Raschet_osnovnykh_parametrov_poluprovodnikov

Окончание таблицы

Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции g(x) (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций f(x) и g(x) могут быть различными.

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе экспериментальных точек, аппроксимацию называют точечной, или

дискретной.

Экспериментальные данные берутся из литературных источников, например, из [8–10] или из текущей научной периодики.

3.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РГЗ

1.Скопировать в первый раздел РГЗ необходимые для расчета физические константы, такие как постоянные Больцмана, Планка, заряд электрона и другие из Ресурсного Центра программы MathCAD (Resourse Center → QuickSheets and Reference Tables → Basic Science Reference → Fundamental Physical Constants). Обратить внимание на нали-

чие размерностей.

2.Выписать во второй раздел РГЗ значения констант, относящихся

кконкретному полупроводнику (табл. 1), с учетом размерностей,

например, ширину запрещенной зоны при Т 0 К(Eg0) . Задать диапа-

зон изменения величин, например, температуры и концентрации доноров ( Nd ) и акцепторов ( Na ).

11

Пример 1. Задание диапазонов изменяемых величин с различным шагом. Температура (T) имеет шаг изменения в 1 К, а концентрация

доноров и акцепторов ( Nd и Na ) –1 1015 см 3 . Диапазон изменения концентраций донорной и акцепторной примесей задается в соответствии с экспериментальными зависимостями n (Nd ) , p (Na ) [8–10].

Записать выражение для температурной зависимости ширины запрещенной зоны согласно уравнению (9). Так как в MathCAD нет встроенной единицы измерения «электрон-вольт», то необходимо самим ее определить и присвоить. Результат для Si выглядит так:

1. Определить эффективную массу плотности состояний электронов в зоне проводимости и эффективную массу плотности состояний дырок в валентной зоне. Это можно сделать с помощью формул (7) и (8), если подставить численные значения для Nc или Nv при Т = 300 К

из табл. 1 и решить уравнения относительно mdn и mdp .

Напоминаем, что эти величины используются исключительно для расчета NC (T ), NV (T ) . Результат представить в виде

mdn const1me, mdp const 2me,

где me – масса электрона и поместить перед формулами для NC (T ) ,

NV (T ) .

2. Оценить собственную концентрацию носителей заряда, построить график ni f (T ) и определить графически температуру

начала собственной проводимости Ti , при которойni (Ti ) Nd или pi (Ti ) Na .

12

3. Используя экспериментальные результаты работ [8–10], получить аппроксимационные выражения для подвижностей электронов и дырок в зависимости от температуры (уравнение (14)) при заданных значениях концентраций примеси и отдельно от концентрации приме-

си в диапазоне 1015 1019 см 3 при T = const. При T = 300 К практиче-

ски во всех исследованных полупроводниках концентрационную зависимость подвижности можно описать уравнением (13). В некоторых случаях вместо функции Find можно использовать функцию минимальной ошибки Minerr.

4. Построить графики экспериментальных и аппроксимационных зависимостей n (Т), p (Т), n (Nd ), p (Na ) (см. примеры выполне-

ния 2, 3).

5. Провести коррекцию температурных зависимостей подвижностей n (Т) и p (Т) в случае несовпадения концентраций примесей в

экспериментальных зависимостях и заданных значений Nd1, Na1, Nd2, Na2 (см. Пример 4).

Следующие ниже пункты (6–9) выполняются по согласованию

спреподавателем.

6.Рассчитать удельное электрическое сопротивление собственного полупроводника по формуле (15). Сравнить полученный результат при

Т = 300 К с литературными данными работы [10], часть из которых дана в табл. 1. Определить зависимость уровня Ферми от температуры в примесном и собственном полупроводниках относительно границ

разрешенных зонNC , NV . Использовать допущение полной ионизации

примесей, т. е. n ≈ Nd, а p ≈ Na при расчете по формулам (16) и (17). 7. Построить график отношения подвижности электронов к по-

движности дырок при фиксированном значении температуры (Т = = 300 К) в зависимости от концентрации примеси. Задать концентрации

Nd и Na в широком диапазоне, например от 1015 см 3 до 1019 см 3

(см. Пример 1).

8. Рассчитать и построить на одном графике зависимости удельного электрического сопротивления примесного полупроводника (n- и p-ти-

па) от концентрации примеси ( Nd и Na соответственно) при постоянной температуре (Т = 300 К). Задать концентрации Nd и Na , как в п. 7.

9. Определить коэффициенты диффузии электронов и дырок в зависимости от температуры при заданных Nd1 и Na1. Построить графи-

ки Dn (T ) иDp (T) .

13

Базовые физические параметры

Пример 2. Получение аппроксимационной зависимости подвижности дырок от температуры в Si по известному уравнению (14) с помощью блока Given – Find. Размерность подвижности задана в см2/(В·с). Знак равенства в уравнениях должен быть логический, а число уравнений

14

Таблица 1

полупроводников (Т = 300 К) [10]

вблоке Given – Find соответствовать числу неизвестных. Экспериментальные зависимости приведены на рис. 2 и 5, а процедура снятия значений с графиков, выполненных в логарифмических шкалах, показана

впримере 3.

15

Результат аппроксимации в сравнении с экспериментом показан на рис. 3

Графики на рис. 2 и 3 визуально имеют мало общего. Для того чтобы исправить ситуацию, изменим единицы измерения по оси ординат,

поделив p (T ) на cm2 / (V·s) . Также сменим шкалы измерений на

обеих осях с равномерных на логарифмические, т. е. сделаем график идентичным по виду исходному графику (см. рис. 2). Результат можно увидеть на рис. 4.

Пример 3. Получение аппроксимационной зависимости подвижности дырок в GaP от концентрации акцепторов с помощью блока Given –Find и подбора начальных условий при постоянной температу-

ре Т = 300 К.

Порядок выполнения операций

1. Копируем график концентрационной зависимости подвижности дырок в фосфиде галлия (рис. 5) в стандартную программу Paint. Ось абсцисс (ось X) представлена неравномерной логарифмической шкалой, а ось ординат (ось Y) – равномерной шкалой.

Рис. 5. Экспериментальные зависимости подвижности дырок в GaP от концентрации акцепторов [10]. Кривая 3 снята при T = 300 К

18

2. Заменяем неравномерную логарифмическую шкалу вдоль оси абсцисс на равномерную логарифмическую шкалу, т. е. вместо самой

величины концентрации Na будем использоваться логарифм этой величиныlog(Na ) . Начало отсчета на графике не определено, поэтому

зададим его, проведя вертикальную линию через риску числа 17 и горизонтальную линию через риску числа 50 (рис. 6).

Рис. 6. Преобразованный график зависимости подвижности дырок в GaP от концентрации акцепторов. Ось концентраций представлена равномерной логарифми-

ческой шкалой

3.В программе Paint с помощью инструмента «Прямоугольник» определяем координаты точек относительно нового начала координат. Если не отпускать левую клавишу мыши, то координаты по X и Y можно считать в правом нижнем окне (первое число по оси X, второе – по оси Y) в пикселях. Точки считываем непосредственно с экспериментальной зависимости, в данном случае с линии 3, которая соответству-

ет T = 300 К.

4.Определяем масштаб по осям, т. е. длину отрезка в пикселях между двумя значащими числами и записываем пропорцию. Напри-

log(1019 ) log(1017 ) 387 пикселей), по оси Y ((250 –

– 50) ↔ 274 пикселей). Таким образом, для оси X искомое соотношение – (2↔387 пикселей), а для оси Y – (200 ↔ 274 пикселей).

19

5. Снимаем координаты точек с линии 3 относительно начала координат и в программе MathCAD записываем их в матрицу:

Для зависимости µ = f(T) на падающем участке берем 5-6 точек, а для µ = f(N) – 10-12 точек во всем диапазоне изменения переменной величины.

6. Составляем пропорции и записываем формулы пересчета с учетом начала координат. Пример для последней точки приводится ниже:

7. Далее заполняем матрицы для концентраций NN и для подвижностей MM с присвоением соответствующих размерностей.

Given