. В нашей стране ещё в советское время введён референц-эллипсоид Красовского, имеющий a = 6378245,000 км, b = 6356863,019 км, c = 0,0033523299, e2 = 0,0066934216, e’2 = 0,0067385254.

Решение геометрических задач на поверхности земного эллипсоида (определение расстояний между двумя точками, направлений из одной точки в другую) весьма сложно из-за отсутствия достаточно простого математического аппарата решения треугольников на эллипсоиде. Поэтому для решения навигационных задач чаще используют сферу, на которую должна быть спроектирована поверхность земного эллипсоида. Правило проекции должно обеспечивать требуемую точность вычислений, и, очевидно, не может быть однозначно для решения разных задач. Основным требованием является получение при проекции сплошного изображения без разрывов и складок. Но это условие приводит к искажению изображения отдельных частей проецируемой поверхности за счёт несоответствия длин отрезков и углов между нами действительным величинам.

Характер линейных искажений можно оценить при помощи частного масштаба m, определяемого как отношение бесконечно малого отрезка dlпр, взятого в данной точке проекции в данном направлении, к соответствующему отрезку на поверхности земного эллипсоида 

dl3: m   = dlпр / dl3.

Отклонение частного масштаба от единицы определяет искажение длины в данной точке по данному направлению

v = m - 1.

Разность углов между лучами на поверхности земного эллипсоида и теми же лучами на проекции w определяет искажение направлений в данной точке:

w = a - b.

Максимальное искажение углов в данной точке вдвое больше максимального искажения направлений

(d’ - d)max = 2w,

где d - угол на земном эллипсоиде; d’ – соответствующий угол на проекции.

Искажение площадей характеризуется отношением площади проекции элементарного круга с эллипсоида на сферу (в общем случае – эллипса) к площади этого круга. Масштаб площадей в данной точке проекции равен произведению максимального и минимального частных масштабов в этой точке, то есть равен mmaxmmin.

В большинстве случаев максимальные и минимальные частные масштабы получаются в направлении меридианов и параллелей и обозначаются соответственно m и n. Полагая m = mmax, n = mmin, можно получить следующие соотношения:

Проекция называется равнопромежуточной по меридиану, если во всех точках m = 1; равнопромежуточной по параллели, если всюду соблюдается условиеn = 1; равноугольной, если m = n; равновеликой, если p = 1. Произвольными называются те проекции, в которых не соблюдаются перечисленные условия.

На практике встречаются равнопромежуточные, равноугольные  и произвольные проекции.