Задание № 5. Расчёт сжатых стержней на устойчивость
3 |
3 |
2 |
8 |
0 |
7 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Дано: Стальной стержень длиной L сжимается силой Р.
Случай А Случай В
Требуется найти:
1) размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие [σ]= 160 МПа (расчет производить последовательными приближениями, предварительно задаваясь величиной коэффициента φ = 0,5);
2) величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости.
Данные взять из таблицы.
P, kH |
l, м |
Форма сечения |
500 |
2,6 |
|
Решение:
1.Определим площадь сечения и главные моменты инерции сечения:
Þ
2. Определим минимальный радиус инерции.
3. Определим размеры поперечного сечения стержня последовательным приближением, задавшись:
- в первом приближении задаемся j1 = 0,5, тогда из условия устойчивости:
Þ
Определим гибкость стержня для случая А и В по формуле:
,
где - коэффициент, величина зависит от способа соединения концов стержня:
- для случая А - = 0,7;
- для случая В - = 2.
Рассмотрим случай А:
,
j 1табл = 0,75;
j 1табл = 0,81;
j 1табл = 0,81 -
Между j 1 = 0,5 и j 1табл = 0,775 разница 35,4 % (> 5% ), поэтому принимаем второе приближение:
j 2
тогда:
j 2 табл = 0,75;
j 2 табл = 0,69;
j 2 табл = 0,75 -
Между j 2 = 0,63 и j 2 табл = 0,72 разница 13,4 % (> 5% ), поэтому принимаем третье приближение:
j 3
тогда:
j 3 табл = 0,75;
j 3 табл = 0,69;
j 3 табл = 0,75 -
Между j 3 = 0,67 и j 3 табл = 0,71 разница 5,9 % (> 5% ), поэтому принимаем четвертое приближение:
j 4
тогда:
j 4 табл = 0,75;
j 4 табл = 0,69;
j 4 табл = 0,75 -
Между j 4 = 0,69 и j 4 табл = 0,7 разница 2,3 % (<5% ), поэтому принимаем четвертое приближение:
а
- поэтому критическую нагрузку определяем по формуле
Ясинского ( - для стальных стержней)
,
где а и в - коэффициенты, МПа;
; ;
А - площадь треугольного стального стержня, :
,
Определим коэффициент запаса устойчивости:
Рассмотрим случай В ( для случая В - = 2):
Таблицей строительных норм и правил воспользоваться не удастся, т.к. превышает предельное значение 200 единиц, поэтому для вычисления гибкости воспользуемся приближенной формулой:
,
разница равна 73%, поэтому переходим ко второй итерации:
φ2==
тогда:
j 2 табл = 0,29;
j 2 табл = 0,26
j 2 табл = 0,29 -
Между j 2 = 0,32 и j 2 табл = 0,26 разница 15,9 % (> 5% ), поэтому принимаем третье приближение:
j 3
тогда:
j 3табл = 0,29;
j 3 табл = 0,26
j 3 табл = 0,29 -
Между j 3 = 0,29 и j 3 табл = 0,285 разница 1.6 % (<5% ), поэтому принимаем третье приближение:
а
- поэтому критическую нагрузку определяем по формуле
Эйлера (- для стальных стержней)
= =
=
Определим коэффициент запаса устойчивости:
Случай А: а, ,.
Случай В: а,;.
Вывод: Устойчивость сжатого стержня на схеме А выше т.к. его гибкость меньше, чем у схемы Б. А()<Б()
Список литературы
Ю.М. Лахтин. Металловедение и термическая обработка металлов. Учебник для вузов. 3-е изд.М., «металлургия», 1984. 360 с
Александров А.В., Потапов В. Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. Учебник для вузов .-2-е изд. Исп.-М.Высш.школа, 2001.-560
Степин П.А. Сопротивление материалов. Учеб. Для немашиностроит.спец. вузов. -8-е изд.-М. Высш.шк., 1988.-367с.ил