Основные системы

Декартовы координаты

Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел 

• —расстояние от точки P до оси y с учетом знака

• —расстояние от точки P до оси x с учетом знака

В пространстве необходимо уже 3 координаты 

• —расстояние от точки P до плоскости yz

• —расстояние от точки P до плоскости xz

• — расстояние от точки P до плоскости xy

Полярные координаты

В полярной системе координат, применяемой на плоскости, положение точки P определяется её расстоянием до начала координат r = |OP| и углом φ её радиус-вектора к оси Ox.

В пространстве применяются обобщения полярных координат — цилиндрические и сферические системы координат.

Полярные координаты имеют один недостаток: значение  не определено при r = 0.

Цилиндрические координаты

—трёхмерный аналог полярных, в котором точка P представляется упорядоченной тройкой В терминах декартовой системы координат,

• (радиус) — расстояние от осиz до точки P,

• (азимутили долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью осиx и отрезком, проведённым от полюса до точки P и спроектированной на плоскость xy.

• (высота) равна декартовой z-координате точки P.

Примечание: в литературе для первой (радиальной) координаты иногда используется обозначение ρ, для второй (угловой, или азимутальной) — обозначение θ, для третьей координаты — обозначение h.

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных относительно некоторой оси. Например, длинный цилиндр с радиусом R в декартовых координатах (с осью z, совпадающей с осью цилиндра) имеет уравнение тогда как в цилиндрических координатах оно выглядит гораздо проще, какr = R.

Сферические координаты

—трёхмерный аналог полярных.

В сферической системе координат расположение точки P определяется тремя компонентами: В терминах декартовой системы координат,

• (радиус) — расстояние от точки P до полюса,

• (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») полуосью x и проекцией отрезка, проведённого из полюса до точки P, на плоскость xy.

• (широта или полярный угол) — угол между положительной («плюсовой») полуосью z и отрезком, проведённым из полюса до точки P.

Примечание: в литературе иногда азимут обозначается θ, а полярный угол - φ.

Иногда для радиальной координаты используется r вместо ρ. Кроме того, диапазон углов для азимута может выбираться как (−180°, +180°] вместо диапазона [0°, +360°).

Наконец, полярный угол может отсчитываться не от положительного направления оси z, а от плоскости xy; в этом случае он лежит в диапазоне [−90°, +90°], а не в диапазоне [0°, 180°].

Иногда порядок координат в тройке выбирается отличным от описанного; например, полярный и азимутальный углы могут быть переставлены.

Сферическая система координат также имеет недостаток: φ и θ не определены, если ρ = 0; угол φ не определён также и для граничных значений θ = 0 и θ = 180° (или для θ = ±90°, в случае принятия соответствующего диапазона для этого угла).

Для построения точки P по её сферическим координатам нужно от полюса вдоль положительной полуоси z отложить отрезок, равный ρ, повернуть его на угол θ вокруг оси y в направлении положительной полуоси x, и затем повернуть на угол θ вокруг оси z в направлении положительной полуоси y.

Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных относительно точки. Так, уравнение сферы с радиусом R в декартовых координатах с началом отсчёта в центре сферы выглядит как тогда как в сферических координатах оно становится намного проще: