УЧЕБНИК РЭМ5
.pdf
184
Некоторые важные соотношения векторного анализа
a = axi + ay j + azk
(ab) = axbx + ayby + azbz скалярное произведение векторов
[ab]= |
i |
j |
k |
|
|||
ax |
ay |
az |
векторное произведение веторов |
||||
|
|
bx |
by |
bz |
|
||
|
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
abc = |
bx |
by |
bz |
|
|
смешанное произведение векторов |
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
|
|
U (r) - скалярное поле векторного аргумента
V(r) - векторное поле векторного аргумента
gradU (r)= i ∂U∂x(r) + j ∂U∂y(r) +κ∂U∂z(r)
divV (r)= ∂∂Vxx + ∂∂Vyy + ∂∂Vzz
= i |
∂ |
+ j |
∂ |
+k |
∂ |
оператор Гамильтона |
||||||
∂x |
∂y |
∂z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
∂2 |
+ |
∂2 |
|
+ |
∂2 |
|
оператор Лапласа |
||||
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
U (r)= gradU (r)
( V (r))= divV (r)
×V (r)= rotV (r)
185
|
|
i |
|
j |
|
k |
rotV(r)= |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|||
|
Vx |
Vy |
Vz |
|||
div (rotV (r))≡ 0
rot (gradU (r))≡ 0
U (r,t )= Aei(ωt−kr)
U (r,t )= −k2U (r,t )
∂2U (r,t ) = −ω2U (r,t )
∂t2
Волны
ψ (x,t )= f1 (x −ut )+ f2 (x −ut ) общее выражение волнового возмущения
ψ (x, y, z,t )=ψ (r,t ) |
= Aeik(r−ut) плоская волна |
||||
ψ (r)− |
1 |
|
∂2ψ |
(r) |
= 0 волновое уравнение |
2 |
|
∂t |
2 |
||
|
u |
|
|
|
|
ϕ (r,t )= Ar eik(r−ut) сферическая волна
I(r,t )=ψ (r,t ) ψ (r,t )
186
Формулы ЭЙЛЕРА
|
±ix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
= cos x ±isin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin x = |
|
eix |
−e−ix |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2i |
|
Формулы Эйлера |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ix |
−ix |
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
= e |
+ e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
2 |
α |
=1−cosα |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2cos2 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
=1+ cosα |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+α)2 |
≈1+ 2α если α 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
=1−nα |
|
|
|
|
|
|
|||
(1+α)n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a1,..a2 |
|
|
= a1 q1,..a3 |
= a1 q2 ,... |
|
|
|
|
||||||||||
a |
|
= a |
|
|
qn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если..q ≤1..q − знаменатель..прогресии геометрическая прогрессия |
||||||||||||||||||
Sn |
= a1 + a2 + a3 +... + an = |
a1 (1 |
− qn ) |
|
||||||||||||||
|
1 |
− q |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ВАЖНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ФУРЬЕ-АНАЛИЗА
Дельта функция (функция Дирака)
|
( |
|
) |
|
0 если x ≠ a |
+∞ |
|
( |
|
|
( |
|
) |
|
+∞ |
|
δ |
x − a |
= |
∫ |
δ |
x dx =1 |
δ |
x |
= |
∫ |
e2πixydy |
||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∞ если x = a |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
Функция Хевисайда (единична ступенчатая функция)
0 |
x < a |
d |
σ (x − a)=δ (x − a) |
|
σ (x − a)= |
|
|||
x ≥ a |
dx |
|||
1 |
|
187
∫eaxdx = |
|
1 eax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
f (x) g (x)= ∫ f (X ) g (X − x)dX |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) δ (x)= f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) δ (x − a)= f (x − a) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F{f (x)}= F (u)= |
∫ f (x) e2πiuxdx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|||||
|
|
|
|
f (x)= F−1 F{f (x)} = +∞∫ F (u) e−2πiuxdx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (−x) |
|
|
|
F (−u) |
||||||||||||||||
|
|
|
f (x) |
|
|
|
F (−u) |
|||||||||||||||
|
|
|
f (ax) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a F (u / a) |
|||||||||
f (x)+ g (x) |
F (u)+G (u) |
|||||||||||||||||||||
f (x) g (x) |
F{f (x)} F{g (x)} |
|||||||||||||||||||||
|
|
f (x − a) |
|
|
e2πiau F (u) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 |
iu) |
|
|
F (u) |
||||||||
|
|
d |
(x) |
− π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
d n |
|
|
|
|
(−2πiu)n F (u) |
|||||||||||||||
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dxn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
δ (x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
δ (x − a) |
|
|
|
|
e2πiau |
||||||||||||||||
|
|
e−a2x2 |
|
|
|
π |
|
e |
− |
π2u2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
= |
0 |
|
x |
|
< a / 2 |
|
|
|
sin (πau) |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
≥ a / 2 |
|
|
|
|
|
πu |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+(N −1)/ 2 |
|
sin (π Nau) |
|||||||||||||||||||
f (x)= |
∑ |
δ (x − na) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
sin(πau) |
|||||||||||||||||||
|
−(N −1)/ 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Дифракция на щели
0 |
|
x |
|
< a / 2 |
|
|
|||
f (x)= |
|
x |
|
≥ a / 2 |
|
|
|||
|
|
|||
1 |
|
|
||
|
|
|
|
∫eaxdx = 1a eax
188
F (u)= +∞∫ |
f (x) e2πiuxdx = +a∫/ 2 e2πiuxdx = |
sin(πau) |
|
πu |
|||
−∞ |
−a / 2 |
|
0 |
|
|
x |
|
< a / |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x)= |
|
|
x |
|
≥ a / |
2 |
f (x)=σ (x |
− a / 2)−σ (x + a / 2) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
g (x)= |
d |
|
f |
(x)=δ (x − a / 2)−δ (x + a / 2) |
|
|
|
|||||||
dx |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
G(u)= e−2πi |
a |
−e2πi |
a |
|
|
|
|
|
||||||
2u |
2u = −2isin(2πua) |
|
|
|
|
|||||||||
|
d |
|
|
|
F (u)= |
2isin(πau) |
|
sin(πau) |
||||||
G(u)= F |
|
|
|
|
f (x) |
= −2πiu F (u) |
|
= |
|
|||||
|
|
|
|
2πiu |
πu |
|||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||
Дифракционная решетка
|
|
|
+(N −1)/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x)= ∑ |
δ |
(x − na) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−(N −1)/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F (u)= |
+(N −1)/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
||||
∑ e2πiuna = e−πiua(N −1) ∑e2πiuan |
= |
|||||||||||||
|
|
|
−(N −1)/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
= e |
−πiua(N −1) |
|
e2πiuaN −1 |
= |
e−πiuaN |
|
e2πiuaN −1 |
= |
||||||
|
|
e2πiua −1 |
|
e−πiua |
e2πiua −1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= eπiuaN |
−e−πiuaN |
= sin(πauN ) |
|
|
|
|||||||||
|
|
eπiua |
−e−πiua |
|
sin(πau) |
|
|
|
|
|||||
189
Некоторые часто встречающиеся мировые константы
e=4,80294 10-10 CGCE |
Заряд электрона |
e/m=1,75888 107 CGCM г-1 |
Отношение заряда электрона к |
|
массе |
e/m=5,273 1017 CGCE |
Отношение заряда электрона к |
|
массе |
me=9,1083 10-28 г |
Масса электрона |
h=6,6254 10-27 эрг сек |
Постоянная Планка |
NA=6,0247 1023 моль-1 |
Число Авагадро |
Размеры |
атомов (см) |
Порядок величины диаметра |
10-8 |
атома |
|
Радиус атома водорода |
0.53 10-8 |
Радиус атома гелия |
1.05 10-8 |
Радиус атома урана |
1.5 10-8 |
Порядок величины диаметра |
10-24 |
атомного ядра |
|
Порядок величины объема |
10-39-10-36 |
атома (см3) |
|
Порядок величины расстояния |
10-8 |
между атомами твердого |
|
вещества |
|
Масса атомов (10-27 кг) |
|
Водород |
1.67 |
Гелий |
6.64 |
Углерод |
19.9 |
Азот |
23.2 |
Натрий |
38.1 |
Алюминий |
44.8 |
Фосфор |
51.4 |
Железо |
92.8 |
Медь |
105 |
Серебро |
179 |
Олово |
197 |
Золото |
327 |
Уран |
395 |
|
|
|
|
1Å=10-10м=10-7мм=10-4мкм 1мкм=10-4см=10-3мм=104Å
|
|
|
|
|
190 |
|
|
Множительный префикс |
|
|
|
||
|
к наименованию единиц измерения |
|
|
|||
|
|
|
|
Приставка |
|
|
Множитель |
Приставка |
Множитель |
|
|||
|
Наименование |
Обозначение |
|
Наименование |
Обозначение |
|
|
|
русское, |
|
|
русское, |
|
|
|
международное |
|
|
международное |
|
1018 |
экса |
Э, E |
10-1 |
деци |
д, d |
|
1015 |
пета |
П, P |
10-2 |
санти |
с, с |
|
1012 |
тетра |
Т, T |
10-3 |
милли |
м, m |
|
109 |
гига |
Г, G |
10-6 |
Микро |
мк, μ |
|
106 |
мега |
М, M |
10-9 |
Нано |
н, n |
|
103 |
кило |
к, k |
10-12 |
Пико |
п, p |
|
102 |
гекто |
Г, h |
10-15 |
фемто |
ф, f |
|
10 |
дека |
да, da |
10-18 |
атто |
а, a |
|
Длина волны электронов ускоренных до энергии E(kV) без учета релятивистких поправок
λ = |
h |
= |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mv |
2meE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
12,26 |
|
|
|
|
|
|
° |
|
λ = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
eE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
E 1+0,9788 |
10 |
−6 |
E |
|
|
|
|
|||||
|
2meE 1+ |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|||
|
2mc |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(kV) |
λe (Å) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,3876 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0,1220 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
0,037 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
0,016 |
|
|
|
|||
191
ПРИЛОЖЕНИЕ
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
192
193