Распределения, описываемые симметричной функцией Гаусса с различным среднеквадратичным отклонением
11
Параметры функции распределения Гаусса для основных типов примеси, нм
Энер |
E = 20 кэВ |
E = 40 кэВ |
E = 100 кэВ |
|||
гия |
|
|
|
|
|
|
При- |
RP |
P |
RP |
P |
RP |
P |
месь |
||||||
B |
79 |
32 |
153 |
50 |
344 |
83 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
28.5 |
13 |
53 |
22 |
132 |
46 |
|
|
|
|
|
|
|
As |
18 |
7 |
30 |
11.5 |
62 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
12
Двойное сопряженное распределение Гаусса (асимметричное)
|
|
(x RP )2 |
|
|
|
||
D n0 exp |
|
, |
при |
x RP |
|||
2 P2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
N(x) = |
|
(x RP )2 |
|
|
|
||
D n0 exp |
|
|
, |
при |
x RP |
||
|
2 P22 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
RP |
|
|
|
|
|
P P2 |
|
||
|
|
|
erf |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
P2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
≈ |
2 |
|
|
|||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
||||||||
n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
erf (z) |
|
|
2 |
z e y2dy |
функция ошибок |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция распределения Пирсона-IV
имеет 4 параметра, определяемые из первых четырех моментов: средний проективный пробег, среднеквадратичное отклонение, асимметрия, эксцесс
Сравнение распределений Гаусса и Пирсона с экспериментально полученными распределениями бора после имплантации с энергией E = 150 кэВ и дозой D = 5·1014 см-
2
14
Функция распределения Пирсона-IV является решением дифференциального уравнения
|
|
|
d |
f (z) |
|
|
z a |
|
|
f (z) |
|
|
|
|||||
|
|
dz |
b |
b z b z2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
z x RP |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 2a |
|
2b2 x RP b1 |
|
|
N(x) = |
D b |
x R |
|
b |
x R |
b |
exp |
|
|
arctg |
|
|
||||||
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||
2 |
|
P |
|
1 |
|
|
P |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4b2b0 b1 |
|
4b2b0 b1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a b1 P 3 A |
|
|
|
b2 2 3 2 6 A |
|
||||||||||||
|
b0 P2 4 3 2 A |
|
|
|
A 10 12 2 18 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
Параметры функции распределения Пирсона-IV
|
|
|
|
– средний проективный пробег, он же |
||||
|
|
|
xf (x)dx |
|||||
RP = μ1 |
= |
1-ый момент функции распределения; |
||||||
|
|
|
|
|
|
σ |
|
= (μ )1/2 |
|
|
|
среднеквадратичное отклонение - |
P |
||||
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
P3 |
|
x RP 3N (x) dx D P3 |
- асимметрия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эксцесс, характеризует плавность |
4 P4 x RP 4 N (x) dx D P4 |
|||||||
|
|
|
вблизи вершины - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
i |
(x RP )i f (x)dx |
- i-ый момент функции распределения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
Асимметрия γ функции распределения Пирсона-IV
При γ = 0:
максимум распределения Пирсона лежит в точке RMAX = RP , NMAX = N(RP);
При γ < 0:
пик находится глубже RP (RMAX > RP) и кривая распределения справа от максимума падает
быстрее, чем слева.
При γ > 0:
верно обратное утверждение (RMAX < RP)
17
Аналитические аппроксимации распределения ионов, учитывающие сильную асимметрию и эффект
каналирования
18
Распределение Гаусса с обобщенным экспоненциальным «хвостом»
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n0 |
|
|
|
(x RP )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
, |
при x RP P |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
RP ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
D n |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
exp |
x RP |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
P |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 P |
|
|
|
|
|
lexp |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x RP P ; |
|
|
|
|||
D – доза имплантированной примеси, 1/ см-3, |
|
RP - средняя проекция пробега ионов |
|
P - среднеквадратичное отклонение проекции пробега |
RP + P |
k – коэффициент, обеспечивающий непрерывность в точке x = |
|
n0 – обратное значение нормы функции распределения, |
|
α, lexp – параметры распределения в «хвостовой» части. |
19 |
Распределение Пирсона -IV с линейно- экспоненциальным хвостом
|
N P x , |
0 x xmax |
||
|
|
|
xmax x xa |
|
N(x) = |
NT x , |
|||
|
Nl x , |
xa x |
||
|
||||
|
|
|||
NP(x) - распределение Пирсона –IV
NT(x) - функция распределения в переходной области
Nl(x) - функция распределения в «хвостовой» части
xmax - координата максимума функции распределения Пирсона
xa - координата точки, в которой концентрация примеси равна половине максимального значения
N max N P xmax
Na N P xa 12 Nmax
Функция распределения в «хвостовой» части
|
|
|
|
x x |
max |
|
|
|
|
|
|
|
x x |
max |
|
|
|
N |
l |
x N |
P |
x |
|
|
N |
P |
x |
max |
exp |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
lexp |
|
|
|
|
|
lexp |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|